20. (8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD ⊥ AB$于点$D$.
(1)若$AB=5$,$BC=3$,求$CD$的长;
(2)若$BD=2$,$AD=4$,求$CD$的长.

20. 【点拨】本题考查勾股定理的应用,解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用和用等面积法计算直角三角形的高.
【解析】(1)
∵ $∠ACB = 90°$,
∴ $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$,
∴ $S_{△ABC} = \dfrac{1}{2}AC·BC = \dfrac{1}{2}AB·CD$,
∴ $CD = \dfrac{12}{5}$.
(2)设 $CD$ 长为 $x$,则 $BC^2 = 2^2 + x^2$,$AC^2 = 4^2 + x^2$.
∵ $BC^2 + AC^2 = AB^2$,
∴ $2^2 + x^2 + 4^2 + x^2 = 6^2$,解得 $x^2 = 8$.
∵ $x ＞ 0$,
∴ $CD = x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

【分析】
第(1)问：已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC，先利用勾股定理求出另一条直角边AC，再根据直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）相等，即可求出CD的长；第(2)问：先求出AB的长度，设CD为x，利用勾股定理分别表示出BC²和AC²，再结合Rt△ABC中BC²+AC²=AB²的关系，列方程求解x，注意长度为正，取正根即可得到CD的长。
【解析】
(1)
∵ ∠ACB = 90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(AB² - BC²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = 4，
又
∵ S△ABC = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CD，
代入数值：1/2 × 4 × 3 = 1/2 × 5 × CD，
两边同乘2得：12 = 5CD，
解得：CD = 12/5。
(2)
∵ BD=2，AD=4，
∴ AB = BD + AD = 2 + 4 = 6，
设CD的长为x（x＞0），
在Rt△BCD中，BC² = BD² + CD² = 2² + x² = 4 + x²，
在Rt△ACD中，AC² = AD² + CD² = 4² + x² = 16 + x²，
∵ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴ 由勾股定理得：BC² + AC² = AB²，
代入得：(4 + x²) + (16 + x²) = 6²，
化简：20 + 2x² = 36，
移项得：2x² = 16，
解得：x² = 8，
∵ x＞0，
∴ x = √8 = 2√2，即CD = 2√2。
【答案】
(1) CD的长为$\dfrac{12}{5}$；(2) CD的长为$2\sqrt{2}$。
【知识点】
勾股定理、直角三角形面积计算、方程思想
【点评】
本题是直角三角形相关的典型题型，主要考查勾股定理的应用，通过等面积法求直角三角形斜边上的高，以及利用方程思想结合勾股定理求解线段长度，需要熟练掌握勾股定理的内容和直角三角形面积的不同计算方法，难度适中。
【难度系数】
0.5

21.（8分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹.
（1）如图1，画一个$△ ABC$，使$AC=\sqrt{5},BC=2\sqrt{5},AB=5$，$△ ABC$的形状是________；
（2）如图2，在$□ ABCD$中，点$E$在$AD$边上，点$F$为内部一点.
①在边$AD$上画点$G$，使直线$FG$平分$□ ABCD$的面积；
②若$DE=CD$，画出$∠ A$的平分线交$BC$于点$M$.

