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1. (2025·常熟月考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是弦,若$∠ ABC=63°$,则$∠ D$的度数是 （
A.$27°$
B.$37°$
C.$53°$
D.$63°$
A
）A.$27°$
B.$37°$
C.$53°$
D.$63°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角的性质，由此得到△ABC是直角三角形，结合已知的∠ABC=63°，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数；接下来观察∠D和∠BAC，发现两个角都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等的性质，就可以把∠D转化为∠BAC，直接得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
已知∠ABC=63°，代入得：
∠BAC = 90° - 63° = 27°，
又
∵∠D和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D = ∠BAC = 27°（同弧所对的圆周角相等），
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角为直角，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆的基础性质常考题，核心考察圆周角相关的两个基础定理，解题的关键是看到直径立刻联想到对应的直角，再通过同弧圆周角相等将待求角和已知条件关联起来，整体思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角的性质，由此得到△ABC是直角三角形，结合已知的∠ABC=63°，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数；接下来观察∠D和∠BAC，发现两个角都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等的性质，就可以把∠D转化为∠BAC，直接得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
已知∠ABC=63°，代入得：
∠BAC = 90° - 63° = 27°，
又
∵∠D和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D = ∠BAC = 27°（同弧所对的圆周角相等），
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角为直角，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆的基础性质常考题，核心考察圆周角相关的两个基础定理，解题的关键是看到直径立刻联想到对应的直角，再通过同弧圆周角相等将待求角和已知条件关联起来，整体思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C,D$是$\odot O$上两点,$BA$平分$∠ CBD$,若$∠ AOD=50°$,则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
2. A
解析
【分析】
我们可以按三步思路来解题：第一步，先找到已知圆心角∠AOD对应的弧AD，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，算出弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；第二步，结合BA平分∠CBD的条件，得到∠ABC和∠ABD相等，得到∠ABC的度数；第三步，利用AB是直径的条件，得到直径所对的圆周角∠C是直角，在直角三角形ACB中根据两锐角互余，就能算出∠A的度数，最终选出正确选项。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，因此：
$∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
2. 已知BA平分$∠ CBD$，根据角平分线的性质，可得：
$∠ ABC = ∠ ABD = 25°$
3. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB = 90°$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，两个锐角互余，因此：
$∠ BAC = 90° - ∠ ABC = 90° - 25° = 65°$
即$∠ A$的度数为$65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角为直角，角平分线性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，属于常规考题，解题核心是熟练掌握圆周角和对应圆心角的数量关系，结合直角三角形锐角互余的性质即可顺利求解，侧重考察学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
我们可以按三步思路来解题：第一步，先找到已知圆心角∠AOD对应的弧AD，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，算出弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；第二步，结合BA平分∠CBD的条件，得到∠ABC和∠ABD相等，得到∠ABC的度数；第三步，利用AB是直径的条件，得到直径所对的圆周角∠C是直角，在直角三角形ACB中根据两锐角互余，就能算出∠A的度数，最终选出正确选项。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，因此：
$∠ ABD = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
2. 已知BA平分$∠ CBD$，根据角平分线的性质，可得：
$∠ ABC = ∠ ABD = 25°$
3. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB = 90°$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，两个锐角互余，因此：
$∠ BAC = 90° - ∠ ABC = 90° - 25° = 65°$
即$∠ A$的度数为$65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角为直角，角平分线性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，属于常规考题，解题核心是熟练掌握圆周角和对应圆心角的数量关系，结合直角三角形锐角互余的性质即可顺利求解，侧重考察学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
3.(2025·新北区月考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,若$AC=4$,$∠ D=60^{ \circ }$,则$BC$的长为
$4\sqrt{3}$
.答案
3. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可直接得到∠ACB=90°，将问题转化为直角三角形的边长计算问题。2. 已知∠D=60°，利用同弧所对的圆周角相等的性质，∠D和∠CAB都对应弧BC，因此可推出∠CAB=∠D=60°。3. 在得到的Rt△ABC中，已知直角边AC的长度和锐角∠A的度数，通过锐角三角函数的正切关系即可直接计算出BC的长度。
