23. (10 分)如图 1,已知在平行四边形 ABCD 中,∠DBC = 45°,DE ⊥ BC 于点 E,BF ⊥ CD 于点 F,BF,DE 相交于点 H.
(1)求证:AB = BH;
(2)如图 2,连接 AC,求证:$AC^2 + BD^2 = 2(BC^2 + DC^2)$;
(3)如图 3,若 BE = 5,且以 AH,BD,CH 为边构成的三角形的面积为 10,此时平行四边形 ABCD 的面积为.

23. 【点拨】本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理及其逆定理,等腰直角三角形的判定及性质,解题的关键是构造直角三角形利用勾股定理进行求解.
【解析】(1)证明:
∵ $∠DBC = 45°$,$DE ⊥ BC$,
∴ $∠BED = ∠CED = 90°$,$∠BDE = 45°$,
∴ $△BDE$ 是等腰直角三角形,
∴ $BE = DE$.
∵ $∠C + ∠HBE = 90°$,$∠C + ∠CDE = 90°$,
∴ $∠HBE = ∠CDE$.
在 $△BEH$ 和 $△DEC$ 中,
$\begin{cases} ∠HBE = ∠CDE, \\ BE = DE, \\ ∠HEB = ∠CED, \end{cases}$
∴ $△BEH ≅ △DEC(ASA)$,
∴ $BH = DC$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AB = DC$,
∴ $AB = BH$.
(2)证明:如题图 1,过点 $A$ 作 $AG ⊥ BC$,交 $CB$ 的延长线于点 $G$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD // BC$,$AB = DC$,$AD = BC$.
∵ $AG ⊥ BC$,$DE ⊥ BC$,
∴ $AG = DE$.
在 $Rt△ABG$ 和 $Rt△DCE$ 中,
$\begin{cases} AB = DC, \\ AG = DE, \end{cases}$
∴ $Rt△ABG ≅ Rt△DCE(HL)$,
∴ $BG = CE$.
在 $Rt△CDE$ 中,$DE^2 + CE^2 = DC^2$,在 $Rt△ACG$ 中,$AC^2 = AG^2 + GC^2 = DE^2 + (BG + BC)^2$,在 $Rt△BDE$ 中,$BD^2 = BE^2 + DE^2 = (BC - CE)^2 + DE^2$,
∴ $AC^2 + BD^2$
$= DE^2 + (BG + BC)^2 + (BC - CE)^2 + DE^2$
$= (BG^2 + 2BG·BC + BC^2) + (BC^2 - 2BC·CE + CE^2) + 2DE^2$
$= 2BC^2 + 2DE^2 + 2CE^2$
$= 2BC^2 + 2DC^2$
$= 2(BC^2 + DC^2)$,
即 $AC^2 + BD^2 = 2(BC^2 + DC^2)$.
(3)
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD // BC$,$AD = BC$.
由(1)可知 $BE = DE = 5$,$△BEH ≅ △DEC$,$∠BED = 90°$,
∴ $HE = CE$,$∠ADH = 90°$.
设 $DH = x$,则 $HE = 5 - x$,$BC = AD = 10 - x$.
在 $Rt△BDE$ 中,$BD = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$,
在 $Rt△CEH$ 中,$CH^2 = (5 - x)^2 + (5 - x)^2 = 50 - 20x + 2x^2$,即 $CH = \sqrt{2}(5 - x)$,在 $Rt△ADH$ 中,$AH^2 = x^2 + (10 - x)^2 = 2x^2 - 20x + 100$,
∴ $AH^2 = BD^2 + CH^2$,
∴ 以 $AH$,$BD$,$CH$ 为边构成的三角形为直角三角形,且 $AH$ 为斜边,
∴ $\dfrac{1}{2}BD·CH = \dfrac{1}{2}×5\sqrt{2}×(5 - x)×\sqrt{2} = 10$,
∴ $x = 3$,$BC = 10 - 3 = 7$,
∴ 平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $BC·DE = 7×5 = 35$. 故答案为 35.

