12 [2024 青海](1) 解一元二次方程:$x^{2}-4x+3=0$；
(2) 若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.

12. (1) 由$x^2-4x+3=0$,得$(x-1)(x-3)=0$,$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,$\therefore x_1=1$,$x_2=3$ (2) 当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$;当1和3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.$\therefore$第三边的长为$2\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$

13 已知实数 s , t 满足 $2s^{2}+3s-1=0,2t^{2}+3t-1=0$,且 $s ≠ t$,求 $\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{t}$ 的值.

13. $\because$实数$s,t$满足$2s^2+3s-1=0$,$2t^2+3t-1=0$,且$s≠ t$,$\therefore s,t$是一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个不相等的实数根,$\therefore s+t=-\dfrac{3}{2}$,$st=-\dfrac{1}{2}$.$\because (t-s)^2=(t+s)^2-4st=(-\dfrac{3}{2})^2-4×(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{17}{4}$,$\therefore t-s=\pm\dfrac{\sqrt{17}}{2}$,$\therefore \dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{t}=\dfrac{t-s}{st}=\dfrac{\pm\dfrac{\sqrt{17}}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}$

14 [2025 南充]设$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$的两根.
(1) 当$x_{1}=-1$时,求$x_{2}$及$m$的值;
(2) 求证:$(x_{1}-1)(x_{2}-1)≤ 0.$

14. (1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,解得$m=\pm\sqrt{6}$.此时原方程可化为$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=4$ (2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.由韦达定理,得$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$.$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.$\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$