9. 如图,$\odot O$的弦$AB$,$CD$的延长线相交于点$P$,且$AB=CD$,求证:$PB=PD$.

9. 证明:连接 AC,如答图.

$\because AB=CD$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$,
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ A=∠ C$,$\therefore PA=PC$,
$\therefore PA-AB=PC-CD$,即$PB=PD$.

【分析】
要证明PB=PD，已知AB=CD，我们可以借助圆的相关性质推导：首先回忆同圆中相等的弦对应的弧相等的性质，由AB=CD得到弧AB等于弧CD，给两段等弧同时加上公共的弧BD，即可得到弧AD等于弧BC；再根据同圆中等弧对应的圆周角相等，推出∠A=∠C，由此可得△PAC是等腰三角形，即PA=PC；最后用PA减去AB、PC减去CD，结合AB=CD，做差后即可得到PB=PD，完成证明。
【解析】
证明：
1. 作辅助线：连接AC；
2.
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且已知AB=CD，

∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
3. 等式两边同时加上公共弧$\overset{\frown}{BD}$，可得：
$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；
4.
∵ 同圆中，等弧所对的圆周角相等，

∴ ∠A=∠C；
5. 在△PAC中，等角对等边，因此PA=PC；
6. 又
∵ AB=CD，将等式两边同时减去相等线段，可得：
$PA-AB=PC-CD$，即$PB=PD$，得证。
【答案】
证明:连接 AC,如答图.

$\because AB=CD$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$,
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ A=∠ C$,$\therefore PA=PC$,
$\therefore PA-AB=PC-CD$,即$PB=PD$.
【知识点】
弦与弧的关系，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心思路是将弦相等的条件逐步转化为弧相等、圆周角相等，通过构造等腰三角形推导线段相等，辅助线构造简单，重点考察学生对圆的基础性质的灵活运用能力，也可尝试通过作弦的弦心距结合全等的方法完成证明。
【难度系数】
0.7

10. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$CD$为弦,$CD ⊥ AB$于点$E$,连接$DO$并延长交$\odot O$于点$F$,连接$AF$交$CD$于点$G$,连接$AC$,且$AC // DF$.
(1)求证:$CG=AG$;
(2)若$AB=12$,求$∠ CAO$的度数和$DG$的长.

10. (1)证明:$\because AC// DF$,$\therefore ∠ CDF=∠ ACD$.
$\because ∠ CAF=∠ CDF$,$\therefore ∠ ACD=∠ CAF$,$\therefore CG=AG$.
(2)解:如答图,连接 CO.

$\because AB⊥ CD$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$,$CE=DE$.
$\because ∠ DCA=∠ CAF$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$,$\therefore ∠ AOD=∠ AOC=∠ COF$.
$\because DF$是$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC=∠ COF=60°$.
$\because OA=OC$,$\therefore △ AOC$是等边三角形,
$\therefore AC=AO=\frac{1}{2}AB=6$,$∠ CAO=60°$.
$\because CE⊥ AO$,$\therefore AE=EO=3$,$∠ ACD=30°$,
$\therefore CE=3\sqrt{3}=DE$.
$\because AG^2=GE^2+AE^2$,$\therefore AG^2=(3\sqrt{3}-AG)^2+3^2$,
$\therefore AG=2\sqrt{3}$,$\therefore GE=\sqrt{3}$,
$\therefore DG=DE+GE=4\sqrt{3}$.

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明CG=AG，我们可以利用等角对等边的性质，转化为证明∠ACG=∠CAG：首先由AC//DF得到内错角∠ACD=∠CDF，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠CAF=∠CDF，通过等量代换就能得到两个底角相等，直接推出CG=AG。第二问求∠CAO的度数和DG的长度，首先结合垂径定理，由AB⊥CD得到弧AC等于弧AD，再结合第一问得到的角相等推出弧AD等于弧CF，进而得到三段弧AC、AD、CF相等，因为DF是直径，对应的圆心角总和为180°，就能算出每个圆心角为60°，结合OA=OC推出△AOC是等边三角形，得到∠CAO=60°，再利用直角三角形的性质算出CE、AE的长度，结合第一问AG=CG的结论，在Rt△AEG中用勾股定理求解出AG、GE的长度，最后就能算出DG的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC//DF，
∴ ∠CDF=∠ACD。
又
∵ ∠CAF和∠CDF都是弧CF所对的圆周角，
∴ ∠CAF=∠CDF，
∴ ∠ACD=∠CAF，
∴ CG=AG。
(2) 解：连接CO，
∵ AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ 由垂径定理得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，CE=DE。
∵ ∠DCA=∠CAF，圆周角相等则对应所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$，
∴ 三段弧对应的圆心角∠AOD=∠AOC=∠COF。
∵ DF是⊙O的直径，
∴ ∠DOF=180°，即∠AOD+∠AOC+∠COF=180°，
∴ ∠AOD=∠AOC=∠COF=60°。
∵ OA=OC，
∴ △AOC是等边三角形，
∴ AC=OA=$\frac{1}{2}$AB=6，∠CAO=60°。
∵ CE⊥AO，△AOC是等边三角形，
∴ AE=EO=3，∠ACD=30°，
在Rt△ACE中，$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=3\sqrt{3}$，
∴ DE=CE=3√3。
设AG=x，由(1)得CG=AG=x，
∴ GE=CE - CG=3√3 - x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：$AG^2=GE^2+AE^2$，
代入得：$x^2=(3\sqrt{3}-x)^2+3^2$，
化简解得$x=2\sqrt{3}$，
∴ GE=3√3 - 2√3=√3，
∴ DG=DE + GE=3√3 +√3=4√3。
【答案】

