登录
23. 如图,某工厂与A,B两地有公路和铁路相连.这家工厂从A地购买原料运回工厂,制成产品运到B地.已知公路的运价为a元/(吨·km),铁路的运价为b元/(吨·km).
(1)设一批原料有x吨,生产成的产品有y吨.填写下表(结果用含a,b,x,y的代数式表示):
(2)第一批货购买了500吨原料,生产了300吨产品,原料从A地运回工厂运费67500元,制成产品运到B地运费39000元.求a,b的值.
(3)工厂从A地购买原料的单价为每吨1000元,产品售往B地的价格为每吨8000元.因需要需增补第二批货物,已知第二批货物的销售款比原料费多260000元,运输单价与第一批货物相同,运输总费用为13300元,问第二批货物的原料是多少吨?与第一批货物从原料到产品的成品率相比,成品率是提高了还是降低了?
(1)设一批原料有x吨,生产成的产品有y吨.填写下表(结果用含a,b,x,y的代数式表示):
(2)第一批货购买了500吨原料,生产了300吨产品,原料从A地运回工厂运费67500元,制成产品运到B地运费39000元.求a,b的值.
(3)工厂从A地购买原料的单价为每吨1000元,产品售往B地的价格为每吨8000元.因需要需增补第二批货物,已知第二批货物的销售款比原料费多260000元,运输单价与第一批货物相同,运输总费用为13300元,问第二批货物的原料是多少吨?与第一批货物从原料到产品的成品率相比,成品率是提高了还是降低了?
答案
23. 解:(1)(3分)
(2)由题意,得$\begin{cases}5000a+60000b=67500,\\6000a+30000b=39000,\end{cases}$(5分)
解得$\begin{cases}a=1.5,\\b=1.\end{cases}$(7分)
(3)设第二批货物的原料有m吨,产品有n吨
由题意,得$\begin{cases}8000n−1000m=260000,\\15m+120m+30n+100n=13300.\end{cases}$(8分)
解得$\begin{cases}m=60,\\n=40.\end{cases}$(9分)
$\because$第一批成品率:$300÷500×100\%=60\%$，
第二批成品率:$40÷60×100\%≈66.7\%$，
$\therefore$第二批成品率提高了.(10分)
答:第二批货物的原料是60吨,成品率提高了.
| A地 | B地 | |
|---|---|---|
| 公路运费(元) | $10ax$ | $20ay$ |
| 铁路运费(元) | $120bx$ | $100by$ |
(2)由题意,得$\begin{cases}5000a+60000b=67500,\\6000a+30000b=39000,\end{cases}$(5分)
解得$\begin{cases}a=1.5,\\b=1.\end{cases}$(7分)
(3)设第二批货物的原料有m吨,产品有n吨
由题意,得$\begin{cases}8000n−1000m=260000,\\15m+120m+30n+100n=13300.\end{cases}$(8分)
解得$\begin{cases}m=60,\\n=40.\end{cases}$(9分)
$\because$第一批成品率:$300÷500×100\%=60\%$，
第二批成品率:$40÷60×100\%≈66.7\%$，
$\therefore$第二批成品率提高了.(10分)
答:第二批货物的原料是60吨,成品率提高了.