【解析】
解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ ∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠CAB = ∠D = 60°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠CAB=60°，
由正切的定义可得：$\tan∠ CAB = \frac{BC}{AC}$，
代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得：
$BC = AC · \tan60° = 4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
直径对直角；同弧圆周角相等；锐角三角函数
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础计算题，核心考点是圆周角的两个核心性质，解题的关键是将已知的∠D的度数通过圆周角性质转化到直角三角形ABC中，再利用三角函数完成边长计算，整体思路清晰，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先观察到AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可直接得到∠ACB=90°，将问题转化为直角三角形的边长计算问题。2. 已知∠D=60°，利用同弧所对的圆周角相等的性质，∠D和∠CAB都对应弧BC，因此可推出∠CAB=∠D=60°。3. 在得到的Rt△ABC中，已知直角边AC的长度和锐角∠A的度数，通过锐角三角函数的正切关系即可直接计算出BC的长度。
【解析】
解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ ∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠CAB = ∠D = 60°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠CAB=60°，
由正切的定义可得：$\tan∠ CAB = \frac{BC}{AC}$，
代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得：
$BC = AC · \tan60° = 4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
直径对直角；同弧圆周角相等；锐角三角函数
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础计算题，核心考点是圆周角的两个核心性质，解题的关键是将已知的∠D的度数通过圆周角性质转化到直角三角形ABC中，再利用三角函数完成边长计算，整体思路清晰，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
4.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,若测得$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,则圆形镜面的半径为
$\dfrac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
.答案
4. $\dfrac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
我们首先观察到图中的直角尺使得∠ABC为90°，且A、B、C三点都在残缺的圆形镜面的圆周上。根据圆周角的相关性质，90°的圆周角所对的弦就是圆的直径，因此我们可以连接AC，直接确定AC就是该圆的直径。接下来在直角三角形ABC中，已知两条直角边AB和BC的长度，通过勾股定理计算出斜边AC的长度，将AC长度除以2就能得到圆形镜面的半径，不需要额外寻找残缺圆的圆心即可完成测量计算。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且A、B、C三点都在圆上，
∴AC是圆形镜面的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因此圆形镜面的半径为：
$r=\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际测量场景中的典型应用，巧妙利用直角尺的直角构造90°圆周角，无需定位残缺圆的圆心就可以直接确定直径，结合勾股定理快速求解半径，重点考察学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
我们首先观察到图中的直角尺使得∠ABC为90°，且A、B、C三点都在残缺的圆形镜面的圆周上。根据圆周角的相关性质，90°的圆周角所对的弦就是圆的直径，因此我们可以连接AC，直接确定AC就是该圆的直径。接下来在直角三角形ABC中，已知两条直角边AB和BC的长度，通过勾股定理计算出斜边AC的长度，将AC长度除以2就能得到圆形镜面的半径，不需要额外寻找残缺圆的圆心即可完成测量计算。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且A、B、C三点都在圆上，
∴AC是圆形镜面的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因此圆形镜面的半径为：
$r=\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{13}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际测量场景中的典型应用，巧妙利用直角尺的直角构造90°圆周角，无需定位残缺圆的圆心就可以直接确定直径，结合勾股定理快速求解半径，重点考察学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,$AB$是半圆$O$的直径,$C,D$是半圆上的两点,且$\overset{\frown}{BC}$的度数为$20°$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,求$∠ BCD$的度数.
答案
5. 解: $\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because \overset{\frown}{BC}$的度数为$20°$,$\therefore ∠ BAC=10°$,
$\therefore ∠ B=80°$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的度数为$160°$.
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{CD}$的度数均为$\dfrac{1}{2}×160°=80°$,
$\therefore ∠ DAC=∠ DCA=40°$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ DCA=90°+40°=130°$.
$\because \overset{\frown}{BC}$的度数为$20°$,$\therefore ∠ BAC=10°$,
$\therefore ∠ B=80°$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的度数为$160°$.
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{CD}$的度数均为$\dfrac{1}{2}×160°=80°$,
$\therefore ∠ DAC=∠ DCA=40°$,
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ DCA=90°+40°=130°$.
