23.(10分)如图,已知$MN// PQ$,小墅将一把三角尺$ABC$的顶点$A$放置在直线$PQ$上,点$B$在直线$PQ$与直线$MN$之间,边$AC$与直线$MN$相交于点$D$,边$BC$与直线$MN$相交于点$E$,其中$∠ CAB=90°$,$∠ B=60°$。
(1)若$∠ CDM=68°$,求$∠ BAQ$的度数。
(2)旋转三角尺,并保持本题主干部分的所有条件不变。
①当$∠ BAQ=∠ NEB$时,求$∠ DAP$的度数。
②说明$∠ DAP$与$∠ NEB$的差是定值。

23.(1)因为$MN// PQ$,所以$∠CAP=∠CDM=68°$。因为$∠CAB=90°$,所以$∠BAQ=180°-∠CAP-∠CAB=180°-68°-90°=22°$。(2)①如图,过点B作$BH// MN$。所以$∠NEB=∠EBH$。因为$MN// PQ$,所以$BH// PQ$。所以$∠BAQ=∠HBA$。所以$∠NEB+∠BAQ=∠EBH+∠HBA=60°$。因为$∠BAQ=∠NEB$,所以$∠BAQ=30°$。所以$∠DAP=180°-∠CAB-∠BAQ=180°-90°-30°=60°$。②因为$∠DAP=180°-∠CAB-∠BAQ=90°-∠BAQ$,$∠NEB=∠CBA-∠BAQ=60°-∠BAQ$,所以$∠DAP-∠NEB=90°-∠BAQ-(60°-∠BAQ)=30°$,即$∠DAP$与$∠NEB$的差是定值。

【分析】
第(1)问：利用平行线MN//PQ的同位角相等，得到∠CAP与∠CDM相等，结合平角和∠CAB=90°的关系，计算∠BAQ；第(2)问①：通过作辅助线BH//MN，利用平行线的传递性得到BH//PQ，再根据平行线内错角相等，将∠NEB和∠BAQ转化为∠B的两个组成角，结合∠BAQ=∠NEB求出∠BAQ，进而计算∠DAP；②：分别用∠BAQ表示出∠DAP和∠NEB，通过代数运算证明两者的差为定值。
【解析】
(1) 因为$MN// PQ$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠CAP=∠CDM=68°$。
又因为$∠CAB=90°$，且$∠CAP + ∠CAB + ∠BAQ = 180°$（平角定义），
所以$∠BAQ = 180° - ∠CAP - ∠CAB = 180° - 68° - 90° = 22°$。
(2) ① 过点B作$BH// MN$，如图所示。
因为$BH// MN$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠NEB=∠EBH$。
又因为$MN// PQ$，所以$BH// PQ$（平行于同一直线的两直线平行），
根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠BAQ=∠HBA$。
所以$∠NEB + ∠BAQ = ∠EBH + ∠HBA = ∠B = 60°$。
已知$∠BAQ=∠NEB$，所以$2∠BAQ=60°$，解得$∠BAQ=30°$。
又因为$∠DAP + ∠CAB + ∠BAQ = 180°$，$∠CAB=90°$，
所以$∠DAP=180° - 90° - 30° = 60°$。
② 由角度关系可得：
$∠DAP=180° - ∠CAB - ∠BAQ=90° - ∠BAQ$，
$∠NEB=∠CBA - ∠BAQ=60° - ∠BAQ$，
所以$∠DAP - ∠NEB=(90° - ∠BAQ)-(60° - ∠BAQ)=30°$，
即$∠DAP$与$∠NEB$的差是定值30°。
【答案】
(1) $∠BAQ$的度数为$22°$；(2) ① $∠DAP$的度数为$60°$；② $∠DAP$与$∠NEB$的差为$30°$，是定值。
【知识点】
平行线的性质，角度计算，平行线辅助线
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角度转化，通过构造辅助线将分散的角集中，利用平行线的传递性简化角度关系，需要学生掌握平角、直角的角度运算，具备逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6