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24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线$BC: y = \frac{1}{2}x - 3$分别与$x$轴，$y$轴交于点$B$，$C$.
（1）直接写出点$B$，$C$的坐标；
（2）如图2，过点$A（-2，0）$的直线$AD$与$y$轴交于点$F$，与直线$BC$交于点$D$，$∠ FCD = ∠ FDC$.
①求直线$AD$的解析式；
②若$E$是直线$AD$上的动点，则在$y$轴上是否存在点$G$，使以点$G$，$E$，$B$，$D$为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点$G$的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）直接写出点$B$，$C$的坐标；
（2）如图2，过点$A（-2，0）$的直线$AD$与$y$轴交于点$F$，与直线$BC$交于点$D$，$∠ FCD = ∠ FDC$.
①求直线$AD$的解析式；
②若$E$是直线$AD$上的动点，则在$y$轴上是否存在点$G$，使以点$G$，$E$，$B$，$D$为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点$G$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
（1）当$x=0$时，$y=-3$，当$y=0$时，$x=6$，$\therefore B（6，0）$，$C（0，-3）$；（2）①设直线$AD$的解析式为$y=kx+2k$，$\therefore F（0，2k）$，当$kx+2k=\frac{1}{2}x - 3$时，解得$x=\frac{6+4k}{1-2k}$，$\therefore D（\frac{6+4k}{1-2k}，\frac{8k}{1-2k}）$，$\because ∠ FCD=∠ FDC$，$\therefore FC=FD$，$\therefore （2k+3）^2=（\frac{6+4k}{1-2k}）^2+（\frac{8k}{1-2k}-2k）^2$，解得$k=-\frac{3}{4}$或$k=-\frac{3}{2}$（舍），$\therefore$ 直线$AD$的解析式为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$；②在点$G$，使以点$G$，$E$，$B$，$D$为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：设$E（m，-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}）$，$G（0，y）$，由①可知$D（\frac{6}{5}，-\frac{12}{5}）$，当$EG$为平行四边形的对角线时，$\begin{cases}m=6+\frac{6}{5} \\-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}+y=-\frac{12}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{36}{5} \\y=\frac{9}{2}\end{cases}$，$\therefore G（0，\frac{9}{2}）$；当$BG$为平行四边形的对角线时，$\begin{cases}6=m+\frac{6}{5} \\y=-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}-\frac{12}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{24}{5} \\y=-\frac{15}{2}\end{cases}$，$\therefore G（0，-\frac{15}{2}）$；当$DG$为平行四边形的对角线时，$\begin{cases}\frac{6}{5}=m+6 \\y-\frac{12}{5}=-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{24}{5} \\y=\frac{9}{2}\end{cases}$，$\therefore G（0，\frac{9}{2}）$；综上所述：$G$点坐标为$（0，\frac{9}{2}）$或$（0，-\frac{15}{2}）$。
解析
【分析】
1. 第（1）问求直线与坐标轴交点，只需分别令直线解析式中x=0和y=0，即可得到点C、B的坐标；
2. 第（2）问①，已知直线AD过点A(-2,0)，设其解析式为y=k(x+2)，可得F点坐标；利用∠FCD=∠FDC推出△FCD为等腰三角形，即FC=FD，联立直线AD与BC的解析式求出D点坐标，再根据FC=FD列方程求解k，舍去不符合题意的解，得到直线AD的解析式；
3. 第（2）问②，设E在AD上、G在y轴上，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分三种情况讨论对角线，列方程求解G的坐标，舍去重复解。
【解析】
（1）在直线$BC: y = \frac{1}{2}x - 3$中：
令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x -3=0$，解得$x=6$，故$B(6,0)$。
（2）①设直线AD的解析式为$y=k(x+2)$，即$y=kx+2k$，则F点坐标为$(0,2k)$。
联立$\begin{cases}y=kx+2k \\ y=\frac{1}{2}x -3\end{cases}$，解得$x=\frac{6+4k}{1-2k}$，$y=\frac{8k}{1-2k}$，即$D(\frac{6+4k}{1-2k},\frac{8k}{1-2k})$。
