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17.(8分)计算：$|2\sqrt{2}-3|-\sqrt{18}÷\sqrt{2}$。
答案
17.原式$=-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】首先处理绝对值，需判断绝对值内表达式的正负：$2\sqrt{2}\approx2.828＜3$，故$|2\sqrt{2}-3|=3-2\sqrt{2}$；再利用二次根式除法法则计算$\sqrt{18}÷\sqrt{2}$，即$\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$；最后将两部分结果相减化简，得到最终答案。
【解析】原式$=3 - 2\sqrt{2} - \sqrt{18÷2}=3 - 2\sqrt{2} - 3=-2\sqrt{2}$
【答案】$-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的运算、绝对值的性质
【点评】本题考查绝对值化简与二次根式除法运算，步骤明确，需注意绝对值符号的处理规则和二次根式除法法则的应用，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
【解析】原式$=3 - 2\sqrt{2} - \sqrt{18÷2}=3 - 2\sqrt{2} - 3=-2\sqrt{2}$
【答案】$-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的运算、绝对值的性质
【点评】本题考查绝对值化简与二次根式除法运算，步骤明确，需注意绝对值符号的处理规则和二次根式除法法则的应用，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
18. (8分)关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，已知①$b=2,c=1$；②$b=-2,c=-3$；③$b=1,c=2$。请从上述三组条件中选择其中一组$b,c$的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程。
答案
18.答案不唯一,给出一种情况即可。若选①,则方程的解为$x_1=x_2=-1$。若选②,则方程的解为$x_1=3$,$x_2=-1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程有两个实数根的条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时方程有两个实数根（本题中$a=1$）。先分别计算三组条件对应的判别式，筛选出满足$\Delta ≥ 0$的组，再代入方程求解即可。
【解析】
步骤1：计算每组条件的判别式，判断是否满足有两个实数根：
选①：$b=2,c=1$，$\Delta = 2^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，满足$\Delta ≥ 0$；
选②：$b=-2,c=-3$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ≥ 0$，满足；
选③：$b=1,c=2$，$\Delta = 1^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，不满足，排除。
步骤2：选择满足条件的组解方程，以选①为例：
将$b=2,c=1$代入方程得：$x^2 + 2x + 1 = 0$，因式分解为$(x+1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = -1$。
【答案】
若选①，方程的解为$x_1=x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和解法，属于基础题，解题关键是先利用判别式筛选出有实根的条件，再选择合适的方法解方程，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程有两个实数根的条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时方程有两个实数根（本题中$a=1$）。先分别计算三组条件对应的判别式，筛选出满足$\Delta ≥ 0$的组，再代入方程求解即可。
【解析】
步骤1：计算每组条件的判别式，判断是否满足有两个实数根：
选①：$b=2,c=1$，$\Delta = 2^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，满足$\Delta ≥ 0$；
选②：$b=-2,c=-3$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ≥ 0$，满足；
选③：$b=1,c=2$，$\Delta = 1^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，不满足，排除。
步骤2：选择满足条件的组解方程，以选①为例：
将$b=2,c=1$代入方程得：$x^2 + 2x + 1 = 0$，因式分解为$(x+1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = -1$。
【答案】
