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22.(6分)小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个。经过市场调查发现:若挂件以单价25元售出，则一天能售出70个;若每个降价1元，则一天可多售出10个。
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个?
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元?
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个?
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元?
答案
22.(1)$70+(25-22)×10=100$(个)。答:当每个挂件定价为22元时,一天能卖出100个。
(2)设每个挂件降价$x$元,则每个挂件定价为$(25-x)$元。由题意得$(25-x-13)(70+10x)=880$,整理得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1$,$x_2=4$,经检验,$x=1$时符合题意。$x=4$时,每天售出超出100个,不符合题意,舍去。答:每个挂件应降价1元。
(2)设每个挂件降价$x$元,则每个挂件定价为$(25-x)$元。由题意得$(25-x-13)(70+10x)=880$,整理得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1$,$x_2=4$,经检验,$x=1$时符合题意。$x=4$时,每天售出超出100个,不符合题意,舍去。答:每个挂件应降价1元。
解析
【分析】
解决本题需明确售价、销量、利润的数量关系：第(1)问，先算定价22元比原定价25元的降价金额，再结合“每降价1元多售10个”算出增加的销量，加上原销量即可得总销量；第(2)问，利用“总利润=单个利润×销售量”建立一元二次方程，求解后需结合“每天最多售出100个”的实际限制，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 定价为22元时，比25元降价：$25 - 22 = 3$ 元，
一天多售出的数量：$3×10 = 30$ 个，
总销量：$70 + 30 = 100$ 个。
(2) 设每个挂件降价$x$元，则单个利润为$(25 - x - 13)$元，一天销量为$(70 + 10x)$个，
根据总利润880元列方程：
$(25 - x - 13)(70 + 10x) = 880$，
整理得：$x² - 5x + 4 = 0$，
解得：$x₁ = 1$，$x₂ = 4$。
检验：当$x = 1$时，销量为$70 + 10×1 = 80$个，符合“最多售100个”的条件；
当$x = 4$时，销量为$70 + 10×4 = 110$个，超过100个，不符合题意，舍去。
故每个挂件应降价1元。
【答案】
(1) 100个；(2) 1元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题为销售类一元二次方程实际应用题，第一问考查基础数量关系计算，第二问需建立方程模型，核心是结合实际意义检验解的合理性，避免忽略销量限制，难度适中，能考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
解决本题需明确售价、销量、利润的数量关系：第(1)问，先算定价22元比原定价25元的降价金额，再结合“每降价1元多售10个”算出增加的销量，加上原销量即可得总销量；第(2)问，利用“总利润=单个利润×销售量”建立一元二次方程，求解后需结合“每天最多售出100个”的实际限制，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 定价为22元时，比25元降价：$25 - 22 = 3$ 元，
一天多售出的数量：$3×10 = 30$ 个，
总销量：$70 + 30 = 100$ 个。
(2) 设每个挂件降价$x$元，则单个利润为$(25 - x - 13)$元，一天销量为$(70 + 10x)$个，
根据总利润880元列方程：
$(25 - x - 13)(70 + 10x) = 880$，
整理得：$x² - 5x + 4 = 0$，
解得：$x₁ = 1$，$x₂ = 4$。
检验：当$x = 1$时，销量为$70 + 10×1 = 80$个，符合“最多售100个”的条件；
当$x = 4$时，销量为$70 + 10×4 = 110$个，超过100个，不符合题意，舍去。
故每个挂件应降价1元。
【答案】
(1) 100个；(2) 1元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题为销售类一元二次方程实际应用题，第一问考查基础数量关系计算，第二问需建立方程模型，核心是结合实际意义检验解的合理性，避免忽略销量限制，难度适中，能考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