解析
【分析】
我们要计算∠BCD的度数，可以先把这个角拆分为两部分：直径对应的直角∠ACB，以及待求的∠DCA，分别求出两部分角度后相加即可。第一步，先利用直径的性质直接得到∠ACB=90°；第二步，根据圆周角和对应弧的度数关系：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，由已知的弧BC的20°算出∠BAC，再在直角三角形ABC中算出∠B，进而得到弧AC的总度数；第三步，由弧AD=弧CD可知两段弧平分弧AC，算出两段弧各自的度数，再用圆周角定理得到∠DCA的度数，最后将两个角相加就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$20°$，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2} × 20° = 10°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90° - ∠ BAC = 80°$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×∠ B = 160°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{CD}$的度数均为$\frac{1}{2} × 160° = 80°$，
∴ $∠ DCA = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{AD}\mathrm{的度数} = 40°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ACB + ∠ DCA = 90° + 40° = 130°$。
【答案】$130°$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，圆周角定理，弧的度数
【点评】
本题核心考察圆周角与对应弧的度数的关联，解题关键是将所求角拆分后分步推导，通过弧的等分关系逐步得到各段弧的度数，再对应计算圆周角，解题时要注意区分每个圆周角对应的是哪一段弧，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
我们要计算∠BCD的度数，可以先把这个角拆分为两部分：直径对应的直角∠ACB，以及待求的∠DCA，分别求出两部分角度后相加即可。第一步，先利用直径的性质直接得到∠ACB=90°；第二步，根据圆周角和对应弧的度数关系：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，由已知的弧BC的20°算出∠BAC，再在直角三角形ABC中算出∠B，进而得到弧AC的总度数；第三步，由弧AD=弧CD可知两段弧平分弧AC，算出两段弧各自的度数，再用圆周角定理得到∠DCA的度数，最后将两个角相加就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$20°$，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2} × 20° = 10°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90° - ∠ BAC = 80°$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×∠ B = 160°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{CD}$的度数均为$\frac{1}{2} × 160° = 80°$，
∴ $∠ DCA = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{AD}\mathrm{的度数} = 40°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ACB + ∠ DCA = 90° + 40° = 130°$。
【答案】$130°$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，圆周角定理，弧的度数
【点评】
本题核心考察圆周角与对应弧的度数的关联，解题关键是将所求角拆分后分步推导，通过弧的等分关系逐步得到各段弧的度数，再对应计算圆周角，解题时要注意区分每个圆周角对应的是哪一段弧，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC$ 内接于$\odot O$，$AD$ 是$\odot O$ 的直径. 若$∠ CAD=∠ B$，$AD=8$，则 $AC$ 的长为 （
A.5
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.5
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先观察到AD是圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角的性质，因此我们可以连接CD，构造出直角三角形ACD。接下来利用同弧所对的圆周角相等，得到∠B和∠ADC相等，结合题干给出的∠CAD=∠B，可推导出∠CAD=∠ADC，说明直角三角形ACD是等腰直角三角形。已知斜边AD的长度为8，就可以通过等腰直角三角形的边长关系或者勾股定理直接计算出AC的长度。
【解析】
解：连接CD，
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵ ∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠ADC，
又
∵ ∠CAD=∠B，
∴ ∠CAD=∠ADC，
∴ AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=8，由勾股定理可得：
AC² + CD² = AD²，代入AC=CD、AD=8得：
2AC² = 8² = 64，
解得AC²=32，AC=4√2（边长为正，舍去负根）。
所以AC的长为4√2，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直径的圆周角性质，同弧圆周角相等，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，核心考点是直径的隐含性质应用，要求学生看到直径条件能主动构造对应的直角圆周角，再结合圆周角相等的条件推导特殊三角形，整体思路清晰，属于圆章节的经典基础题型，能有效考察学生对圆基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AD是圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角的性质，因此我们可以连接CD，构造出直角三角形ACD。接下来利用同弧所对的圆周角相等，得到∠B和∠ADC相等，结合题干给出的∠CAD=∠B，可推导出∠CAD=∠ADC，说明直角三角形ACD是等腰直角三角形。已知斜边AD的长度为8，就可以通过等腰直角三角形的边长关系或者勾股定理直接计算出AC的长度。
【解析】
解：连接CD，
