登录
18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ x + 2y = 6。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$。
(1)$\begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ x + 2y = 6。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$。
答案
18.(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\dfrac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题包含两小问，第一问是二元一次方程组，可利用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y；第二问是分式方程，需先将分母化为相同形式，再去分母转化为整式方程求解，最后要检验解的合理性。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2&① \\ x + 2y = 6&② \end{cases}$，
①+②得：$4x = 8$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入②得：$2 + 2y = 6$，解得$y = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$，
先变形分母：$\dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{4x}{x - 2} = 1$，
两边同乘最简公分母$x - 2$得：$2 + 4x = x - 2$，
移项合并得：$3x = -4$，解得$x = -\dfrac{4}{3}$，
检验：当$x = -\dfrac{4}{3}$时，$x - 2 = -\dfrac{10}{3} ≠ 0$，所以$x = -\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
二元一次方程组解法，分式方程解法
【点评】
本题属于基础题型，分别考查加减消元法解二元一次方程组、分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，避免出现增根，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
本题包含两小问，第一问是二元一次方程组，可利用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y；第二问是分式方程，需先将分母化为相同形式，再去分母转化为整式方程求解，最后要检验解的合理性。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2&① \\ x + 2y = 6&② \end{cases}$，
①+②得：$4x = 8$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入②得：$2 + 2y = 6$，解得$y = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$，
先变形分母：$\dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{4x}{x - 2} = 1$，
两边同乘最简公分母$x - 2$得：$2 + 4x = x - 2$，
移项合并得：$3x = -4$，解得$x = -\dfrac{4}{3}$，
检验：当$x = -\dfrac{4}{3}$时，$x - 2 = -\dfrac{10}{3} ≠ 0$，所以$x = -\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
二元一次方程组解法，分式方程解法
【点评】
本题属于基础题型，分别考查加减消元法解二元一次方程组、分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，避免出现增根，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某校为了解学生寒假期间运动锻炼的情况,从本校三个年级学生中随机抽取部分学生,调查他们寒假期间一周的运动时长$t$(单位:h),将收集到的数据整理分成四组:A.$0≤ t＜4$,B.$4≤ t＜8$,C.$8≤ t＜12$,D.$12≤ t＜16$(每组包含前一个边界值,不包含后一个边界值,抽取的学生运动时长均小于16h),并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。根据以上信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,共调查了多少名学生?
(2)请通过计算将频数分布直方图补充完整,并求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数。
(3)已知寒假假期每周运动时间不少于4h为达标。若该校有1600名学生,估计运动时间达标的学生共有多少人。
答案
19.(1)$36÷30\%=120$(名),所以共调查了120名学生。(2)C组对应的学生人数为$120-12-36-30=42$(人)。补全频数直方图如图所示。在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数为$360°×\frac{42}{120}=126°$。
(3)$1600×\frac{36+42+30}{120}=1440$(人),所以估计运动时间达标的学生共有1440人。解析
【分析】
本题为统计类题目，解题思路如下：首先，结合频数分布直方图中B组的频数和扇形统计图中B组的占比，计算出抽样调查的总学生数；接着，用总人数减去A、B、D组的人数得到C组人数，补全频数分布直方图，再根据C组人数占总人数的比例，计算其在扇形统计图中对应的圆心角度数；最后，根据“运动时间不少于4h为达标”，计算达标人数占样本的比例，乘以该校总人数，估计达标学生总数。
【解析】
(1) 由频数分布直方图知B组频数为36，由扇形统计图知B组占比30%，因此抽样调查总人数为：$36 ÷ 30\% = 120$（名）。
(2) C组人数为总人数减去A、B、D组人数，即：$120 - 12 - 36 - 30 = 42$（人），据此补全频数分布直方图。扇形统计图中C组对应的圆心角为：$360° × \frac{42}{120} = 126°$。