23.(改编)(8分)如图,在正方形ABCD中,E是对角线上的一点(不与点A,C重合),连结DE,BE。过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,连结FG与BE相交于点O。
(1)求证:$DE=BE$。
(2)圆圆说:“直线$DE⊥GF$”,你认为圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若$AE=2,CE=6$,求GF的长度。
(1)求证:$DE=BE$。
(2)圆圆说:“直线$DE⊥GF$”,你认为圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若$AE=2,CE=6$,求GF的长度。
答案
23.(1)证明:因为正方形ABCD,所以$AB=AD$,$∠ BAC=∠ DAC=45°$,因为$AE=AE$,所以$△ ABE≌△ ADE$,所以$BE=DE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长DE交FG于点M,交AB于点H,因为$△ ABE≌△ ADE$,所以$∠ ABE=∠ ADE$,因为过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,$∠ ABC=90°$,所以四边形EFBG为矩形,所以$OB=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}FG=OG$,所以$∠ OGB=∠ ABE=∠ ADE$,因为$∠ BAD=90°$,所以$∠ ADH+∠ AHD=90°$,所以$∠ OGB+∠ AHD=90°$,所以$∠ GMH=90°$,即$DE⊥ GF$。
(3)因为正方形ABCD,所以$∠ ABC=90°$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,$AB=BC$,因为$∠ AGE=∠ EFC=90°$,所以$△ AGE$,$△ EFC$都为等腰直角三角形,因为$AE=2$,$CE=6$,所以$AG^2+GE^2=2GE^2=AE^2=4$,$EF^2+CF^2=2EF^2=CE^2=36$,所以$GE^2=2$,$EF^2=18$,因为四边形EFBG为矩形,所以$∠ GEF=90°$,所以$GF=\sqrt{2+18}=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
（1）要证明DE=BE，利用正方形对角线平分内角且邻边相等的性质，结合SAS判定全等三角形，得到对应边相等；
（2）判断DE与GF是否垂直，先由E作AB、BC的垂线，结合正方形的直角证明四边形EFBG是矩形，再利用全等得到的角相等，结合直角三角形内角和推导角为90°，得出垂直；
（3）求GF长度，利用正方形对角线性质，得出△AGE和△EFC是等腰直角三角形，结合AE、CE的长度算出GE和EF的平方，再根据矩形性质，用勾股定理计算GF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
又
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE。
(2) 圆圆的说法正确，理由如下：
延长DE交FG于点M，交AB于点H，
由△ABE≌△ADE得∠ABE=∠ADE，
∵EG⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴FG=BE，且O是FG和BE的中点，即OB=OG，
∴∠OGB=∠ABE，故∠OGB=∠ADE，
在△ADH中，∠BAD=90°，
∴∠ADE + ∠AHD=90°，
∴∠OGB + ∠AHD=90°，
在△GMH中，∠GMH=180° - (∠OGB + ∠AHD)=90°，
∴DE⊥GF。
(3) 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵EG⊥AB，EF⊥BC，
∴△AGE和△EFC都是等腰直角三角形，
∵AE=2，CE=6，
在等腰Rt△AGE中，2GE²=AE²=4，得GE²=2；
在等腰Rt△EFC中，2EF²=CE²=36，得EF²=18；
∵四边形EFBG是矩形，
∴GF²=GE² + EF²=2 + 18=20，
∴GF=2√5。
【答案】
23.(1)证明:因为正方形ABCD,所以$AB=AD$,$∠ BAC=∠ DAC=45°$,因为$AE=AE$,所以$△ ABE≌△ ADE$,所以$BE=DE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长DE交FG于点M,交AB于点H,因为$△ ABE≌△ ADE$,所以$∠ ABE=∠ ADE$,因为过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,$∠ ABC=90°$,所以四边形EFBG为矩形,所以$OB=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}FG=OG$,所以$∠ OGB=∠ ABE=∠ ADE$,因为$∠ BAD=90°$,所以$∠ ADH+∠ AHD=90°$,所以$∠ OGB+∠ AHD=90°$,所以$∠ GMH=90°$,即$DE⊥ GF$。
