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16. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 是等腰直角三角形,点 $A(-4,0)$,点 $M(t,-2)$,点 $N(t+2,-3)$,连接 $MN,AM,BN$.当 $AM+BN$ 最小时,$t$ 的值为________.
答案
16. $-\dfrac{32}{9}$ 【点拨】本题考查图形与坐标,路径最短问题,解题的关键是会用待定系数法求一次函数解析式,熟知等腰三角形的性质,平移和轴对称.
【解析】
∵ $△ABC$ 是等腰直角三角形,点 $A(-4,0)$,则 $AB = BC$,$OA = 4$,
∴ $∠BAC = 45°$,则 $∠ABO = 45°$,
∴ $OA = OB = 4$,即 $B(0,4)$.
∵ 点 $M(t,-2)$,$N(t+2,-3)$,
∴ 点 $N$ 可以看成点 $M$ 向右平移 2 个单位长度,向下平移 1 个单位长度. 如图
,将点 $A$ 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得点 $D(-2,-1)$,连接 $AD,DN$,∴ $AM = DN$.
∵ $N(t+2,-3)$,则点 $N$ 在直线 $y = -3$ 上,作点 $D$ 关于直线 $y = -3$ 的对称点 $E$,连接 $BE,EN$,则 $EN = DN = AM$,
∴ $E(-2,-5)$.
$AM + BN = NE + BN ≥ BE$,当点 $N$ 在 $BE$ 上时取等号,此时 $AM + BN$ 有最小值.
设直线 $BE$ 的解析式为 $y = kx + b$,
由题意得 $\begin{cases} b = 4, \\ -2k + b = -5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = \dfrac{9}{2}, \\ b = 4, \end{cases}$
∴ 直线 $BE$ 的解析式为 $y = \dfrac{9}{2}x + 4$. 将 $N(t+2,-3)$ 代入,得 $t = -\dfrac{32}{9}$. 故答案为 $-\dfrac{32}{9}$.
解析
【分析】
要解决AM+BN最小的问题，需利用平移和轴对称转化线段，将两条线段的和转化为两点间的线段，结合一次函数求解。首先根据等腰直角三角形性质确定点B坐标；再由M、N的坐标关系，将点A平移得到对应点D，使AM=DN；因N在直线y=-3上，作D关于直线y=-3的对称点E，此时AM+BN=NE+BN，当B、N、E三点共线时，和最小；最后通过求直线BE的解析式，代入N的坐标计算t的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
∵△ABC是等腰直角三角形，点A(-4,0)，∠BAC=45°，∠AOB=90°，
∴OA=OB=4，即B(0,4)。
2. 平移点A构造等线段：
点M(t,-2)，N(t+2,-3)，可知N是M向右平移2个单位、向下平移1个单位得到的。将点A(-4,0)按此规律平移，得点D(-4+2,0-1)=(-2,-1)，故AM=DN。
3. 作对称点转化线段和：
点N在直线y=-3上，作点D关于直线y=-3的对称点E，对称点E的坐标为(-2,-5)，此时DN=EN，因此AM+BN=EN+BN。
根据两点之间线段最短，当B、N、E三点共线时，EN+BN最小，即AM+BN最小。
4. 求直线BE的解析式：
设直线BE的解析式为y=kx+b，代入B(0,4)和E(-2,-5)，得：
$\begin{cases} b=4 \\ -2k + b = -5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{9}{2} \\ b=4 \end{cases}$，故直线BE的解析式为$y=\frac{9}{2}x + 4$。
5. 代入点N的坐标求t：
点N(t+2,-3)在直线BE上，代入得：$-3=\frac{9}{2}(t+2)+4$，
解方程得：$t=-\frac{32}{9}$。
【答案】
$-\dfrac{32}{9}$
【知识点】
坐标与图形性质，最短路径问题，一次函数
【点评】
本题结合等腰直角三角形性质，通过平移、轴对称转化线段，将“两条线段和最小”转化为“两点之间线段最短”，再用一次函数求解，是初中常见的最值综合题，需掌握相关几何变换及函数应用。
【难度系数】
0.4
要解决AM+BN最小的问题，需利用平移和轴对称转化线段，将两条线段的和转化为两点间的线段，结合一次函数求解。首先根据等腰直角三角形性质确定点B坐标；再由M、N的坐标关系，将点A平移得到对应点D，使AM=DN；因N在直线y=-3上，作D关于直线y=-3的对称点E，此时AM+BN=NE+BN，当B、N、E三点共线时，和最小；最后通过求直线BE的解析式，代入N的坐标计算t的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
∵△ABC是等腰直角三角形，点A(-4,0)，∠BAC=45°，∠AOB=90°，
∴OA=OB=4，即B(0,4)。
2. 平移点A构造等线段：
点M(t,-2)，N(t+2,-3)，可知N是M向右平移2个单位、向下平移1个单位得到的。将点A(-4,0)按此规律平移，得点D(-4+2,0-1)=(-2,-1)，故AM=DN。
3. 作对称点转化线段和：
点N在直线y=-3上，作点D关于直线y=-3的对称点E，对称点E的坐标为(-2,-5)，此时DN=EN，因此AM+BN=EN+BN。
根据两点之间线段最短，当B、N、E三点共线时，EN+BN最小，即AM+BN最小。
4. 求直线BE的解析式：
设直线BE的解析式为y=kx+b，代入B(0,4)和E(-2,-5)，得：
$\begin{cases} b=4 \\ -2k + b = -5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{9}{2} \\ b=4 \end{cases}$，故直线BE的解析式为$y=\frac{9}{2}x + 4$。
5. 代入点N的坐标求t：
点N(t+2,-3)在直线BE上，代入得：$-3=\frac{9}{2}(t+2)+4$，
解方程得：$t=-\frac{32}{9}$。
【答案】
$-\dfrac{32}{9}$
【知识点】
坐标与图形性质，最短路径问题，一次函数
【点评】
