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21.(8分)一个代数式只含有字母$x,y$,把$x$替换成$y$,把$y$替换成$x$,得到一个新的代数式。若不论$x,y$如何取值,新代数式的值与原代数式的值始终相等,则称原代数式为对称式。例如:代数式$\frac{x+y}{xy}$,新代数式为$\frac{y+x}{yx}$,因为$\frac{x+y}{xy}=\frac{y+x}{yx}$,所以$\frac{x+y}{xy}$是对称式。而代数式$\frac{x-y}{x}$,新代数式为$\frac{y-x}{y}$,因为当$x=2,y=1$时,代数式值为$\frac{1}{2}$,新代数式值为$-1$,两者不相等,所以$\frac{x-y}{x}$不是对称式。
(1)请判断$x^2y+xy^2$和$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是不是对称式,模仿上面的格式说明理由。
(2)关于字母$x,y$的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$为常数)是对称式,求$m$的值。
(1)请判断$x^2y+xy^2$和$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是不是对称式,模仿上面的格式说明理由。
(2)关于字母$x,y$的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$为常数)是对称式,求$m$的值。
答案
21.(1)$x^2y+xy^2$是对称式,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。理由如下:因为$x^2y+xy^2$交换$x$和$y$后为$y^2x+yx^2$,且$y^2x+yx^2=x^2y+xy^2$,所以$x^2y+xy^2$是对称式。$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{x^2-y^2}{xy}$,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$交换$x$和$y$后为$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2-x^2}{xy}=\frac{y^2-x^2}{xy}$,因为$\frac{x^2-y^2}{xy}≠\frac{y^2-x^2}{xy}$,所以$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。(2)因为关于字母$x,y$的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$为常数)是对称式,所以$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{y+mx}{yx}+\frac{y-x}{yx}$,即$\frac{2x+(m-1)y}{xy}=\frac{2y+(m-1)x}{yx}$。所以$2x+(m-1)y=2y+(m-1)x$。所以$m-1=2$,即$m=3$。
解析
【分析】首先明确对称式的定义：将代数式中的字母x与y互换位置后，所得新代数式与原代数式的值始终相等，这样的代数式即为对称式。对于第(1)题，分别对两个代数式互换x和y，计算新代数式并与原式比较是否相等，从而判断是否为对称式；对于第(2)题，根据对称式的性质，互换x和y后代数式相等，据此列出等式，通过代数变形求解常数m的值。
【解析】
(1) ① 判断$x^2y+xy^2$是否为对称式：
将x与y互换，得到新代数式为$y^2x + yx^2$，根据加法交换律，$y^2x + yx^2 = x^2y + xy^2$，与原代数式相等，因此$x^2y+xy^2$是对称式。
② 判断$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是否为对称式：
先化简原代数式：$\frac{x}{y}-\frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$；将x与y互换，得到新代数式为$\frac{y}{x}-\frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$。因为$\frac{x^2 - y^2}{xy} ≠ \frac{y^2 - x^2}{xy}$，所以$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。
(2) 已知代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$是对称式，先合并原式：
$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy} = \frac{(x+my)+(x-y)}{xy} = \frac{2x + (m-1)y}{xy}$。
将x与y互换，得到新代数式为$\frac{y + mx}{yx} + \frac{y - x}{yx} = \frac{(y+mx)+(y-x)}{yx} = \frac{2y + (m-1)x}{yx}$。
因为该代数式是对称式，所以互换后的代数式与原代数式相等，即$\frac{2x + (m-1)y}{xy} = \frac{2y + (m-1)x}{yx}$，两边同乘xy（xy≠0），得$2x + (m-1)y = 2y + (m-1)x$。
整理等式得：$(2 - m +1)x = (2 - m +1)y$，即$(3 - m)x = (3 - m)y$，该等式对任意x、y成立，因此$3 - m = 0$，解得$m=3$。
