10. 按如图所示的方式放置的两个正方形，B,F,G,C四点在同一条直线上，且$BF=CG$。若已知图中阴影部分的面积，下列各式中，一定能求出其值的是()


A.$BF· BG$
B.$BF· CG$
C.$FG· CG$
D.$BC· FG$

10.A 【解析】设正方形ABCD的边长为a,正方形EFGH的边长为b,阴影部分的面积为S,所以BC=a,FG=b,$a^2-b^2=S$。因为B,F,G,C四点在同一条直线上,所以BF+FG+CG=BC。因为BF=CG,所以2BF+FG=BC,即2BF+b=a。所以$BF=CG=\frac{a-b}{2}$。所以$BG=BF+FG=\frac{a-b}{2}+b=\frac{a+b}{2}$。对于选项A,$BF· BG=\frac{a-b}{2}×\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-b^2}{4}=\frac{S}{4}$,所以当已知图中阴影部分的面积,一定能求出$BF· BG$的值,故选项A符合题意。对于选项B,$BF· CG=\frac{a-b}{2}×\frac{a-b}{2}=\frac{(a-b)^2}{4}$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$BF· CG$的值,故选项B不符合题意。对于选项C,$FG· CG=b×\frac{a-b}{2}=\frac{ab-b^2}{2}$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$FG· CG$的值,故选项C不符合题意。对于选项D,$BC· FG=ab$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$BC· FG$的值,故选项D不符合题意。故选A。

【分析】
本题是结合正方形面积与线段乘积的几何代数综合题，解题思路为：先设大正方形ABCD边长为a，小正方形EFGH边长为b，根据阴影面积得到S=a²−b²；再利用B、F、G、C共线且BF=CG的条件，推导出各线段的表达式；最后将四个选项的式子用a、b表示，结合S=a²−b²判断哪个选项的式子可由已知阴影面积确定值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，阴影部分面积为S，则S=a²−b²。
因为B、F、G、C四点共线，所以BF+FG+CG=BC=a，又BF=CG，设BF=CG=x，可得2x + b = a，解得x=(a−b)/2，即BF=CG=(a−b)/2。
对各选项分析：
选项A：BG=BF+FG=(a−b)/2 + b=(a+b)/2，因此BF·BG=(a−b)/2 × (a+b)/2=(a²−b²)/4=S/4，已知S即可确定该式的值；
选项B：BF·CG=(a−b)/2 × (a−b)/2=(a−b)²/4，无法转化为含S的表达式，不能确定值；
选项C：FG·CG=b × (a−b)/2=(ab−b²)/2，无法转化为含S的表达式，不能确定值；
选项D：BC·FG=ab，无法转化为含S的表达式，不能确定值；
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积、代数式化简、线段和差关系
【点评】
本题核心是利用平方差公式将阴影面积与线段乘积关联，考查几何与代数的结合应用，需通过设未知数推导线段表达式，再结合公式变形判断选项，是中等难度的几何代数综合题。
【难度系数】
0.5

11. 计算：$2025^{-1}=$。

11.$\dfrac{1}{2025}$

【分析】本题考查负整数指数幂的运算，解题思路是：根据负整数指数幂的运算法则，将负指数转化为正整数指数的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），代入计算即可得到结果。
【解析】根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：$2025^{-1}=\frac{1}{2025^1}=\frac{1}{2025}$。
【答案】$\dfrac{1}{2025}$
【知识点】负整数指数幂
【点评】本题是负整数指数幂的基础运算题，核心是掌握负指数幂的转化规则，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9

12. 因式分解：$a^2 - 3a=$。

12.$a(a-3)$

【分析】本题是因式分解题，式子为$a^2 - 3a$，观察发现两项都含有公因式$a$，因此采用提公因式法进行因式分解，步骤为：先确定公因式，再将公因式提取出来，剩余部分组成另一个因式。
【解析】多项式$a^2 - 3a$中，各项的公因式是$a$，提取公因式$a$后，剩余部分为$a - 3$，因此因式分解结果为$a(a - 3)$。
【答案】$a(a-3)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题属于因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的应用，只要能准确找出多项式的公因式即可完成分解，是因式分解模块的入门题目，帮助学生巩固基础分解方法。
【难度系数】0.9

13. 若一个长方形的面积是$6a^{2}-4ab$，一边长为$2a$，则另外一边长为(用含$a,b$的代数式表示)。

13.$3a-2b$

【分析】
要解决这个问题，首先依据长方形面积公式：面积=长×宽，推导出另一边长=面积÷已知边长。接下来需运用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可求出结果。
【解析】
根据长方形面积公式，另一边长为：
$(6a^{2}-4ab)÷2a$
按照多项式除以单项式的运算法则计算：
$6a^{2}÷2a - 4ab÷2a = 3a - 2b$
【答案】
$3a - 2b$
【知识点】
多项式除以单项式，长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查多项式除以单项式的基础运算，只要掌握运算法则就能顺利求解，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

14.已知$\frac{x}{y}=2$,则代数式$\frac{2y+5x}{x-y}$的值为。

14.12

【分析】
已知x与y的比值，要求的代数式是关于x、y的分式，解题思路是利用比例关系将x用y表示，代入代数式后消去未知数y，进而计算出结果。具体步骤：由$\frac{x}{y}=2$得$x=2y$，将其代入目标代数式，化简后即可求出值。
【解析】
因为$\frac{x}{y}=2$，所以$x=2y$（$y≠0$，保证分母不为0）。
将$x=2y$代入$\frac{2y+5x}{x-y}$得：
分子：$2y +5×2y =2y +10y=12y$
分母：$2y - y = y$
则原式$=\frac{12y}{y}=12$（约去$y$，$y≠0$）。
【答案】
12
【知识点】
分式化简求值、比例性质
【点评】
本题属于基础的分式求值题，核心是利用比例关系进行代入消元，计算过程简单，主要考查学生对分式化简和比例关系的掌握。
【难度系数】
0.8

