24.(8分)如图1所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,连结BD,P为BD上的一点,过点P的线段分别交边AD,BC于点E,F。

(1)若$PB=PD$,求证:$BE=DF$。
(2)在(1)的条件下,请再添加一个条件(不再连线和添加字母),使得四边形EBFD为菱形,并说明理由。
(3)当$EF⊥BC$且四边形EBFD有且仅有两条边相等时,求AE的长。

24.(1)证明:在矩形ABCD中,因为$AD// BC$,所以$∠ PBF=∠ PDE$。又因为$∠ BPF=∠ DPE$,$PB=PD$,所以$△ PBF≌△ PDE(\mathrm{ASA})$,所以$BF=DE$,又因为$AD// BC$,即$DE// BF$,所以四边形BFDE是平行四边形,所以$BE=DF$。
(2)方法1:添加$EB=ED$(或$∠ EDB=∠ EBD$)。理由如下:因为四边形EBFD是平行四边形,$EB=ED$,所以四边形EBFD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。方法2:添加$EF⊥ BD$(或$∠ EBP+∠ BEP=90°$)。理由如下:因为四边形EBFD是平行四边形,$EF⊥ BD$,所以四边形EBFD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。方法3:添加BP平分$∠ EBF$(或EF平分$∠ BED$)。理由如下:在$□ EBFD$中,因为$ED// BF$,所以$∠ EDB=∠ FBD$。因为BP平分$∠ EBF$,所以$∠ EBD=∠ FBD$,所以$∠ EDB=∠ EBD$,所以$EB=ED$,所以$□ EBFD$是菱形。
(3)①如图1所示,当$BE=DE$时,设$BE=DE=x$,则$AE=8-x$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$(8-x)^2+4^2=x^2$,解得$x=5$,此时$AE=8-x=3$;②如图2所示,当$BE=DF$时,易证$△ BEF≌△ FDC$,所以$BF=FC=4$,此时$AE=ED=4$。不合题意,舍去;③如图2所示,当$BF=DE$时,易得$BE=DF$,不合题意,舍去;④如图3所示,当$BF=DF$时,设$BF=DF=a$,则$CF=8-a$,$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$(8-a)^2+4^2=a^2$,解得$a=5$,所以$AE=BF=a=5$。综上所述,AE的长为3或5。

【分析】
本题是矩形相关的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证BE=DF，先利用矩形对边平行得内错角相等，结合已知PB=PD和对顶角相等，用ASA证△PBF≌△PDE，得BF=DE；再由AD//BC推出DE//BF，证四边形EBFD是平行四边形，根据平行四边形对边相等得BE=DF。
(2) 平行四边形变菱形，需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，据此添加条件并结合判定定理说明理由。
(3) EF⊥BC时，EF⊥AD，四边形EBFD有且仅有两条边相等，需分类讨论相等边的情况：①BE=DE；②BF=DF，排除不符合题意的情况，用勾股定理计算AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠PBF=∠PDE。
在△PBF和△PDE中：
$\{\begin{array}{l}∠PBF=∠PDE \\PB=PD \\∠BPF=∠DPE\end{array} $
∴ △PBF≌△PDE（ASA），
∴ BF=DE。
又
∵ AD//BC，即DE//BF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形，
∴ BE=DF。
(2) 添加条件：EB=ED，理由如下：
∵ 四边形EBFD是平行四边形，且EB=ED，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(3)
∵ EF⊥BC，AD//BC，
∴ EF⊥AD，即AE=BF，ED=FC。
四边形EBFD有且仅有两条边相等，分情况讨论：
① 当BE=DE时，设AE=x，则DE=8-x，BE=8-x。
在Rt△ABE中，由勾股定理：$AE^2 + AB^2 = BE^2$，即$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$，
解得$x=3$，即AE=3。
② 当BF=DF时，设AE=x，则BF=x，DF=x，FC=8-x。
在Rt△DFC中，由勾股定理：$FC^2 + DC^2 = DF^2$，即$(8-x)^2 + 4^2 = x^2$，
解得$x=5$，即AE=5。
其他情况不符合“仅有两条边相等”的条件，舍去。
综上，AE的长为3或5。
【答案】
3或5
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题以矩形为载体，融合全等三角形、平行四边形的判定，重点考查菱形的判定与勾股定理的应用，第三问的分类讨论是解题关键，需学生全面分析情况，避免漏解，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4