【答案】(1)$x^2y+xy^2$是对称式，$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式；(2)$m=3$
【知识点】对称式的定义、分式的运算、代数式化简
【点评】本题为新定义题型，核心是理解对称式的本质（x与y互换后代数式值不变），结合分式运算进行判断与求解，重点考察学生对新定义的应用能力和代数变形能力。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) ① 判断$x^2y+xy^2$是否为对称式：
将x与y互换，得到新代数式为$y^2x + yx^2$，根据加法交换律，$y^2x + yx^2 = x^2y + xy^2$，与原代数式相等，因此$x^2y+xy^2$是对称式。
② 判断$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是否为对称式：
先化简原代数式：$\frac{x}{y}-\frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$；将x与y互换，得到新代数式为$\frac{y}{x}-\frac{x}{y} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$。因为$\frac{x^2 - y^2}{xy} ≠ \frac{y^2 - x^2}{xy}$，所以$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。
(2) 已知代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$是对称式，先合并原式：
$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy} = \frac{(x+my)+(x-y)}{xy} = \frac{2x + (m-1)y}{xy}$。
将x与y互换，得到新代数式为$\frac{y + mx}{yx} + \frac{y - x}{yx} = \frac{(y+mx)+(y-x)}{yx} = \frac{2y + (m-1)x}{yx}$。
因为该代数式是对称式，所以互换后的代数式与原代数式相等，即$\frac{2x + (m-1)y}{xy} = \frac{2y + (m-1)x}{yx}$，两边同乘xy（xy≠0），得$2x + (m-1)y = 2y + (m-1)x$。
整理等式得：$(2 - m +1)x = (2 - m +1)y$，即$(3 - m)x = (3 - m)y$，该等式对任意x、y成立，因此$3 - m = 0$，解得$m=3$。
【答案】(1)$x^2y+xy^2$是对称式，$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式；(2)$m=3$
【知识点】对称式的定义、分式的运算、代数式化简
【点评】本题为新定义题型，核心是理解对称式的本质（x与y互换后代数式值不变），结合分式运算进行判断与求解，重点考察学生对新定义的应用能力和代数变形能力。
【难度系数】0.6
22.(10分)如图1,两张边长分别为a,b(a＞b)的正方形纸片A,B。
(1)如图2,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中(无重叠),若大正方形纸片的边长为10,阴影部分的面积为35。
①求A,B两张纸片的面积和$a^2+b^2$。
②求A,B两张纸片的边长差$a-b$。
(2)如图3,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中,若已知A,B两张纸片的边长差为2,A,B两张纸片的面积和为20,求阴影部分的面积。
(1)如图2,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中(无重叠),若大正方形纸片的边长为10,阴影部分的面积为35。
①求A,B两张纸片的面积和$a^2+b^2$。
②求A,B两张纸片的边长差$a-b$。
(2)如图3,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中,若已知A,B两张纸片的边长差为2,A,B两张纸片的面积和为20,求阴影部分的面积。
答案
22.(1)①由题意得,$a+b=10$,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大正方形}}-S_{\mathrm{正方形}A}-S_{\mathrm{正方形}B}=(a+b)^2-a^2-b^2=35$,即$2ab=35$,所以A,B两张纸片的面积和$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100-35=65$。②因为$a+b=10$,$2ab=35$,所以$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=100-70=30$。因为$a＞b＞0$,所以$a-b=\sqrt{30}$。(2)由题意得,$a-b=2$,$a^2+b^2=20$,因为$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$,所以$4=20-2ab$。所以$ab=8$。所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=ab=8$。
解析
【分析】
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，需通过观察图形面积关系建立代数等式，利用完全平方公式的变形进行计算。