若选①，方程的解为$x_1=x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和解法，属于基础题，解题关键是先利用判别式筛选出有实根的条件，再选择合适的方法解方程，难度较低。
【难度系数】
0.6
19.(8分)如图,在$6×6$的正方形网格中,线段AB的端点均在小正方形的顶点上,请按要求作出符合条件的四边形。
要求:
(1)在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD,在图2中作以AB为一边的菱形ABEF,在图3中作以AB为一边的矩形ABMN。
(2)图1、图2、图3所作的四边形互不全等,且顶点均在小正方形的顶点上。
要求:
(1)在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD,在图2中作以AB为一边的菱形ABEF,在图3中作以AB为一边的矩形ABMN。
(2)图1、图2、图3所作的四边形互不全等,且顶点均在小正方形的顶点上。
答案
19.如图。(答案不唯一)
解析
【分析】
要完成本题，需依据平行四边形、菱形、矩形的定义，结合网格格点的坐标特点确定各图形的顶点，且三个四边形互不全等。首先明确AB的长度与方向，再根据各特殊四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，菱形四边相等且对边平行，矩形邻边垂直且对边平行，分别在图1、图2、图3中找到对应格点，作出符合条件的四边形，确保顶点均在小正方形顶点上，且三个四边形形状不同。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 图1（平行四边形ABCD）：根据平行四边形“对边平行且相等”的性质，将线段AB沿水平方向平移4个单位，得到线段CD，使A对应D、B对应C，连接AD、BC，四边形ABCD即为以AB为一边的平行四边形（答案不唯一，只要满足对边平行且相等即可）；
② 图2（菱形ABEF）：AB的长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，根据菱形“四边相等”的性质，从点B出发，向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点E（此时BE长度为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$），再从点A出发，向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点F，连接AF、FE，四边形ABEF即为菱形；
③ 图3（矩形ABMN）：根据矩形“邻边垂直”的性质，AB的方向向量为$(1,3)$，其垂直的整数向量为$(3,-1)$，从点B出发，向右平移6个单位、向下平移2个单位得到点M，从点A出发，向右平移6个单位、向下平移2个单位得到点N，连接AN、NM，四边形ABMN即为矩形（保证AB与BM长度不等，使三个四边形互不全等）。
(2) 所作三个四边形分别为平行四边形、菱形、矩形，均以AB为一边，顶点在格点上，且互不全等，符合题目要求。
【答案】
如图（答案不唯一）：
【知识点】
平行四边形判定，菱形判定，矩形判定
【点评】
本题考查网格中特殊四边形的作图，需掌握各类特殊四边形的核心性质，结合格点的整数坐标特点确定顶点位置，属于基础作图题，注重对几何性质的应用能力考查。
【难度系数】
0.5
要完成本题，需依据平行四边形、菱形、矩形的定义，结合网格格点的坐标特点确定各图形的顶点，且三个四边形互不全等。首先明确AB的长度与方向，再根据各特殊四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，菱形四边相等且对边平行，矩形邻边垂直且对边平行，分别在图1、图2、图3中找到对应格点，作出符合条件的四边形，确保顶点均在小正方形顶点上，且三个四边形形状不同。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 图1（平行四边形ABCD）：根据平行四边形“对边平行且相等”的性质，将线段AB沿水平方向平移4个单位，得到线段CD，使A对应D、B对应C，连接AD、BC，四边形ABCD即为以AB为一边的平行四边形（答案不唯一，只要满足对边平行且相等即可）；
② 图2（菱形ABEF）：AB的长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，根据菱形“四边相等”的性质，从点B出发，向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点E（此时BE长度为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$），再从点A出发，向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点F，连接AF、FE，四边形ABEF即为菱形；
③ 图3（矩形ABMN）：根据矩形“邻边垂直”的性质，AB的方向向量为$(1,3)$，其垂直的整数向量为$(3,-1)$，从点B出发，向右平移6个单位、向下平移2个单位得到点M，从点A出发，向右平移6个单位、向下平移2个单位得到点N，连接AN、NM，四边形ABMN即为矩形（保证AB与BM长度不等，使三个四边形互不全等）。
(2) 所作三个四边形分别为平行四边形、菱形、矩形，均以AB为一边，顶点在格点上，且互不全等，符合题目要求。
【答案】
如图（答案不唯一）：
【知识点】
平行四边形判定，菱形判定，矩形判定
【点评】