(3)因为正方形ABCD,所以$∠ ABC=90°$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,$AB=BC$,因为$∠ AGE=∠ EFC=90°$,所以$△ AGE$,$△ EFC$都为等腰直角三角形,因为$AE=2$,$CE=6$,所以$AG^2+GE^2=2GE^2=AE^2=4$,$EF^2+CF^2=2EF^2=CE^2=36$,所以$GE^2=2$,$EF^2=18$,因为四边形EFBG为矩形,所以$∠ GEF=90°$,所以$GF=\sqrt{2+18}=2\sqrt{5}$。
【知识点】
正方形性质、全等三角形、矩形性质
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、矩形的相关知识，需熟练运用几何定理进行推理计算，题型常规且知识点结合紧密，能较好考查学生的几何综合能力。
【难度系数】
0.5
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
（1）要证明DE=BE，利用正方形对角线平分内角且邻边相等的性质，结合SAS判定全等三角形，得到对应边相等；
（2）判断DE与GF是否垂直，先由E作AB、BC的垂线，结合正方形的直角证明四边形EFBG是矩形，再利用全等得到的角相等，结合直角三角形内角和推导角为90°，得出垂直；
（3）求GF长度，利用正方形对角线性质，得出△AGE和△EFC是等腰直角三角形，结合AE、CE的长度算出GE和EF的平方，再根据矩形性质，用勾股定理计算GF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
又
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE。
(2) 圆圆的说法正确，理由如下：
延长DE交FG于点M，交AB于点H，
由△ABE≌△ADE得∠ABE=∠ADE，
∵EG⊥AB，EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴FG=BE，且O是FG和BE的中点，即OB=OG，
∴∠OGB=∠ABE，故∠OGB=∠ADE，
在△ADH中，∠BAD=90°，
∴∠ADE + ∠AHD=90°，
∴∠OGB + ∠AHD=90°，
在△GMH中，∠GMH=180° - (∠OGB + ∠AHD)=90°，
∴DE⊥GF。
(3) 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵EG⊥AB，EF⊥BC，
∴△AGE和△EFC都是等腰直角三角形，
∵AE=2，CE=6，
在等腰Rt△AGE中，2GE²=AE²=4，得GE²=2；
在等腰Rt△EFC中，2EF²=CE²=36，得EF²=18；
∵四边形EFBG是矩形，
∴GF²=GE² + EF²=2 + 18=20，
∴GF=2√5。
【答案】
23.(1)证明:因为正方形ABCD,所以$AB=AD$,$∠ BAC=∠ DAC=45°$,因为$AE=AE$,所以$△ ABE≌△ ADE$,所以$BE=DE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长DE交FG于点M,交AB于点H,因为$△ ABE≌△ ADE$,所以$∠ ABE=∠ ADE$,因为过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,$∠ ABC=90°$,所以四边形EFBG为矩形,所以$OB=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}FG=OG$,所以$∠ OGB=∠ ABE=∠ ADE$,因为$∠ BAD=90°$,所以$∠ ADH+∠ AHD=90°$,所以$∠ OGB+∠ AHD=90°$,所以$∠ GMH=90°$,即$DE⊥ GF$。
(3)因为正方形ABCD,所以$∠ ABC=90°$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,$AB=BC$,因为$∠ AGE=∠ EFC=90°$,所以$△ AGE$,$△ EFC$都为等腰直角三角形,因为$AE=2$,$CE=6$,所以$AG^2+GE^2=2GE^2=AE^2=4$,$EF^2+CF^2=2EF^2=CE^2=36$,所以$GE^2=2$,$EF^2=18$,因为四边形EFBG为矩形,所以$∠ GEF=90°$,所以$GF=\sqrt{2+18}=2\sqrt{5}$。
【知识点】
正方形性质、全等三角形、矩形性质
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、矩形的相关知识，需熟练运用几何定理进行推理计算，题型常规且知识点结合紧密，能较好考查学生的几何综合能力。
【难度系数】
0.5