(1)①观察图2，大正方形边长为A、B的边长之和，结合已知大正方形边长可得到$a+b=10$，阴影面积等于大正方形面积减去两个正方形面积，据此求出$2ab$，再用完全平方公式变形求$a^2+b^2$。
②利用完全平方公式$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已得的$a+b$和$ab$的值，结合$a＞b$的条件求$a-b$。
(2)观察图3，阴影部分是两个三角形，面积和为$ab$；结合已知$a-b=2$和$a^2+b^2=20$，用完全平方公式变形求出$ab$，即可得到阴影面积。
【解析】
(1)①由图2可知，大正方形边长为$a+b$，已知大正方形边长为10，故$a+b=10$。
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{大正方形}-S_{正方形A}-S_{正方形B}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$，代入$a+b=10$和$S_{阴影}=35$得：
$10^2 - a^2 - b^2 = 35$，即$100 - (a^2 + b^2) = 35$，整理得$a^2 + b^2 = 100 - 35 = 65$。
②由$a+b=10$，得$(a+b)^2 = 100$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 100$，结合①中$a^2 + b^2 = 65$，得$2ab = 100 - 65 = 35$，故$4ab = 70$。
根据完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2 - 4ab = 100 - 70 = 30$。
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = \sqrt{30}$。
(2)由图3可知，阴影部分面积为两个三角形面积之和：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab$。
已知$a - b = 2$，$a^2 + b^2 = 20$，根据完全平方公式：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，代入得$2^2 = 20 - 2ab$，即$4 = 20 - 2ab$，解得$ab = 8$，故$S_{阴影}=8$。
【答案】
(1)①$a^2+b^2=65$；②$a-b=\sqrt{30}$；(2)阴影部分面积为8。
【知识点】
完全平方公式；正方形面积；三角形面积
【点评】
本题将代数公式与几何图形面积结合，考查完全平方公式的灵活变形，体现了数形结合的思想，需要学生能准确分析图形面积关系并运用公式计算，是中等难度的代数几何综合题。
【难度系数】
0.6
本题结合几何图形考查完全平方公式的应用，需通过观察图形面积关系建立代数等式，利用完全平方公式的变形进行计算。
(1)①观察图2，大正方形边长为A、B的边长之和，结合已知大正方形边长可得到$a+b=10$，阴影面积等于大正方形面积减去两个正方形面积，据此求出$2ab$，再用完全平方公式变形求$a^2+b^2$。
②利用完全平方公式$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已得的$a+b$和$ab$的值，结合$a＞b$的条件求$a-b$。
(2)观察图3，阴影部分是两个三角形，面积和为$ab$；结合已知$a-b=2$和$a^2+b^2=20$，用完全平方公式变形求出$ab$，即可得到阴影面积。
【解析】
(1)①由图2可知，大正方形边长为$a+b$，已知大正方形边长为10，故$a+b=10$。
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{大正方形}-S_{正方形A}-S_{正方形B}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$，代入$a+b=10$和$S_{阴影}=35$得：
$10^2 - a^2 - b^2 = 35$，即$100 - (a^2 + b^2) = 35$，整理得$a^2 + b^2 = 100 - 35 = 65$。
②由$a+b=10$，得$(a+b)^2 = 100$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 100$，结合①中$a^2 + b^2 = 65$，得$2ab = 100 - 65 = 35$，故$4ab = 70$。
根据完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a + b)^2 - 4ab = 100 - 70 = 30$。
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b = \sqrt{30}$。
(2)由图3可知，阴影部分面积为两个三角形面积之和：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab$。
已知$a - b = 2$，$a^2 + b^2 = 20$，根据完全平方公式：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，代入得$2^2 = 20 - 2ab$，即$4 = 20 - 2ab$，解得$ab = 8$，故$S_{阴影}=8$。
【答案】
(1)①$a^2+b^2=65$；②$a-b=\sqrt{30}$；(2)阴影部分面积为8。
【知识点】
完全平方公式；正方形面积；三角形面积
【点评】
本题将代数公式与几何图形面积结合，考查完全平方公式的灵活变形，体现了数形结合的思想，需要学生能准确分析图形面积关系并运用公式计算，是中等难度的代数几何综合题。
【难度系数】
0.6