解析
【分析】
本题是结合实际运输的代数应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问需根据“运费=运价×运输距离×货物吨数”的关系，结合原料、产品对应的运输路段距离，用含a、b、x、y的代数式表示各类运费；
2. 第(2)问将已知的原料吨数x=500、产品吨数y=300代入第(1)问的代数式，根据给出的运费列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可；
3. 第(3)问设第二批原料m吨、产品n吨，根据“销售款-原料费=260000元”和“运输总费用=13300元”列出二元一次方程组，解出m、n后，分别计算第一批和第二批的成品率（成品率=产品吨数÷原料吨数×100%），比较得出结果。
【解析】
(1) 根据运输路段距离：原料从A地到工厂的公路距离10km、铁路距离120km；产品从工厂到B地的公路距离20km、铁路距离100km。
因此各类运费：
A地公路运费：$a×10×x=10ax$；
A地铁路运费：$b×120×x=120bx$；
B地公路运费：$a×20×y=20ay$；
B地铁路运费：$b×100×y=100by$；
表格填写如下：
(2) 当x=500，y=300时，原料运费为$10a×500+120b×500=5000a+60000b$，产品运费为$20a×300+100b×300=6000a+30000b$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5000a + 60000b = 67500 \\6000a + 30000b = 39000 \end{cases}$
化简第二个方程得：$2a + 10b =13$，即$a=\frac{13-10b}{2}$，代入第一个方程：
$5000×\frac{13-10b}{2} +60000b=67500$，解得$b=1$，则$a=1.5$。
(3) 设第二批原料m吨，产品n吨，根据题意：
$\begin{cases}8000n -1000m=260000 \\15m +120m +30n +100n=13300 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8n -m=260 \\135m +130n=13300 \end{cases}$
由第一个方程得$m=8n-260$，代入第二个方程解得$n=40$，则$m=60$。
第一批成品率：$\frac{300}{500}×100\%=60\%$；
第二批成品率：$\frac{40}{60}×100\%≈66.7\%$；
因为$66.7\%＞60\%$，所以成品率提高了。
【答案】
(1) 表格填写：A地公路运费$10ax$，铁路运费$120bx$；B地公路运费$20ay$，铁路运费$100by$；
(2) $a=1.5$，$b=1$；
(3) 第二批货物的原料是60吨，成品率提高了。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式的表示、成品率计算
【点评】
本题结合实际运输场景考查代数应用，需要先将实际问题转化为数学表达式，再通过建立方程组求解，最后计算成品率进行比较，重点考查学生的数学建模能力和运算能力，步骤清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.5
本题是结合实际运输的代数应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问需根据“运费=运价×运输距离×货物吨数”的关系，结合原料、产品对应的运输路段距离，用含a、b、x、y的代数式表示各类运费；
2. 第(2)问将已知的原料吨数x=500、产品吨数y=300代入第(1)问的代数式，根据给出的运费列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可；
3. 第(3)问设第二批原料m吨、产品n吨，根据“销售款-原料费=260000元”和“运输总费用=13300元”列出二元一次方程组，解出m、n后，分别计算第一批和第二批的成品率（成品率=产品吨数÷原料吨数×100%），比较得出结果。
【解析】
(1) 根据运输路段距离：原料从A地到工厂的公路距离10km、铁路距离120km；产品从工厂到B地的公路距离20km、铁路距离100km。
因此各类运费：
A地公路运费：$a×10×x=10ax$；
A地铁路运费：$b×120×x=120bx$；
B地公路运费：$a×20×y=20ay$；
B地铁路运费：$b×100×y=100by$；
表格填写如下：
(2) 当x=500，y=300时，原料运费为$10a×500+120b×500=5000a+60000b$，产品运费为$20a×300+100b×300=6000a+30000b$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5000a + 60000b = 67500 \\6000a + 30000b = 39000 \end{cases}$
化简第二个方程得：$2a + 10b =13$，即$a=\frac{13-10b}{2}$，代入第一个方程：
$5000×\frac{13-10b}{2} +60000b=67500$，解得$b=1$，则$a=1.5$。
(3) 设第二批原料m吨，产品n吨，根据题意：
$\begin{cases}8000n -1000m=260000 \\15m +120m +30n +100n=13300 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8n -m=260 \\135m +130n=13300 \end{cases}$
由第一个方程得$m=8n-260$，代入第二个方程解得$n=40$，则$m=60$。
第一批成品率：$\frac{300}{500}×100\%=60\%$；
第二批成品率：$\frac{40}{60}×100\%≈66.7\%$；
因为$66.7\%＞60\%$，所以成品率提高了。
【答案】
(1) 表格填写：A地公路运费$10ax$，铁路运费$120bx$；B地公路运费$20ay$，铁路运费$100by$；
(2) $a=1.5$，$b=1$；
(3) 第二批货物的原料是60吨，成品率提高了。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式的表示、成品率计算
【点评】
本题结合实际运输场景考查代数应用，需要先将实际问题转化为数学表达式，再通过建立方程组求解，最后计算成品率进行比较，重点考查学生的数学建模能力和运算能力，步骤清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.5
