登录
3.(衢州)一块长方形钢板恰好可以切割出6个相等的圆形零件,如图所示。已知圆形零件的半径为2.5 cm,那么这块钢板的利用率是百分之几?(π取3.14)(8分)
答案
3.$6×3.14×2.5^2÷(2.5×6×2.5×4)=78.5\%$
解析
【分析】
要计算钢板的利用率，需明确利用率的计算公式：利用率=圆形零件的总面积÷长方形钢板的面积×100%。首先根据圆的半径求出直径，再结合图形中6个圆的排列（2行3列）确定长方形的长和宽，分别计算6个圆的总面积与长方形的面积，最后代入公式计算结果。
【解析】
1. 计算圆的直径：已知圆的半径$ r=2.5\ \mathrm{cm} $，则直径$ d=2r=2×2.5=5\ \mathrm{cm} $。
2. 确定长方形的长和宽：图形中是2行3列的圆，因此长方形的长为3个直径之和：$ 3×5=15\ \mathrm{cm} $；宽为2个直径之和：$ 2×5=10\ \mathrm{cm} $。
3. 计算6个圆的总面积：根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，6个圆的总面积为$ 6×3.14×2.5^2=6×3.14×6.25=117.75\ \mathrm{cm}^2 $。
4. 计算长方形的面积：长方形面积=长×宽=$ 15×10=150\ \mathrm{cm}^2 $。
5. 计算利用率：利用率=$ \frac{117.75}{150}×100\%=78.5\% $。
【答案】
78.5%
【知识点】
圆的面积、长方形的面积、百分率计算
【点评】
本题结合组合图形考查面积计算与百分率应用，关键是根据圆的排列确定长方形的长和宽，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算钢板的利用率，需明确利用率的计算公式：利用率=圆形零件的总面积÷长方形钢板的面积×100%。首先根据圆的半径求出直径，再结合图形中6个圆的排列（2行3列）确定长方形的长和宽，分别计算6个圆的总面积与长方形的面积，最后代入公式计算结果。
【解析】
1. 计算圆的直径：已知圆的半径$ r=2.5\ \mathrm{cm} $，则直径$ d=2r=2×2.5=5\ \mathrm{cm} $。
2. 确定长方形的长和宽：图形中是2行3列的圆，因此长方形的长为3个直径之和：$ 3×5=15\ \mathrm{cm} $；宽为2个直径之和：$ 2×5=10\ \mathrm{cm} $。
3. 计算6个圆的总面积：根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，6个圆的总面积为$ 6×3.14×2.5^2=6×3.14×6.25=117.75\ \mathrm{cm}^2 $。
4. 计算长方形的面积：长方形面积=长×宽=$ 15×10=150\ \mathrm{cm}^2 $。
5. 计算利用率：利用率=$ \frac{117.75}{150}×100\%=78.5\% $。
【答案】
78.5%
【知识点】
圆的面积、长方形的面积、百分率计算
【点评】
本题结合组合图形考查面积计算与百分率应用，关键是根据圆的排列确定长方形的长和宽，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
4.(衢州)春末夏初,各大服装商场纷纷搞换季清仓促销活动,A商场全场打五折,B商场全场按“满100元减50元”的方式销售。(10分)
(1)哪个商场的促销活动更能给顾客带来实惠?请举例说明你的理由。(4分)
(2)小芳的妈妈是A商场的经理,下面是母女俩的一段对话,你能帮忙算一算,A商场中这款服装究竟是赚了还是亏了呢?(6分)
(1)哪个商场的促销活动更能给顾客带来实惠?请举例说明你的理由。(4分)
(2)小芳的妈妈是A商场的经理,下面是母女俩的一段对话,你能帮忙算一算,A商场中这款服装究竟是赚了还是亏了呢?(6分)
答案
4.(1)A商场。若购物未满100元,A商场还是打五折,B商场没有优惠。
(2)解:设这款服装共购进$x$套,进价为$400x$元。卖完共获得:$400×130\%×80\%x+400×130\%×50\%×(1-80\%)x=468x$ $400x＜468x$,赚了。
(2)解:设这款服装共购进$x$套,进价为$400x$元。卖完共获得:$400×130\%×80\%x+400×130\%×50\%×(1-80\%)x=468x$ $400x＜468x$,赚了。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需通过举例计算两个商场的实际售价，对比判断哪个促销更实惠；第(2)问需先确定服装的总进价和总收入，再通过两者的大小关系判断盈亏。第(1)问的关键是明确“五折”“满100减50”的计算规则，选取不同价格的商品举例对比；第(2)问需设购进服装的数量为未知数，分别计算不同销售阶段的收入，再求和与总进价比较。
【解析】
(1) 举例计算不同价格商品的实际花费：
假设购买标价150元的商品，A商场打五折，实际花费：$150×50\% = 75$元；
B商场“满100元减50元”，150元可减50元，实际花费：$150 - 50 = 100$元；
因为$75 ＜ 100$，所以A商场的促销活动更实惠（若商品价格未满100元，A商场打五折，B商场无优惠，同样A更实惠）。
(2) 设这款服装共购进$x$套：
总进价为：$400x$元；
服装标价为：$400×130\% = 520$元；
已卖出80%的收入：$520×80\%x = 416x$元；
剩下20%的收入：$520×50\%×(1-80\%)x = 52x$元；
总收入为：$416x + 52x = 468x$元；
因为$400x ＜ 468x$，所以赚了。
【答案】
(1) A商场，举例见解析；(2) 赚了。
【知识点】
百分数应用、折扣问题、利润计算
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查百分数的实际应用，需要学生理解折扣、满减的含义，掌握利润的计算方法，通过举例对比和分步计算解决问题，贴近生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需通过举例计算两个商场的实际售价，对比判断哪个促销更实惠；第(2)问需先确定服装的总进价和总收入，再通过两者的大小关系判断盈亏。第(1)问的关键是明确“五折”“满100减50”的计算规则，选取不同价格的商品举例对比；第(2)问需设购进服装的数量为未知数，分别计算不同销售阶段的收入，再求和与总进价比较。
【解析】
(1) 举例计算不同价格商品的实际花费：
假设购买标价150元的商品，A商场打五折，实际花费：$150×50\% = 75$元；
B商场“满100元减50元”，150元可减50元，实际花费：$150 - 50 = 100$元；
因为$75 ＜ 100$，所以A商场的促销活动更实惠（若商品价格未满100元，A商场打五折，B商场无优惠，同样A更实惠）。
(2) 设这款服装共购进$x$套：
总进价为：$400x$元；
服装标价为：$400×130\% = 520$元；
已卖出80%的收入：$520×80\%x = 416x$元；
剩下20%的收入：$520×50\%×(1-80\%)x = 52x$元；
总收入为：$416x + 52x = 468x$元；
因为$400x ＜ 468x$，所以赚了。
【答案】
(1) A商场，举例见解析；(2) 赚了。
【知识点】
百分数应用、折扣问题、利润计算
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查百分数的实际应用，需要学生理解折扣、满减的含义，掌握利润的计算方法，通过举例对比和分步计算解决问题，贴近生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.6