21. 【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理,平行四边形的性质,解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质.
【解析】(1) 如图所示.
∵ $AC = \sqrt{5}$,$BC = 2\sqrt{5}$,$AB = 5$,
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴ $△ABC$ 是直角三角形. 故答案为直角三角形.
(2)① 如图所示,点 $G$ 即为所求.
② 连接 $EO$ 并延长交 $BC$ 于点 $M$,连接 $AM$,如图所示.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AB = CD$,$AD // BC$,$OB = OD$,
∴ $∠OED = ∠OMB$,$∠ODE = ∠OBM$,$∠DAM = ∠BMA$.
在 $△DOE$ 和 $△BOM$ 中,
$\begin{cases} ∠OED = ∠OMB, \\ ∠ODE = ∠OBM, \\ OD = OB, \end{cases}$
∴ $△DOE ≅ △BOM(AAS)$,
∴ $DE = BM$.
∵ $DE = CD$,
∴ $AB = BM$,
∴ $∠BAM = ∠BMA$,
∴ $∠BAM = ∠DAM$,即 $AM$ 平分 $∠BAD$.
故 $AM$ 即为所求.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用网格构造满足边长条件的三角形，再通过勾股定理逆定理判断形状；第(2)问利用平行四边形的中心对称性质、全等三角形及等腰三角形性质完成作图。
第(1)问思路：网格中每个小正方形边长为1，两点间距离可由勾股定理计算，据此找到A、B、C三点使AC=√5、BC=2√5、AB=5，再计算三边平方关系，用勾股定理逆定理判断三角形形状。
第(2)问①思路：平行四边形是中心对称图形，过其对角线交点（对称中心）的直线平分面积，故先找□ABCD的对角线交点O，连接FO延长交AD于G，直线FG即为所求。
第(2)问②思路：利用平行四边形对边平行且相等，证明△DOE≌△BOM得DE=BM，结合DE=CD=AB，得AB=BM，由等腰三角形“等边对等角”及平行线内错角相等，推得AM平分∠BAD。
【解析】
(1) 作图：在网格中取点A，点C为横向1格、纵向2格处（AC=√(1²+2²)=√5），点B为A右侧5格处（AB=5），连接BC，BC=√((5-1)²+(0-2)²)=√20=2√5，如图1所示。
计算：AC²=5，BC²=20，AB²=25，故AC²+BC²=AB²，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形。
(2) ① 平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接FO并延长交AD于点G，直线FG即为平分□ABCD面积的直线，点G即为所求，如图2所示。
② 连接EO并延长交BC于点M，连接AM，如图3所示。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD//BC，OD=OB，
∴ ∠OED=∠OMB，∠ODE=∠OBM，
在△DOE和△BOM中，
$\begin{cases} ∠OED=∠OMB \\ ∠ODE=∠OBM \\ OD=OB \end{cases}$
∴ △DOE≌△BOM(AAS)，
∴ DE=BM，
又
∵ DE=CD，AB=CD，
∴ AB=BM，
∴ ∠BAM=∠BMA，
∵ AD//BC，
∴ ∠BMA=∠DAM，
∴ ∠BAM=∠DAM，即AM平分∠BAD，故AM为∠A的平分线。
【答案】
(1) 直角三角形；
(2) ① 点G作图痕迹如图2；② AM作图痕迹如图3。
【知识点】
勾股定理逆定理，平行四边形性质，角平分线作图
【点评】
本题结合网格考查几何作图，综合运用了勾股定理逆定理、平行四边形的中心对称性质、全等三角形判定及等腰三角形性质，是几何知识的综合应用，需掌握核心定理才能完成作图，难度适中。
【难度系数】
0.5

22. (10分)如图,一辆火车在铁路$MN$上自西向东行驶,铁路有关部门规定$MN$路段限速180 km/h,$A$处有一测速仪,已知点$B,C$在$MN$上,$AB=300\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$∠ ABC=45°$,$∠ ACB=120°$,请解决以下问题:
(1)如图1,测速仪测得该火车从$B$点行驶至$C$点用时2 s,该火车超速了吗? 请说明理由;
(2)如图2,若$MN$上有一点$D$,且$CD=2BC$,若火车从$C$点行驶至$D$点,求$A$处测速仪探头旋转角$∠ CAD$的度数.