【分析】
本题是平行四边形相关的几何综合题，分三小问逐步推导：
1. 第(1)问要证AB=BH，利用平行四边形对边相等的性质，转化为证BH=DC；结合已知∠DBC=45°、DE⊥BC，得△BDE是等腰直角三角形（BE=DE），再通过同角的余角相等找到∠HBE=∠CDE，用ASA证△BEH≌△DEC，即可得BH=DC，从而AB=BH。
2. 第(2)问要证对角线平方和的关系，通过作辅助线AG⊥BC，利用平行四边形性质和HL证Rt△ABG≌Rt△DCE，再结合勾股定理展开计算，将AC²+BD²转化为2(BC²+DC²)。
3. 第(3)问利用前两问结论，设DH=x，结合BE=DE=5，用勾股定理表示AH、BD、CH的长度，通过勾股定理逆定理判断以这三边构成的三角形为直角三角形，根据面积公式列方程求x，进而算出平行四边形面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴ ∠BED=∠CED=90°，∠BDE=45°，
∴ △BDE是等腰直角三角形，
∴ BE=DE。
∵ BF⊥CD，DE⊥BC，
∴ ∠HBE + ∠C=90°，∠CDE + ∠C=90°，
∴ ∠HBE=∠CDE。
在△BEH和△DEC中，
$\begin{cases} ∠HBE=∠CDE, \\ BE=DE, \\ ∠HEB=∠CED, \end{cases}$
∴ △BEH≌△DEC(ASA)，
∴ BH=DC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，
∴ AB=BH。
(2) 证明：
过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=DC，AD=BC。
∵ AG⊥BC，DE⊥BC，
∴ AG=DE。
在Rt△ABG和Rt△DCE中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ AG=DE, \end{cases}$
∴ Rt△ABG≌Rt△DCE(HL)，
∴ BG=CE。
在Rt△CDE中，$DE^2 + CE^2 = DC^2$；
在Rt△ACG中，$AC^2 = AG^2 + GC^2 = DE^2 + (BG + BC)^2$；
在Rt△BDE中，$BD^2 = BE^2 + DE^2 = (BC - CE)^2 + DE^2$；
∴ $AC^2 + BD^2$
$= DE^2 + (BG + BC)^2 + (BC - CE)^2 + DE^2$
$= (BG^2 + 2BG·BC + BC^2) + (BC^2 - 2BC·CE + CE^2) + 2DE^2$
$= 2BC^2 + 2DE^2 + 2CE^2$
$= 2BC^2 + 2DC^2$
$= 2(BC^2 + DC^2)$，
即 $AC^2 + BD^2 = 2(BC^2 + DC^2)$。
(3) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
由(1)知BE=DE=5，△BEH≌△DEC，∠BED=90°，
∴ HE=CE，∠ADH=90°。
设DH=x，则HE=5 - x，BC=AD=10 - x。
在Rt△BDE中，$BD = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$；
在Rt△CEH中，$CH = \sqrt{(5 - x)^2 + (5 - x)^2} = \sqrt{2}(5 - x)$；
在Rt△ADH中，$AH = \sqrt{x^2 + (10 - x)^2}$；
由勾股定理逆定理得$AH^2 = BD^2 + CH^2$，故以AH、BD、CH为边的三角形是直角三角形，AH为斜边。
根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×BD×CH = 10$，
代入得：$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\sqrt{2}(5 - x) = 10$，
化简得：$\frac{1}{2}×10×(5 - x) = 10$，解得x=3。
∴ BC=10 - 3=7，
平行四边形ABCD的面积=BC×DE=7×5=35。
【答案】
35
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、勾股定理等知识点，需掌握辅助线构造和代数设元方法，通过几何性质转化线段关系，难度适中，对学生逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5