24. 如图1,已知直线$AB// CD,∠ CMN=60°$,射线$ME$从$MD$出发,绕点$M$以每秒$a$度的速度按逆时针方向旋转,到达$MC$后立即以相同的速度返回,到达$MD$后继续改变方向,继续按上述方式旋转;射线$NF$从$NA$出发,绕点$N$以每秒$b$度的速度按逆时针方向旋转,到达$NB$后停止运动,此时$ME$也同时停止运动,其中$a,b$满足方程组$\begin{cases}4a+b=17,\\3a-2b=10.\end{cases}$
(1)求$a,b$的值.
(2)若$NF$先运动30秒,然后$ME$一起运动,设$ME$运动的时间为$t$,当运动过程中$ME// NF$时,求$t$的值.
(3)如图2,若$ME$与$NF$同时开始转动,在$ME$第一次到达$MC$之前,$ME$与$NF$交于点$P$.过点$P$作$PQ⊥ ME$于点$P$,交直线$AB$于点$Q$,则在运动过程中,若设$∠ NME$的度数为$m$,请求出$∠ NPQ$的度数(结果用含$m$的代数式表示).

24. 解:(1)$\begin{cases}4a+b=17,① \\3a-2b=10.②\end{cases}$
①$×2$,得$8a+2b=34$,③
②$+$③,得$a=4$。
将$a=4$代入①,得$b=1$，
$\therefore\begin{cases}a=4, \\b=1.\end{cases}$(4分)
(2)$\because ∠CMN=60°,AB// CD$，
$\therefore ∠ANM=120°$。
$\because ∠ANF=30°$，
$\therefore ∠FNM=90°$。
当$0＜t＜45$时,$NF$在$MN$的左侧，
$\because ME// NF$，
$\therefore ME$在$MN$的右侧，
$\therefore ∠EMD=∠ANF$，
$\therefore 4t=30+t$，
$\therefore t=10$；
当$45≤t＜90$时,$NF$在$MN$的左侧，
$\because ME// NF$，
$\therefore ME$在$MN$的右侧，
$\therefore 360-4t=30+t$，
$\therefore t=66$；
当$90≤t＜135$时,$NF$在$MN$的右侧，
$\because NF// ME$，
$\therefore ME$在$MN$的左侧，
$\therefore 4t-360=30+t$，
$\therefore t=130$；
当$135≤t＜150$时,$4t-540=150-t$，
$\therefore t=138$。
综上所述,$t$的值为10或66或130或138.(8分)
(3)过点$P$作$PH// AB$,如图.
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// CD// PH$。
$\because ∠NME$的度数为$m$，
$\therefore ∠PMC=60°-m$。
$\because ∠EMD=4t$，
$\therefore 60°-m=180°-4t$，
$\therefore t=30°+\frac{1}{4}m$。
$\because AB// CD// PH$，
$\therefore ∠HPM=∠PMC=60°-m,∠HPN=∠PNA=t=30°+\frac{1}{4}m$。
$\because PQ⊥ EM$，
$\therefore ∠QPM=90°$，
$\therefore ∠NPQ=90°-(30°+\frac{1}{4}m)-(60°-m)=\frac{3}{4}m$.(12分)

【分析】
本题分为三小问：
1. 第(1)问是解二元一次方程组，采用加减消元法消去未知数$b$，先求出$a$的值，再代入原方程求出$b$的值；
2. 第(2)问结合平行线的性质与射线旋转的动态问题：先由$AB//CD$得$∠ANM=120°$，根据NF先运动30秒得初始$∠ANF=30°$，再根据ME、NF的旋转速度，结合ME往返旋转的特点，分不同时间段讨论$ME//NF$时的角度关系，列方程求解$t$；
3. 第(3)问通过作辅助线$PH//AB$，利用平行公理的推论得到$AB//CD//PH$，结合平行线的内错角相等，先建立$t$与$m$的关系，再结合$PQ⊥ME$的直角关系，计算$∠NPQ$的度数。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}4a+b=17,① \\3a-2b=10.②\end{cases}$
①×2，得$8a+2b=34$，③
②+③，得$11a=44$，解得$a=4$。
将$a=4$代入①，得$4×4 + b=17$，解得$b=1$。
所以$\begin{cases}a=4 \\b=1\end{cases}$。
(2) 因为$AB//CD$，$∠CMN=60°$，所以$∠ANM=180°-∠CMN=120°$。
NF先运动30秒，初始$∠ANF=30°×1°=30°$，ME旋转速度为4度/秒，NF旋转速度为1度/秒，ME往返旋转，分情况讨论：
① 当$0＜t＜45$时，NF在MN左侧，ME在MN右侧，$∠EMD=∠ANF$，即$4t=30 + t$，解得$t=10$；
② 当$45≤t＜90$时，NF在MN左侧，ME在MN右侧，$360 - 4t=30 + t$，解得$t=66$；
③ 当$90≤t＜135$时，NF在MN右侧，ME在MN左侧，$4t - 360=30 + t$，解得$t=130$；
④ 当$135≤t＜150$时，NF在MN右侧，ME在MN左侧，$4t - 540=150 - t$，解得$t=138$。
综上，$t$的值为10或66或130或138。
(3) 过点$P$作$PH//AB$，如图。
因为$AB//CD$，所以$AB//CD//PH$。
已知$∠NME=m$，则$∠PMC=60° - m$。
由$∠EMD + ∠PMC=180°$，得$60° - m=180° - 4t$，解得$t=30° + \frac{1}{4}m$。
由平行线性质，$∠HPM=∠PMC=60° - m$，$∠HPN=∠PNA=t=30° + \frac{1}{4}m$。
因为$PQ⊥EM$，所以$∠QPM=90°$，则$∠NPQ=90° - (30° + \frac{1}{4}m) - (60° - m)=\frac{3}{4}m$。
【答案】
(1)$\begin{cases}a=4, \\b=1.\end{cases}$
(2)$t$的值为10或66或130或138.
(3)$∠NPQ=\frac{3}{4}m$

【知识点】
二元一次方程组、平行线的性质、旋转的角度计算
【点评】
本题综合考查二元一次方程组解法、平行线性质及动态旋转问题的分类讨论，需具备逻辑分析与分类讨论能力，难度适中，适合中等以上学生解答。
【难度系数】
0.4