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵ ∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠ADC，
又
∵ ∠CAD=∠B，
∴ ∠CAD=∠ADC，
∴ AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=8，由勾股定理可得：
AC² + CD² = AD²，代入AC=CD、AD=8得：
2AC² = 8² = 64，
解得AC²=32，AC=4√2（边长为正，舍去负根）。
所以AC的长为4√2，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直径的圆周角性质，同弧圆周角相等，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，核心考点是直径的隐含性质应用，要求学生看到直径条件能主动构造对应的直角圆周角，再结合圆周角相等的条件推导特殊三角形，整体思路清晰，属于圆章节的经典基础题型，能有效考察学生对圆基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7.(2025·秦淮区月考)如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C,D,E$在$\odot O$上，若$∠ C=100°$，则$∠ E$的度数为
$10°$
.答案
7. $10°$
解析
【分析】
这是一道圆的圆周角相关的常规计算题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先识别出四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C=100°，先求出∠BAD的度数。
2. 已知AB是⊙O的直径，我们连接辅助线BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，在直角三角形ABD中即可算出∠ABD的度数。
3. 最后利用同弧所对的圆周角相等的性质，发现∠E和∠ABD都对应弧AD，二者度数相等，就能直接得到∠E的结果。
【解析】
解：连接BD，
① 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，由圆内接四边形对角互补可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
已知$∠ BCD = ∠ C = 100°$，因此$∠ BAD = 180° - 100° = 80°$。
② 因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ADB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 80° = 10°$。
③ 由于$∠ AED$（即题目所求的$∠ E$）和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，由同弧所对圆周角相等可得：
$∠ E = ∠ ABD = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
圆内接四边形对角互补，直径所对圆周角为直角，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是通过添加辅助线BD，将已知条件和待求角通过圆周角的性质建立关联，不需要复杂的圆心角换算，熟练掌握圆的几个基础性质即可顺利推导，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6
这是一道圆的圆周角相关的常规计算题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先识别出四边形ABCD是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C=100°，先求出∠BAD的度数。
2. 已知AB是⊙O的直径，我们连接辅助线BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，在直角三角形ABD中即可算出∠ABD的度数。
3. 最后利用同弧所对的圆周角相等的性质，发现∠E和∠ABD都对应弧AD，二者度数相等，就能直接得到∠E的结果。
【解析】
解：连接BD，
① 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，由圆内接四边形对角互补可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
已知$∠ BCD = ∠ C = 100°$，因此$∠ BAD = 180° - 100° = 80°$。
② 因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ADB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 80° = 10°$。
③ 由于$∠ AED$（即题目所求的$∠ E$）和$∠ ABD$都是弧AD所对的圆周角，由同弧所对圆周角相等可得：
$∠ E = ∠ ABD = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
圆内接四边形对角互补，直径所对圆周角为直角，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆基础性质的综合应用题，解题核心是通过添加辅助线BD，将已知条件和待求角通过圆周角的性质建立关联，不需要复杂的圆心角换算，熟练掌握圆的几个基础性质即可顺利推导，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在半径为 5 的$\odot A$中,弦$BC,ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$.已知$BC=6$,$∠ BAC+∠ EAD=180°$,则圆心$A$到$DE$的距离等于
3
.答案
8. 3
解析
【分析】
首先梳理已知条件：⊙A半径为5，弦BC长为6，两个圆心角∠BAC与∠EAD之和为180°，要求圆心A到DE的距离。解题思路如下：1. 利用两个圆心角互补的特征，结合平角为180°的性质，构造出与∠BAC相等的圆心角，得到同圆中长度等于BC的等弦；2. 作圆的直径构造直角，结合垂径定理的性质，可推导出所求的圆心到DE的距离是新构造直角三角形的中位线，直接将所求距离和已知弦长关联，无需计算角度即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AH⊥DE于点H，作直径EF，连接DF。
1. 根据垂径定理，AH⊥DE可得EH=DH，即H是DE的中点。
2. 因为EF是⊙A的直径，由直径所对的圆周角为直角，得∠EDF=90°，即DF⊥DE。
3. 由AH⊥DE、DF⊥DE，可得AH//DF，又因为A是EF的中点，因此AH是△EDF的中位线，根据三角形中位线性质得：$AH=\frac{1}{2}DF$。
