23.【问题提出】已知实数 $ x,y $ 满足 $ 3x - y = 5① $，$ 2x + 3y = 7② $，求 $ 7x + 5y $ 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $ x,y $ 的值再代入求值，可得到答案.此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①＋②×2 可得 $ 7x + 5y = 19 $.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用上面的知识解答下面问题：
(1)已知方程组$\begin{cases}3x + 2y = 5, \\x + y = 3,\end{cases}$则 $ 2x + y $ 的值为 ______.
【问题探究】
(2)请说明在关于 $ x,y $ 的方程组$\begin{cases}2x - 2y = 4a - 1, \\x + 2y = 2 - a\end{cases}$中，无论 $ a $ 取何值，$ x + y $ 的值始终不变.
【问题解决】
(3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？

23. 解:(1)$\begin{cases}3x + 2y = 5,① \\x + y = 3,②\end{cases}$
$\therefore$①$-$②,得$2x+y=2$。
故答案为:2.(2分)
(2)$\begin{cases}2x - 2y = 4a - 1①, \\x + 2y = 2 - a②,\end{cases}$
$\therefore$①$×\frac{1}{6}+$②$×\frac{2}{3}$得,$x+y=\frac{4a-1}{6}+\frac{2(2-a)}{3}=\frac{7}{6}$。
$\therefore$无论$a$取何值,$x+y$的值始终不变.(6分)
(3)由题意,设购买甲1件需$x$元,乙1件需$y$元,丙1件需$z$元，
则$\begin{cases}x+2y+2z=135,① \\3x+y+z=105.②\end{cases}$
$\therefore$①$×\frac{4}{5}+$②$×\frac{2}{5}$得,$2x+2y+2z=150$。
答:购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元.(10分)

【分析】本题主要运用二元一次方程组的整体思想解题，无需单独求解未知数，通过观察方程组中未知数的系数关系，对两个方程进行适当的加减或倍数变形，直接得到目标代数式的值。对于(1)，目标式2x+y可通过两个方程相减得到；对于(2)，需将两个方程变形消去参数a，得到x+y为常数；对于(3)，设三种商品单价为未知数，列方程组后整体变形得到2件各商品的总价。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases}3x + 2y = 5① \\x + y = 3②\end{cases}$，用①式减去②式：
$3x+2y - (x+y) =5 -3$，化简得$2x+y=2$。
(2) 已知方程组$\begin{cases}2x - 2y = 4a -1① \\x + 2y =2 -a②\end{cases}$，对①式乘以$\frac{1}{6}$，②式乘以$\frac{2}{3}$，再相加：
$\frac{1}{6}(2x-2y) + \frac{2}{3}(x+2y) = \frac{1}{6}(4a-1) + \frac{2}{3}(2 -a)$
左边化简得$x+y$，右边化简得$\frac{7}{6}$，因此$x+y=\frac{7}{6}$，与a无关，故无论a取何值，x+y的值始终不变。
(3) 设购买甲、乙、丙三种商品1件分别需x元、y元、z元，根据题意得：
$\begin{cases}x +2y +2z=135① \\3x + y + z=105②\end{cases}$
对①式乘以$\frac{4}{5}$，②式乘以$\frac{2}{5}$，再相加：
左边化简得$2x+2y+2z$，右边计算得150，因此$2x+2y+2z=150$，即购买三种商品各2件共需150元。
【答案】(1)2；(2)无论a取何值，x+y的值始终为$\frac{7}{6}$；(3)150元
【知识点】二元一次方程组，整体思想，代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程组的整体思想应用，核心是通过观察方程系数关系变形，避免繁琐求解，培养学生代数变形能力与整体思维，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5