20.(6分)如图,扶梯AB的坡比为$1:1$,现保持高度BC不变,将其改造为坡比为$1:\sqrt{3}$的滑梯BD。已知点C,A,D三点共线,$AD=6\mathrm{m}$。求滑梯的高度$BC(\sqrt{3}\approx1.73$,精确到$0.1\mathrm{m})$。

20.设滑梯的高度BC为$x\ \mathrm{m}$,因为滑梯AB的坡比为$1:1$,所以$BC:AC=1:1$,即$BC=AC=x\ \mathrm{m}$。又因为滑梯BD的坡比为$1:\sqrt{3}$,所以$BC:CD=1:\sqrt{3}$,即$CD=\sqrt{3}x$,因为$AD+AC=CD$,$AD=6\mathrm{m}$,所以$6+x=\sqrt{3}x$,解得$x=\frac{6}{\sqrt{3}-1}=3\sqrt{3}+3\approx8.2(\mathrm{m})$。答:滑梯的高度BC约为8.2m。

【分析】
首先明确坡比的定义：坡比是垂直高度与水平宽度的比值。本题中BC是垂直高度，AC是扶梯AB的水平宽度，CD是滑梯BD的水平宽度，且点D、A、C共线，故CD = AD + AC。设BC的长度为x m，根据AB和BD的坡比分别表示出AC和CD的长度，再结合CD与AC、AD的数量关系列方程，求解即可得到BC的长度。
【解析】
设滑梯的高度BC为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 由扶梯AB的坡比为$ 1:1 $，根据坡比定义（垂直高度:水平宽度），得$ BC:AC = 1:1 $，因此$ AC = BC = x \, \mathrm{m} $。
2. 由滑梯BD的坡比为$ 1:\sqrt{3} $，同理得$ BC:CD = 1:\sqrt{3} $，因此$ CD = \sqrt{3}x \, \mathrm{m} $。
3. 因为点D、A、C共线，所以$ CD = AD + AC $，已知$ AD = 6 \, \mathrm{m} $，代入得：
$ \sqrt{3}x = 6 + x $
4. 解方程：
移项得$ \sqrt{3}x - x = 6 $，即$ x(\sqrt{3} - 1) = 6 $，
解得$ x = \frac{6}{\sqrt{3} - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} -1)(\sqrt{3} +1)} = \frac{6(\sqrt{3} +1)}{2} = 3\sqrt{3} + 3 $。
代入$ \sqrt{3} \approx 1.73 $，得$ x \approx 3×1.73 +3 = 8.19 \approx8.2 \, \mathrm{m} $。
【答案】
滑梯的高度BC约为8.2m。
【知识点】
解直角三角形、坡比的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，核心是理解坡比的定义，通过线段间的数量关系建立方程求解，需注意二次根式的化简运算，难度适中。
【难度系数】
0.6

21.(6分)运动员在跳台跳水的某轮比赛中完成了难度系数为3.0的动作,7位裁判的打分(单位:分)如下:9.5,9.5,9.0,9.5,9.5,9.5,9.0。
(1)求这位运动员得分的中位数,众数。
(2)已知跳台跳水成绩的计分规则是:先去掉两个最高分和两个最低分,余下3名裁判员的分数之和乘运动员所跳动作的难度系数,便得出该动作的实得分。
①请计算该运动员此轮比赛的成绩；
②结合所学的平均数知识,说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性。

21.(1)从小到大排序为9.0,9.0,9.5,9.5,9.5,9.5,9.5,中间的数为9.5,故中位数为9.5分,9.5出现了5次,故众数为9.5分。
(2)①$(9.5+9.5+9.5)×3=85.5$(分);②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性:(Ⅰ)去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分(如裁判个人偏好或者评分失误等)对成绩的影响。(Ⅱ)乘难度系数可以兼顾动作难度(权),使得不同难度的动作在总分中占比不同。(合理即可)

【分析】
要解决本题，需分步骤处理：第(1)问求中位数和众数，先将7个打分数据从小到大排序，再根据中位数（奇数个数据时取中间位置的数）和众数（出现次数最多的数）的定义计算；第(2)问①需严格按照规则去掉2个最高分和2个最低分，计算剩余3个分数的和后乘难度系数得到实得分；第(2)问②结合平均数易受极端值影响的特点，分析计分规则的合理性，包括消除极端评分干扰和体现动作难度权重两方面。
【解析】
(1) 将7个打分从小到大排序为：9.0,9.0,9.5,9.5,9.5,9.5,9.5。共7个数据，中间位置为第4个，故中位数为9.5分；9.5出现5次，次数最多，故众数为9.5分。
(2) ① 按规则去掉2个最高分（9.5）和2个最低分（9.0），剩余分数为9.5,9.5,9.5，计算得：$(9.5+9.5+9.5)×3 = 28.5×3 = 85.5$（分）。
② 合理性说明：平均数易受极端值影响，去掉两个最高分和两个最低分，可有效消除裁判个人偏好、评分失误等极端评分对成绩的干扰，使成绩更公平；乘难度系数能兼顾动作难度，让不同难度的动作在总分中占比不同，体现动作的实际价值，规则科学合理。
【答案】
(1) 中位数为9.5分，众数为9.5分；(2) ① 该运动员此轮比赛的成绩为85.5分；② 跳台跳水成绩的计分规则科学合理，理由：一是去掉两个最高分和两个最低分可消除极端评分对成绩的影响，二是乘难度系数能体现动作难度的权重，使不同难度动作的评价更公平（合理即可）。
【知识点】
中位数、众数、平均数的应用
【点评】
本题结合跳台跳水的实际计分场景，考查统计量的计算与应用，既巩固了中位数、众数、平均数的基础概念，又要求学生结合实际理解规则的合理性，体现了数学与生活的紧密联系，难度适中。
【难度系数】
0.6