(1) 证明过程如上；(2) ∠CAO=60°，DG=4√3
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形判定
【点评】
本题是圆的综合中档题，第一问难度较低，主要考察平行线性质与圆周角定理的基础应用，第二问需要学生通过角的等量关系推导弧相等，进而得到圆心角的度数，结合等边三角形性质、勾股定理完成计算，对学生圆的性质综合运用能力有一定考察作用。
【难度系数】
0.4

11. 如图, 在四边形 A B C D 中, $∠ B=∠ D, A B=C D, A B$ 与 D C 不平行, 过点 A 作 $A E / / D C$, 交$△ A B C$ 的外接圆 $\odot O$ 于点 $E$, 连接 $C E, O A$.
求证:(1)四边形 ADCE 为平行四边形;
(2) $A O$ 平分 $∠ B A E$.

11. 证明:(1)$\because ∠ B=∠ E$,$∠ B=∠ D$,$\therefore ∠ E=∠ D$.
$\because AE// CD$,$\therefore ∠ E+∠ ECD=180°$,
$\therefore ∠ D+∠ ECD=180°$,$\therefore CE// AD$,
$\therefore$ 四边形 ADCE 为平行四边形.
(2)过点 O 作$OG⊥ AB$于点 G,$OH⊥ AE$于点 H,如答图.

$\because$ 四边形 ADCE 为平行四边形,$\therefore AE=CD$.
$\because AB=CD$,$\therefore AE=AB$.
$\because ∠ AHO=∠ AGO=90°$,
$\therefore AH=\frac{1}{2}AE$,$AG=\frac{1}{2}AB$,$\therefore AH=AG$.
在$\mathrm{Rt}△ AHO$与$\mathrm{Rt}△ AGO$中,$\begin{cases} AO=AO,\\ AH=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AHO≌\mathrm{Rt}△ AGO(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ HAO=∠ GAO$,$\therefore AO$平分$∠ BAE$.

【分析】
要证明第(1)问的四边形ADCE是平行四边形，已知AE//DC，只需再证明CE//AD即可：首先利用同弧AC所对的圆周角相等，得到∠B=∠E，结合题设∠B=∠D，等量代换得∠E=∠D；再由AE//DC，根据平行线同旁内角互补得∠E+∠ECD=180°，替换后得到∠D+∠ECD=180°，即可推出CE//AD，两组对边分别平行就可证得平行四边形。
要证明第(2)问AO平分∠BAE，先由第(1)问的平行四边形性质得AE=CD，结合已知AB=CD，推出AE=AB，即AE、AB是⊙O的两条等弦；过圆心O分别作两条弦的垂线，根据垂径定理可得两条弦的一半AH=AG，再结合公共边AO，用HL证明两个直角三角形全等，即可得到对应角相等，完成角平分线的证明。
【解析】
(1) 证明平行四边形：
∵ ∠B和∠E都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠E，
又
∵ ∠B=∠D，
∴ ∠E=∠D。
∵ AE//CD，
∴ ∠E + ∠ECD = 180°，
代入∠E=∠D得∠D + ∠ECD = 180°，
∴ CE//AD，
∵ AE//CD，CE//AD，
∴ 四边形ADCE为平行四边形。
(2) 证明AO平分∠BAE：
过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AE于点H，
∵ 四边形ADCE为平行四边形，
∴ AE=CD，
又
∵ AB=CD，
∴ AE=AB。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ AH = 1/2 AE，AG = 1/2 AB，
∴ AH=AG。
在Rt△AHO与Rt△AGO中：
$\begin{cases} AO=AO \\ AH=AG \end{cases}$
∴ Rt△AHO ≌ Rt△AGO(HL)，
∴ ∠HAO=∠GAO，
即AO平分∠BAE。
【答案】
证明:(1)$\because ∠ B=∠ E$,$∠ B=∠ D$,$\therefore ∠ E=∠ D$.
$\because AE// CD$,$\therefore ∠ E+∠ ECD=180°$,
$\therefore ∠ D+∠ ECD=180°$,$\therefore CE// AD$,
$\therefore$ 四边形 ADCE 为平行四边形.
(2)过点 O 作$OG⊥ AB$于点 G,$OH⊥ AE$于点 H,如答图.

$\because$ 四边形 ADCE 为平行四边形,$\therefore AE=CD$.
$\because AB=CD$,$\therefore AE=AB$.
$\because ∠ AHO=∠ AGO=90°$,
$\therefore AH=\frac{1}{2}AE$,$AG=\frac{1}{2}AB$,$\therefore AH=AG$.
在$\mathrm{Rt}△ AHO$与$\mathrm{Rt}△ AGO$中,$\begin{cases} AO=AO,\\ AH=AG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AHO≌\mathrm{Rt}△ AGO(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ HAO=∠ GAO$,$\therefore AO$平分$∠ BAE$.
【知识点】
圆周角定理，平行四边形判定，垂径定理
【点评】
本题是圆与平行四边形的综合几何证明题，第一问通过圆周角等量代换、平行线性质完成平行四边形判定，第二问通过线段等量转化得到等弦，结合垂径定理和直角三角形全等完成角平分线证明，侧重考察学生的逻辑推导能力和知识点串联运用能力。
【难度系数】
0.6