4. 由平角定义可知∠EAD+∠DAF=180°，结合已知条件∠BAC+∠EAD=180°，可推出∠DAF=∠BAC。
5. 同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此DF=BC=6。
6. 代入计算得$AH=\frac{1}{2}×6=3$，即圆心A到DE的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；三角形中位线性质
【点评】
本题是圆中转化思想的典型题型，核心是利用两个圆心角互补的条件，通过构造直径完成等角转化得到等弦，将未知的圆心到弦的距离转化为已知弦长的一半，重点考察学生对圆相关性质的综合运用能力，合理构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.4
首先梳理已知条件：⊙A半径为5，弦BC长为6，两个圆心角∠BAC与∠EAD之和为180°，要求圆心A到DE的距离。解题思路如下：1. 利用两个圆心角互补的特征，结合平角为180°的性质，构造出与∠BAC相等的圆心角，得到同圆中长度等于BC的等弦；2. 作圆的直径构造直角，结合垂径定理的性质，可推导出所求的圆心到DE的距离是新构造直角三角形的中位线，直接将所求距离和已知弦长关联，无需计算角度即可得到结果。
【解析】
解：过点A作AH⊥DE于点H，作直径EF，连接DF。
1. 根据垂径定理，AH⊥DE可得EH=DH，即H是DE的中点。
2. 因为EF是⊙A的直径，由直径所对的圆周角为直角，得∠EDF=90°，即DF⊥DE。
3. 由AH⊥DE、DF⊥DE，可得AH//DF，又因为A是EF的中点，因此AH是△EDF的中位线，根据三角形中位线性质得：$AH=\frac{1}{2}DF$。
4. 由平角定义可知∠EAD+∠DAF=180°，结合已知条件∠BAC+∠EAD=180°，可推出∠DAF=∠BAC。
5. 同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此DF=BC=6。
6. 代入计算得$AH=\frac{1}{2}×6=3$，即圆心A到DE的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；三角形中位线性质
【点评】
本题是圆中转化思想的典型题型，核心是利用两个圆心角互补的条件，通过构造直径完成等角转化得到等弦，将未知的圆心到弦的距离转化为已知弦长的一半，重点考察学生对圆相关性质的综合运用能力，合理构造辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.4
9. 如图,$AB$是半圆$O$的直径,$AB=4$,点$C,D$在半圆上,$CO ⊥ AB$,$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{CD}$,$P$是$OC$上的一个动点,则$BP+DP$的最小值为
$2\sqrt{3}$
.答案
9. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是典型的轴对称求最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：首先确定动点P的运动轨迹OC为对称轴，利用OC⊥AB、O是AB中点的性质，可直接得到点B关于OC的对称点是点A，由此将BP+DP转化为AP+DP，根据两点之间线段最短，AP+DP的最小值就是线段AD的长度；接下来只需要根据弧的倍数关系算出对应圆心角的度数，结合圆的半径长度，即可计算出AD的数值，得到最终结果。
【解析】
1. 由AB是半圆O的直径，AB=4，可得半圆的半径OA=OB=OD=2。
2. 因为CO⊥AB，且OA=OB，所以点A与点B关于直线OC对称，因此对OC上任意动点P，都有BP=AP，那么BP+DP=AP+DP。
3. 根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，AP+DP取得最小值，该最小值就是线段AD的长度。
4. 计算AD的长度：已知CO⊥AB，所以∠COB=90°，即弧BC对应的圆心角为90°；由$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{CD}$，可得弧BD对应的圆心角$∠ BOD=\frac{2}{3}×90°=60°$，因此$∠ AOD=180°-∠ BOD=120°$。
5. 在等腰△AOD中，OA=OD=2，∠AOD=120°，过O作OE⊥AD于E，由等腰三角形三线合一得∠AOE=60°，$AE=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，因此$AD=2AE=2\sqrt{3}$，即BP+DP的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
轴对称最短路径，弧与圆心角关系，等腰三角形计算
【点评】
本题结合圆的基础性质考查将军饮马模型的应用，核心是利用圆的轴对称性将折线段和的最值问题转化为两点之间线段的长度问题，再结合弧和圆心角的对应关系求出角度计算线段长，属于圆与最值结合的基础题型，需要熟练掌握轴对称求最短路径的转化思路。
【难度系数】
0.6
这是典型的轴对称求最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：首先确定动点P的运动轨迹OC为对称轴，利用OC⊥AB、O是AB中点的性质，可直接得到点B关于OC的对称点是点A，由此将BP+DP转化为AP+DP，根据两点之间线段最短，AP+DP的最小值就是线段AD的长度；接下来只需要根据弧的倍数关系算出对应圆心角的度数，结合圆的半径长度，即可计算出AD的数值，得到最终结果。
【解析】
1. 由AB是半圆O的直径，AB=4，可得半圆的半径OA=OB=OD=2。
2. 因为CO⊥AB，且OA=OB，所以点A与点B关于直线OC对称，因此对OC上任意动点P，都有BP=AP，那么BP+DP=AP+DP。
3. 根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，AP+DP取得最小值，该最小值就是线段AD的长度。
4. 计算AD的长度：已知CO⊥AB，所以∠COB=90°，即弧BC对应的圆心角为90°；由$\overset{\frown}{BD}=2\overset{\frown}{CD}$，可得弧BD对应的圆心角$∠ BOD=\frac{2}{3}×90°=60°$，因此$∠ AOD=180°-∠ BOD=120°$。
5. 在等腰△AOD中，OA=OD=2，∠AOD=120°，过O作OE⊥AD于E，由等腰三角形三线合一得∠AOE=60°，$AE=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，因此$AD=2AE=2\sqrt{3}$，即BP+DP的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
轴对称最短路径，弧与圆心角关系，等腰三角形计算
【点评】
本题结合圆的基础性质考查将军饮马模型的应用，核心是利用圆的轴对称性将折线段和的最值问题转化为两点之间线段的长度问题，再结合弧和圆心角的对应关系求出角度计算线段长，属于圆与最值结合的基础题型，需要熟练掌握轴对称求最短路径的转化思路。
【难度系数】
0.6