本题结合等腰直角三角形性质，通过平移、轴对称转化线段，将“两条线段和最小”转化为“两点之间线段最短”，再用一次函数求解，是初中常见的最值综合题，需掌握相关几何变换及函数应用。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)计算.
(1)$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}$;
(2)$2\sqrt{12} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}$.
17. (8分)计算.
(1)$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}$;
(2)$2\sqrt{12} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式加减乘除混合运算,解题的关键是会化简二次根式并熟知二次根式混合运算法则.
【解析】(1)$3\sqrt{3}-\sqrt{8}+\sqrt{2}-\sqrt{27}=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\sqrt{3}=-\sqrt{2}$.
(2)$2\sqrt{12}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$.
【解析】(1)$3\sqrt{3}-\sqrt{8}+\sqrt{2}-\sqrt{27}=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\sqrt{3}=-\sqrt{2}$.
(2)$2\sqrt{12}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减、乘除混合运算，解题思路为：第(1)问先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第(2)问先化简二次根式，再按照从左到右的顺序，利用二次根式的乘除法则（系数与被开方数分别运算）计算，最后化简结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入原式得：
$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}=3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2}+\sqrt{2})=0 - \sqrt{2}=-\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$2\sqrt{12} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}=2×2\sqrt{3} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}$
计算$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，则：
$4×3÷\sqrt{2}=12÷\sqrt{2}$，分母有理化得：$12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式加减运算、二次根式乘除运算
【点评】
本题为二次根式基础运算题，需熟练掌握二次根式的化简、同类二次根式的合并及乘除法则，计算时注意化简的准确性，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的加减、乘除混合运算，解题思路为：第(1)问先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第(2)问先化简二次根式，再按照从左到右的顺序，利用二次根式的乘除法则（系数与被开方数分别运算）计算，最后化简结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入原式得：
$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}=3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2}+\sqrt{2})=0 - \sqrt{2}=-\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$2\sqrt{12} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}=2×2\sqrt{3} × \sqrt{3} ÷ \sqrt{2}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}$
计算$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，则：
$4×3÷\sqrt{2}=12÷\sqrt{2}$，分母有理化得：$12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式加减运算、二次根式乘除运算
【点评】
本题为二次根式基础运算题，需熟练掌握二次根式的化简、同类二次根式的合并及乘除法则，计算时注意化简的准确性，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.6
18. (8分)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:四边形DEBF是平行四边形.
答案
18. 【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定.
【解析】证明:
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AB = CD$,$BE // DF$.
∵ $E,F$ 分别为 $AB,CD$ 的中点,
∴ $BE = \dfrac{1}{2}AB$,$DF = \dfrac{1}{2}CD$,
∴ $BE = DF$,
∴ 四边形 $DEBF$ 为平行四边形.
【解析】证明:
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AB = CD$,$BE // DF$.
∵ $E,F$ 分别为 $AB,CD$ 的中点,
∴ $BE = \dfrac{1}{2}AB$,$DF = \dfrac{1}{2}CD$,
∴ $BE = DF$,
∴ 四边形 $DEBF$ 为平行四边形.