本题考查网格中特殊四边形的作图，需掌握各类特殊四边形的核心性质，结合格点的整数坐标特点确定顶点位置，属于基础作图题，注重对几何性质的应用能力考查。
【难度系数】
0.5
20.(8分)如图,在菱形ABCD中,P是BC边上的点,连结AP交对角线BD于点E,连结EC。
(1)求证:$AE=CE$。
(2)若$∠ABC=45°,AE=PC$,求$∠BAP$的度数。
(1)求证:$AE=CE$。
(2)若$∠ABC=45°,AE=PC$,求$∠BAP$的度数。
答案
20.(1)因为四边形$ABCD$是菱形,所以$∠ ABE=∠ CBE$,$AB=CB$。因为$BE=BE$,所以$△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$。所以$AE=CE$。
(2)设$∠ BAP=α$。因为$△ ABE≌△ CBE$,所以$∠ BAE=∠ BCE=α$。因为$∠ ABC=45°$,所以$∠ APC=∠ ABC+∠ BAP=45°+α$。因为$AE=CE$,$AE=PC$,所以$EC=PC$。所以$∠ PEC=∠ EPC=45°+α$。
由$∠ PEC+∠ EPC+∠ PCE=180°$,得$2(45°+α)+α=180°$,解得$α=30°$,即$∠ BAP=30°$。
(2)设$∠ BAP=α$。因为$△ ABE≌△ CBE$,所以$∠ BAE=∠ BCE=α$。因为$∠ ABC=45°$,所以$∠ APC=∠ ABC+∠ BAP=45°+α$。因为$AE=CE$,$AE=PC$,所以$EC=PC$。所以$∠ PEC=∠ EPC=45°+α$。
由$∠ PEC+∠ EPC+∠ PCE=180°$,得$2(45°+α)+α=180°$,解得$α=30°$,即$∠ BAP=30°$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形内角和、外角定理分析：
(1) 证明AE=CE，需利用菱形的边相等、对角线平分内角的性质，找到△ABE和△CBE全等的条件，通过SAS判定全等后得到对应边相等；
(2) 求∠BAP的度数，设该角为α，由第一问全等得到角相等，结合已知AE=PC推出CE=PC，利用外角性质得到等腰三角形的底角，再根据三角形内角和列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=CB，BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $
∴ △ABE≌△CBE（SAS），
∴ AE=CE。
(2) 解：设∠BAP=α，
由(1)中△ABE≌△CBE，得∠BCE=∠BAP=α。
已知AE=PC，且由(1)知AE=CE，故CE=PC，
∴ △EPC为等腰三角形，∠PEC=∠EPC。
∵ ∠EPC是△ABP的外角，
∴ ∠EPC=∠ABC + ∠BAP=45°+α，
∴ ∠PEC=∠EPC=45°+α。
在△PEC中，根据三角形内角和为180°：
∠PEC + ∠EPC + ∠PCE=180°，
其中∠PCE=∠BCE=α，代入得：
2(45°+α) + α=180°，
计算得：90° + 3α=180°，解得α=30°，
即∠BAP=30°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠BAP=30°
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与几何角度计算，第一问通过菱形的基本性质直接证全等，思路清晰；第二问结合等腰三角形和外角定理，通过设未知数列方程求解，需理清角的关系，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形内角和、外角定理分析：
(1) 证明AE=CE，需利用菱形的边相等、对角线平分内角的性质，找到△ABE和△CBE全等的条件，通过SAS判定全等后得到对应边相等；
(2) 求∠BAP的度数，设该角为α，由第一问全等得到角相等，结合已知AE=PC推出CE=PC，利用外角性质得到等腰三角形的底角，再根据三角形内角和列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=CB，BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $
∴ △ABE≌△CBE（SAS），
∴ AE=CE。
(2) 解：设∠BAP=α，
由(1)中△ABE≌△CBE，得∠BCE=∠BAP=α。
已知AE=PC，且由(1)知AE=CE，故CE=PC，
∴ △EPC为等腰三角形，∠PEC=∠EPC。
∵ ∠EPC是△ABP的外角，
∴ ∠EPC=∠ABC + ∠BAP=45°+α，
∴ ∠PEC=∠EPC=45°+α。
在△PEC中，根据三角形内角和为180°：
∠PEC + ∠EPC + ∠PCE=180°，
其中∠PCE=∠BCE=α，代入得：
2(45°+α) + α=180°，
计算得：90° + 3α=180°，解得α=30°，
即∠BAP=30°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠BAP=30°
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与几何角度计算，第一问通过菱形的基本性质直接证全等，思路清晰；第二问结合等腰三角形和外角定理，通过设未知数列方程求解，需理清角的关系，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