因为$∠ FCD=∠ FDC$，所以$FC=FD$。
$FC=|2k+3|$，$FD^2=(\frac{6+4k}{1-2k})^2+(\frac{8k}{1-2k}-2k)^2$，由$FC^2=FD^2$：
当$2k+3≠0$时，化简得$(1-2k)^2=4+4k^2$，解得$k=-\frac{3}{4}$；
当$2k+3=0$时，$k=-\frac{3}{2}$，此时D与C重合，舍去。
故直线AD的解析式为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$。
②由①得$D(\frac{6}{5},-\frac{12}{5})$，设$E(m,-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2})$，$G(0,t)$。
分三种情况讨论平行四边形对角线中点重合：
若EG为对角线：BD中点为$(\frac{18}{5},-\frac{6}{5})$，解得$m=\frac{36}{5}$，$t=\frac{9}{2}$，即$G(0,\frac{9}{2})$；
若BG为对角线：ED中点为$(\frac{m+\frac{6}{5}}{2},\frac{y_E-\frac{12}{5}}{2})$，解得$m=\frac{24}{5}$，$t=-\frac{15}{2}$，即$G(0,-\frac{15}{2})$；
若DG为对角线：解得$t=\frac{9}{2}$，与第一种情况重复，舍去。
综上，存在符合条件的G。
【答案】
（1）$B(6,0)$，$C(0,-3)$；（2）①$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$；②$G(0,\frac{9}{2})$或$(0,-\frac{15}{2})$
【知识点】
一次函数的图像与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查一次函数、等腰三角形、平行四边形的知识，需掌握直线交点求法、等腰三角形性质及平行四边形中点性质，分类讨论是解题关键，对综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
1. 第（1）问求直线与坐标轴交点，只需分别令直线解析式中x=0和y=0，即可得到点C、B的坐标；
2. 第（2）问①，已知直线AD过点A(-2,0)，设其解析式为y=k(x+2)，可得F点坐标；利用∠FCD=∠FDC推出△FCD为等腰三角形，即FC=FD，联立直线AD与BC的解析式求出D点坐标，再根据FC=FD列方程求解k，舍去不符合题意的解，得到直线AD的解析式；
3. 第（2）问②，设E在AD上、G在y轴上，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分三种情况讨论对角线，列方程求解G的坐标，舍去重复解。
【解析】
（1）在直线$BC: y = \frac{1}{2}x - 3$中：
令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x -3=0$，解得$x=6$，故$B(6,0)$。
（2）①设直线AD的解析式为$y=k(x+2)$，即$y=kx+2k$，则F点坐标为$(0,2k)$。
联立$\begin{cases}y=kx+2k \\ y=\frac{1}{2}x -3\end{cases}$，解得$x=\frac{6+4k}{1-2k}$，$y=\frac{8k}{1-2k}$，即$D(\frac{6+4k}{1-2k},\frac{8k}{1-2k})$。
因为$∠ FCD=∠ FDC$，所以$FC=FD$。
$FC=|2k+3|$，$FD^2=(\frac{6+4k}{1-2k})^2+(\frac{8k}{1-2k}-2k)^2$，由$FC^2=FD^2$：
当$2k+3≠0$时，化简得$(1-2k)^2=4+4k^2$，解得$k=-\frac{3}{4}$；
当$2k+3=0$时，$k=-\frac{3}{2}$，此时D与C重合，舍去。
故直线AD的解析式为$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$。
②由①得$D(\frac{6}{5},-\frac{12}{5})$，设$E(m,-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2})$，$G(0,t)$。
分三种情况讨论平行四边形对角线中点重合：
若EG为对角线：BD中点为$(\frac{18}{5},-\frac{6}{5})$，解得$m=\frac{36}{5}$，$t=\frac{9}{2}$，即$G(0,\frac{9}{2})$；
若BG为对角线：ED中点为$(\frac{m+\frac{6}{5}}{2},\frac{y_E-\frac{12}{5}}{2})$，解得$m=\frac{24}{5}$，$t=-\frac{15}{2}$，即$G(0,-\frac{15}{2})$；
若DG为对角线：解得$t=\frac{9}{2}$，与第一种情况重复，舍去。
综上，存在符合条件的G。
【答案】
（1）$B(6,0)$，$C(0,-3)$；（2）①$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$；②$G(0,\frac{9}{2})$或$(0,-\frac{15}{2})$
【知识点】
一次函数的图像与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查一次函数、等腰三角形、平行四边形的知识，需掌握直线交点求法、等腰三角形性质及平行四边形中点性质，分类讨论是解题关键，对综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