(3) 达标学生为B、C、D组，人数和为$36 + 42 + 30 = 108$（人），该校达标学生估计数为：$1600 × \frac{108}{120} = 1440$（人）。
【答案】
(1) 共调查了120名学生；
(2) C组人数为42人，补全频数分布直方图如图所示，C组所对应的圆心角的度数为$126°$；
(3) 估计运动时间达标的学生共有1440人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查数据处理能力，核心是利用图表关联获取总人数，步骤清晰，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题为统计类题目，解题思路如下：首先，结合频数分布直方图中B组的频数和扇形统计图中B组的占比，计算出抽样调查的总学生数；接着，用总人数减去A、B、D组的人数得到C组人数，补全频数分布直方图，再根据C组人数占总人数的比例，计算其在扇形统计图中对应的圆心角度数；最后，根据“运动时间不少于4h为达标”，计算达标人数占样本的比例，乘以该校总人数，估计达标学生总数。
【解析】
(1) 由频数分布直方图知B组频数为36，由扇形统计图知B组占比30%，因此抽样调查总人数为：$36 ÷ 30\% = 120$（名）。
(2) C组人数为总人数减去A、B、D组人数，即：$120 - 12 - 36 - 30 = 42$（人），据此补全频数分布直方图。扇形统计图中C组对应的圆心角为：$360° × \frac{42}{120} = 126°$。
(3) 达标学生为B、C、D组，人数和为$36 + 42 + 30 = 108$（人），该校达标学生估计数为：$1600 × \frac{108}{120} = 1440$（人）。
【答案】
(1) 共调查了120名学生；
(2) C组人数为42人，补全频数分布直方图如图所示，C组所对应的圆心角的度数为$126°$；
(3) 估计运动时间达标的学生共有1440人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查数据处理能力，核心是利用图表关联获取总人数，步骤清晰，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(8分)如图,已知$AB// CD,∠CAB+∠EFD=180^{\circ }$。
(1)判断AC,EF是否平行,并说明理由。
(2)若$∠AEF=50^{\circ },∠D=60^{\circ }$,求$∠CAD$的度数。
(1)判断AC,EF是否平行,并说明理由。
(2)若$∠AEF=50^{\circ },∠D=60^{\circ }$,求$∠CAD$的度数。
答案
20.(1)$AC// EF$。理由如下:因为$AB// CD$,所以$∠CAB+∠C=180°$。因为$∠CAB+∠EFD=180°$,所以$∠C=∠EFD$。所以$AC// EF$。(2)因为$AB// CD$,所以$∠AEF=∠EFD=50°$。所以$∠C=∠EFD=50°$。因为$∠D=60°$,所以$∠CAD=180°-∠C-∠D=180°-50°-60°=70°$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先看第一问判断AC和EF是否平行：已知AB平行CD，根据平行线同旁内角互补的性质，可得到∠CAB与∠C的和为180°，结合题目给出的∠CAB+∠EFD=180°，利用同角的补角相等能推出∠C=∠EFD，再根据同位角相等两直线平行，即可判断AC和EF平行。第二问求∠CAD：利用AB平行CD的内错角相等，得到∠EFD=∠AEF，结合第一问的结论得到∠C的度数，再根据三角形内角和定理，用180°减去∠C和∠D的度数，就能算出∠CAD。
【解析】
(1) $AC// EF$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ CAB + ∠ EFD = 180°$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AC// EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，内错角相等），
由(1)知$∠ C = ∠ EFD = 50°$，
在$△ ACD$中，$∠ C + ∠ D + ∠ CAD = 180°$（三角形内角和定理），
$\therefore ∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ D = 180° - 50° - 60° = 70°$。
【答案】
(1) $AC// EF$；(2) $∠ CAD=70°$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质与判定、三角形内角和的基础综合题，核心是利用平行线的角关系推导，再结合三角形内角和计算角度，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先看第一问判断AC和EF是否平行：已知AB平行CD，根据平行线同旁内角互补的性质，可得到∠CAB与∠C的和为180°，结合题目给出的∠CAB+∠EFD=180°，利用同角的补角相等能推出∠C=∠EFD，再根据同位角相等两直线平行，即可判断AC和EF平行。第二问求∠CAD：利用AB平行CD的内错角相等，得到∠EFD=∠AEF，结合第一问的结论得到∠C的度数，再根据三角形内角和定理，用180°减去∠C和∠D的度数，就能算出∠CAD。
【解析】
(1) $AC// EF$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ CAB + ∠ EFD = 180°$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AC// EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，内错角相等），
由(1)知$∠ C = ∠ EFD = 50°$，
在$△ ACD$中，$∠ C + ∠ D + ∠ CAD = 180°$（三角形内角和定理），
$\therefore ∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ D = 180° - 50° - 60° = 70°$。
【答案】
(1) $AC// EF$；(2) $∠ CAD=70°$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质与判定、三角形内角和的基础综合题，核心是利用平行线的角关系推导，再结合三角形内角和计算角度，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
