15 分类讨论思想 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC=8\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AB$运动,同时动点$Q$从点$C$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿边$BC$的延长线运动,$PQ$与直线$AC$相交于点$D$,连接$PC$.设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.
(1)$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2) 求$S$关于$t$的函数表达式,并求出当$S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$时,点$P$的运动时间.

15. (1) $8\sqrt{2}$ (2) $\because AP=CQ=2t\ \mathrm{cm}$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore BP=|8-2t|\ \mathrm{cm}$.又$\because S_{△ PCQ}=\dfrac{1}{2}CQ· BP$,$\therefore S=\dfrac{1}{2}×2t·|8-2t|=t|8-2t|$.易知当$t=4$时,点$P$与点$B$重合,此时不存在$△ PCQ$,$\therefore S=\begin{cases} -2t^2+8t(0＜ t＜ 4),\\ 2t^2-8t(t＞ 4). \end{cases}$当$0＜ t＜ 4$时,令$-2t^2+8t=\dfrac{1}{2}×8×8$,即$t^2-4t+16=0$.$\because \Delta=(-4)^2-4×1×16=-48＜ 0$,$\therefore$该方程没有实数根.当$t＞ 4$时,令$2t^2-8t=\dfrac{1}{2}×8×8$,即$t^2-4t-16=0$,解得$t_1=2-2\sqrt{5}$(不合题意,舍去),$t_2=2+2\sqrt{5}$.$\therefore$当$S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$时,点$P$的运动时间为$(2+2\sqrt{5})\ \mathrm{s}$

16 新情境 环境保护 某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂 3,4 月共生产再生纸 800 吨,其中 4 月再生纸产量比 3 月的 2 倍少100 吨.
(1) 求 4 月再生纸的产量;
(2) 若 4 月每吨再生纸的利润为 1 000 元,5 月再生纸产量比上月增加 $m\%$,5 月每吨再生纸的利润比上月增加$\dfrac{m}{2}\%$,且 5 月再生纸项目的利润达到 66 万元,求 $m$ 的值;
(3) 若 4 月每吨再生纸的利润为 1 200 元,4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率与 6 月再生纸产量比上月增长的百分数相同,6 月再生纸项目的利润比上月增加了 $25\%$,求 6 月每吨再生纸的利润.

16. (1) 设3月再生纸的产量为$x$吨,则4月再生纸的产量为$(2x-100)$吨.根据题意,得$x+2x-100=800$,解得$x=300$.此时$2x-100=500$.$\therefore$4月再生纸的产量为500吨 (2) 根据题意,得$1000(1+\dfrac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$.整理,得$m^2+300m-6400=0$,解得$m_1=20$,$m_2=-320$(不合题意,舍去).$\therefore m$的值为20 (3) 设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为$y$,5月再生纸的产量为$a$吨.根据题意,得$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a$.$\therefore 1200(1+y)^2=1500$,$\therefore$6月每吨再生纸的利润是1500元