22. 【点拨】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形.
【解析】(1) 如题图 1,过点 $A$ 作 $AE ⊥ MN$ 于点 $E$.
∵ $∠ABC = 45°$,$∠AEB = 90°$,
∴ $∠BAE = ∠ABE = 45°$,
∴ $AE = BE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}AB = 300(\mathrm{m})$.
在 $Rt△ACE$ 中,$∠ACE = 180° - ∠ACB = 60°$,
∴ $CE = \dfrac{\sqrt{3}}{3}AE = 100\sqrt{3}\mathrm{m}$,
∴ $BC = (300 - 100\sqrt{3})\mathrm{m}$,则火车速度为 $(300 - 100\sqrt{3}) ÷ 2 = (150 - 50\sqrt{3})\mathrm{m/s}$. 火车限速为 180 km/h,则每秒限速为 $180000 ÷ 3600 = 50(\mathrm{m/s})$.
∵ $150 - 50\sqrt{3} ＞ 50$,
∴ 火车超速了.
(2) 如题图 2,过点 $A$ 作 $AE ⊥ MN$ 于点 $E$,过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 于点 $F$,
由(1)可知,在 $△ACE$ 中,$CE = 100\sqrt{3}\mathrm{ m}$,$∠CAE = 30°$,
∴ $AC = 2CE = 200\sqrt{3}\mathrm{m}$.
在 $Rt△CDF$ 中,$CD = 2BC = (600 - 200\sqrt{3})\mathrm{ m}$,$∠CDF = 30°$,
∴ $CF = (300 - 100\sqrt{3})\mathrm{ m}$,
∴ $DF = \sqrt{3}CF = (300\sqrt{3} - 300)\mathrm{ m}$,
∴ $AF = AC - CF = 200\sqrt{3} - (300 - 100\sqrt{3}) = (300\sqrt{3} - 300)\mathrm{ m}$,
∴ $AF = DF$.
∵ $∠AFD = 90°$,
∴ $∠CAD = 45°$.

【分析】
要解决这道题，需通过作辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值计算线段长度，进而完成速度比较和角度求解。
(1) 判断火车是否超速：过点A作AE⊥MN，将△ABC拆分为两个直角三角形，利用∠ABC=45°和∠ACB的补角60°，求出BE、CE的长度，得到BC的距离；再计算火车速度，与限速转换后的50m/s对比，判断是否超速。
(2) 求∠CAD的度数：由(1)得到AC的长度，结合CD=2BC，过D作DF⊥AC，利用直角三角形性质求出CF、DF，进而得到AF的长度，发现AF=DF，结合直角三角形特征得出∠CAD的度数。
【解析】
(1) 如图1，过点A作AE⊥MN于点E。
∵ ∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴ ∠BAE=∠ABE=45°，
∴ AE=BE= $\frac{\sqrt{2}}{2}AB$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}×300\sqrt{2}$ = 300(m)。
在Rt△ACE中，∠ACE=180°−∠ACB=180°−120°=60°，
∴ CE= $\frac{\sqrt{3}}{3}AE$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}×300$ = $100\sqrt{3}$(m)，
∴ BC=BE−CE= $300 - 100\sqrt{3}$(m)。
火车从B到C用时2s，速度为：$(300 - 100\sqrt{3})÷2 = 150 - 50\sqrt{3}$(m/s)。
限速180km/h转换为m/s：$180×1000÷3600 = 50$(m/s)。
∵ $150 - 50\sqrt{3}≈63.4＞50$，
∴ 火车超速了。
(2) 如图2，过点A作AE⊥MN于点E，过点D作DF⊥AC于点F。
由(1)知，AC=2CE= $2×100\sqrt{3}=200\sqrt{3}$(m)，BC= $300 - 100\sqrt{3}$(m)，
∴ CD=2BC= $2×(300 - 100\sqrt{3})=600 - 200\sqrt{3}$(m)。
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，
∴ ∠CDF=30°，
∴ CF= $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(600 - 200\sqrt{3})=300 - 100\sqrt{3}$(m)，
DF= $\sqrt{3}CF = \sqrt{3}(300 - 100\sqrt{3})=300\sqrt{3} - 300$(m)。
则AF=AC−CF= $200\sqrt{3} - (300 - 100\sqrt{3})=300\sqrt{3} - 300$(m)，
∴ AF=DF，又∠AFD=90°，故△AFD为等腰直角三角形，
∴ ∠CAD=45°。
【答案】
(1) 火车超速了；(2) ∠CAD=45°
【知识点】
解直角三角形应用，特殊角直角三角形，等腰直角三角形
【点评】
本题通过构造直角三角形将斜三角形问题转化为直角三角形问题，利用特殊角三角函数值计算线段长度，考查几何转化能力与运算能力，是典型的解直角三角形应用题。
【难度系数】
0.6