15. 如图,在一次数学实践活动课中,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB, CD。若$CD// BF$,且$CE⊥ DF$,则$∠ABF$的大小为。

15.$67.5°$ 【解析】如图,延长BC到点G。因为$AF//BG$,$CE⊥ DF$,所以$∠ECG=∠CED=90°$。由折叠得$∠DCG=∠ECD=45°$,因为$CD//BF$,所以$∠CBF=∠DCG=45°$。由折叠得$∠ABF=\frac{1}{2}(180°-∠CBF)=67.5°$。

【分析】
要解决本题，需结合纸带对边平行的性质、折叠的性质以及平行线的角度关系推导角度。首先通过延长辅助线，利用垂直条件和平行线性质得到相关角的度数，再结合折叠前后角相等的特点，逐步计算出∠ABF的大小。
【解析】
如图，延长BC到点G。
1. 因为纸带对边互相平行，所以AD//BG，根据平行线的内错角相等，得∠CED=∠ECG。
2. 已知CE⊥DF，所以∠CED=90°，因此∠ECG=90°。
3. 由折叠的性质可知，∠DCG=∠ECD，且∠DCG + ∠ECD=∠ECG=90°，所以∠DCG=∠ECD=45°。
4. 又因为CD//BF，根据平行线的同位角相等，得∠CBF=∠DCG=45°。
5. 再由折叠的性质，折痕AB平分∠ABC，而∠ABC + ∠CBF=180°（平角定义），所以∠ABF=1/2(180° - ∠CBF)=1/2×(180° - 45°)=67.5°。
【答案】
67.5°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是折叠与平行线结合的角度计算问题，关键是利用平行线的性质和折叠前后角相等的特点，通过辅助线转化角度关系，逐步推导得出结果，考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5

16. 某河道绿化工程由甲、乙两支工程队合作完成。已知甲工程队每天完成$a\ \mathrm{m}$，共完成了$s\ \mathrm{m}$，用时$m_1$天；乙工程队每天完成$b\ \mathrm{m}$，共完成了$2s\ \mathrm{m}$，用时$m_2$天。若$m_1 + m_2 = 30$，则$s=\_\_\_\_\_\_$。(用含$a,b$的最简分式表示)

16.$\dfrac{30ab}{2a+b}$ 【解析】因为甲工程队每天完成$a\ \mathrm{m}$,共完成了$s\ \mathrm{m}$,用时$m_1$天,所以$m_1=\frac{s}{a}$。同理可得,$m_2=\frac{2s}{b}$。因为$m_1+m_2=30$,所以$\frac{s}{a}+\frac{2s}{b}=30$,整理得,$s=\frac{30ab}{2a+b}$。

【分析】
首先回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。先利用该公式分别表示出甲、乙两队的用时$m_1$和$m_2$，再结合已知条件$m_1 + m_2 = 30$列出关于$s$的方程，最后通过分式运算求解出$s$的表达式。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得：
甲工程队用时 $ m_1 = \frac{s}{a} $，
乙工程队用时 $ m_2 = \frac{2s}{b} $。
已知$ m_1 + m_2 = 30 $，代入得：
$ \frac{s}{a} + \frac{2s}{b} = 30 $，
提取公因式$s$整理得：
$ s( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} ) = 30 $，
对括号内的分式通分：$ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{b + 2a}{ab} $，
因此方程变为：$ s · \frac{2a + b}{ab} = 30 $，
解得：$ s = 30 · \frac{ab}{2a + b} = \frac{30ab}{2a + b} $。
【答案】
$\dfrac{30ab}{2a+b}$
【知识点】
分式的应用、工程问题
【点评】
本题考查工程问题基本数量关系的应用，结合分式运算求解未知量，关键是正确表示两队工作时间并建立方程，属于基础分式应用题型。
【难度系数】
0.6

17.(8分)计算:
(1)$2a(b-a)$。
(2)$\dfrac{7y}{6x^2} · \dfrac{3x^3}{7y^2}$。

17.(1)$原式=2ab-2a^2$。 (2)$原式=\dfrac{x}{2y}$。

【分析】
本题考查整式和分式的基本运算，解题思路：(1) 单项式乘多项式需运用乘法分配律，用单项式分别乘多项式的每一项，再合并结果；(2) 分式乘法需遵循“分子相乘作分子，分母相乘作分母”的法则，再约去分子分母的公因式化简。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的运算法则：
$2a(b - a) = 2a·b - 2a·a = 2ab - 2a^2$；
(2) 根据分式乘法的运算法则，先约分再计算：
$\dfrac{7y}{6x^2} · \dfrac{3x^3}{7y^2} = \dfrac{7y·3x^3}{6x^2·7y^2} = \dfrac{x}{2y}$；
【答案】
(1) $2ab - 2a^2$；(2) $\dfrac{x}{2y}$
【知识点】
单项式乘多项式，分式的乘法运算
【点评】
本题为基础运算题，主要考查学生对整式、分式基本运算法则的掌握，运算过程需注意符号和约分的准确性，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8