23.（10分）【问题情景】在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中，M为边BC上一点（不与点B、C重合），E，F分别是边DC，AB上一点，若AM⊥EF，可证得EF=AM.
请你完善小明的思路：先把问题特殊化，过D作DK//EF交AB于点K，构造平行四边形DEFK，得EF=，即把EF平移到特殊的位置.
再证△ABM≌△（ASA），得：AM=，∴EF==AM.
【深入探究】在上述情景中，连接AE，FM.若G，H分别为AE，FM的中点.
①如图2，连HG分别交AM，FE于点Q，N.求∠PQN的度数；
②如图3，若正方形ABCD的边长为4，点M为BC的中点，连接PG，PH，请直接写出PG+PH的最小值.

【问题情景】先把问题特殊化，过$D$作$DK// EF$交$AB$于点$K$，构造平行四边形$DEFK$，得$EF=DK$，即把$EF$平移到特殊的位置。再证$△ ABM≌△ DAK（ASA）$，得：$AM=DK$，$\therefore EF=DK=AM$。故答案为：$DK$，$DAK$，$DK$，$DK$；【深入探究】①连接$EM$，取$EM$的中点$R$，连接$GR$，$HR$。$\because G$，$H$分别为$AE$，$FM$的中点，$\therefore GR// AM$，且$GR=\frac{1}{2}AM$，同理：$RH// EF$，且$RH=\frac{1}{2}EF$，$\because AM⊥ EF$，$EF=AM$，$\therefore ∠ APF=∠ GKP=∠ GRH=90°$，$GR=RH$。$\therefore △ GRH$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ PQN=∠ HGR=45°$；②$PG+PH$的最小值为$\sqrt{10}$。$\because$ 正方形$ABCD$的边长为4，点$M$为$BC$的中点，$\therefore BM=2$，$AB=4$，$\therefore AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，由①知$GR=\frac{1}{2}AM=\sqrt{5}$，$△ GHR$为等腰直角三角形，$\therefore GH=\sqrt{2}GR=\sqrt{10}$，$\because PG+PH≥ GH$，$\therefore PG+PH$的最小值为$\sqrt{10}$。

【分析】
本题分为问题情景和深入探究两部分。问题情景需通过构造平行四边形转化线段，再利用正方形性质和全等三角形完成证明；深入探究①需取EM中点，用三角形中位线结合垂直、相等条件推导角度；②需计算AM长度，结合中位线和等腰直角三角形性质求最小值。
【解析】
问题情景
过D作DK//EF交AB于点K，因DK//EF且DE//KF，故四边形DEFK是平行四边形，得EF=DK。
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠DAK=90°，由AM⊥EF、DK//EF得AM⊥DK，故∠BAM=∠ADK，因此△ABM≌△DAK（ASA），得AM=DK，所以EF=DK=AM。
深入探究
① 连接EM，取EM中点R，连接GR、HR。
∵ G、R分别为AE、EM中点，
∴ GR是△AEM中位线，GR//AM且GR=1/2 AM；
∵ H、R分别为FM、EM中点，
∴ HR是△FEM中位线，HR//EF且HR=1/2 EF。
已知AM⊥EF、EF=AM，故GR⊥HR且GR=HR，△GRH为等腰直角三角形，∠HGR=45°。
又GR//AM，
∴ ∠PQN=∠HGR=45°。
② 正方形边长为4，M为BC中点，故BM=2，在Rt△ABM中，AM=√(4²+2²)=2√5。
由①知GR=1/2 AM=√5，△GRH为等腰直角三角形，故GH=√2 GR=√10。
根据两点之间线段最短，PG+PH≥GH，当P在GH上时取等号，因此PG+PH的最小值为√10。
【答案】
【问题情景】DK，DAK，DK，DK；
【深入探究】① 45°；② √10
【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查平行四边形、全等三角形、中位线及等腰直角三角形的性质，需学生具备较强的几何推理与转化能力。
【难度系数】0.5