解析
【分析】要证明四边形DEBF是平行四边形，需结合平行四边形的性质和判定定理。已知ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB与CD平行且相等；再由E、F分别是AB、CD的中点，可推导出BE与DF的数量关系，结合AB//CD得到BE与DF的位置关系，最后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成判定。
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD（平行四边形的对边平行且相等）。
∵ E，F分别为AB，CD的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB，DF = $\frac{1}{2}$CD，
∴ BE = DF，且BE // DF（由AB//CD可得BE与DF平行），
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形DEBF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的基础应用，核心是利用平行四边形的性质推导边的关系，进而结合中点条件证明目标四边形的对边平行且相等，属于常规基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD（平行四边形的对边平行且相等）。
∵ E，F分别为AB，CD的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB，DF = $\frac{1}{2}$CD，
∴ BE = DF，且BE // DF（由AB//CD可得BE与DF平行），
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形DEBF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的基础应用，核心是利用平行四边形的性质推导边的关系，进而结合中点条件证明目标四边形的对边平行且相等，属于常规基础题型。
【难度系数】0.6
19. (8 分)先化简,再求值:$(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x}+y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}})-(x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}}-5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})$,其中 $x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{9}{2}$.
答案
19. 【点拨】本题考查二次根式的化简和求值,解题的关键是正确对二次根式进行化简.
【解析】$(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x}+y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}})-(x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}}-5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})=x\sqrt{x}+\sqrt{xy}-x\sqrt{x}+5\sqrt{xy}=6\sqrt{xy}$,
当 $x = \dfrac{1}{2}$,$y = \dfrac{9}{2}$ 时,原式 $= 6×\sqrt{\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}} = 6×\dfrac{3}{2} = 9$.
【解析】$(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x}+y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}})-(x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}}-5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})=x\sqrt{x}+\sqrt{xy}-x\sqrt{x}+5\sqrt{xy}=6\sqrt{xy}$,
当 $x = \dfrac{1}{2}$,$y = \dfrac{9}{2}$ 时,原式 $= 6×\sqrt{\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}} = 6×\dfrac{3}{2} = 9$.
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：①先将式子中所有二次根式化为最简二次根式，关键是处理根号下的分母，保证被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式；②去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；③合并同类二次根式，将化简后的同类二次根式合并；④最后代入给定的x、y的值计算结果。
【解析】
原式 = $(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} -5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})$
化简各项二次根式：
$\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x} = \dfrac{1}{3}x · 3\sqrt{x} = x\sqrt{x}$；
$y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}} = y^2 · \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = y\sqrt{xy}$；
$x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} = x^2 · \dfrac{\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x}$；
$5x\sqrt{\dfrac{y}{x}} =5x · \dfrac{\sqrt{xy}}{x}=5\sqrt{xy}$；
代入原式并去括号：
$= x\sqrt{x} + y\sqrt{xy} - x\sqrt{x} +5\sqrt{xy}$
合并同类二次根式：
$= (x\sqrt{x} -x\sqrt{x}) + (y\sqrt{xy} +5\sqrt{xy}) =6\sqrt{xy}$；
当$x=\dfrac{1}{2}, y=\dfrac{9}{2}$时，
原式$=6\sqrt{\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2}} =6\sqrt{\dfrac{9}{4}}=6 × \dfrac{3}{2}=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的求值
【点评】
本题考查二次根式的化简与求值，核心是掌握最简二次根式的化简方法、去括号法则及同类二次根式的合并规则，属于常规运算题，只要步骤清晰即可正确解答。
【难度系数】
0.6
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：①先将式子中所有二次根式化为最简二次根式，关键是处理根号下的分母，保证被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式；②去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；③合并同类二次根式，将化简后的同类二次根式合并；④最后代入给定的x、y的值计算结果。
【解析】
原式 = $(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} -5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})$
化简各项二次根式：
$\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x} = \dfrac{1}{3}x · 3\sqrt{x} = x\sqrt{x}$；
$y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}} = y^2 · \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = y\sqrt{xy}$；
$x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} = x^2 · \dfrac{\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x}$；
$5x\sqrt{\dfrac{y}{x}} =5x · \dfrac{\sqrt{xy}}{x}=5\sqrt{xy}$；
代入原式并去括号：
$= x\sqrt{x} + y\sqrt{xy} - x\sqrt{x} +5\sqrt{xy}$
合并同类二次根式：
$= (x\sqrt{x} -x\sqrt{x}) + (y\sqrt{xy} +5\sqrt{xy}) =6\sqrt{xy}$；
当$x=\dfrac{1}{2}, y=\dfrac{9}{2}$时，
原式$=6\sqrt{\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2}} =6\sqrt{\dfrac{9}{4}}=6 × \dfrac{3}{2}=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的求值
【点评】
本题考查二次根式的化简与求值，核心是掌握最简二次根式的化简方法、去括号法则及同类二次根式的合并规则，属于常规运算题，只要步骤清晰即可正确解答。
【难度系数】
0.6
