9.学习了“三角形中位线定理”后,在“$△ ABC$中,D,E分别是边AB,AC上的点”这个前提条件下,某同学得到以下三个结论,其中正确的是 ()
①若D是AB的中点,$DE// BC$,则E是AC的中点;
②若D是AB的中点,$DE=\frac{1}{2}BC$,则E是AC的中点;
③若$DE// BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$,则D,E分别是AB,AC的中点。

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

9.B

【分析】
要判断三个结论的正确性，需结合三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理分析：
1. 结论①：已知D是AB中点，DE//BC，根据平行线分线段成比例可推导E是AC中点；
2. 结论②：已知D是AB中点，DE=1/2 BC，需验证是否存在E在AC上但非中点的情况，通过举反例可判断其错误；
3. 结论③：已知DE//BC且DE=1/2 BC，根据三角形中位线逆定理可推导D、E分别是AB、AC中点。
【解析】
逐个分析三个结论：
1. 分析①：

∵ D是AB中点，
∴ AD=1/2 AB。
又
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入AD=1/2 AB得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即E是AC中点，故①正确。
2. 分析②：
举反例：设△ABC中，A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，AB中点D(1.5,0)，BC长度为$\sqrt{(3-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$，则$\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
AC上的点E可表示为$(2t,2t)$（t∈[0,1]），计算DE长度：$\sqrt{(1.5-2t)^2+(0-2t)^2}$，令其等于$\frac{\sqrt{5}}{2}$，平方后解得$t=0.25$或$t=0.5$。
当$t=0.25$时，E(0.5,0.5)，不是AC中点（AC中点为t=0.5时的(1,1)），故存在E在AC上非中点满足条件，②错误。
3. 分析③：

∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ AD=1/2 AB，AE=1/2 AC，即D、E分别是AB、AC中点，故③正确。
综上，①③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理
【点评】
本题考查三角形中位线相关定理的应用，需明确定理的条件与结论，避免忽略“平行”的关键条件，举反例是判断错误结论的有效方法，难度适中。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ D=5∠ CAB$,在$AC$上取点$P$,使$PC=BC$,连结$BP$,过点$P$作$EF⊥ CD$,分别交$AB,CD$于点$E,F$。已知$BE=2,AE=x,BP=y$,当$x,y$发生变化时,下列代数式中,值不变的是 ()

A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$

10.B 【解析】设$∠ CAB=α$,则$∠ D=5∠ CAB=5α$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$∠ ABC=∠ D=5α$,$AB// CD$。
在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-∠ CAB-∠ ABC=180°-α-5α=180°-6α$,
因为$PC=BC$,所以$∠ CPB=∠ CBP=\dfrac{180°-∠ ACB}{2}=\dfrac{180°-(180°-6α)}{2}=3α$。
所以$∠ PBA=∠ ABC-∠ CBP=5α-3α=2α$。
如图,在$AE$上取$QE=BE$,连结$PQ$。因为$EF⊥ CD$,$AB// CD$,所以$EF⊥ AB$。所以$EF$是$QB$的垂直平分线。所以$PQ=PB$。
所以$∠ PQB=∠ PBQ=2α$。所以$∠ QPA=∠ PQB-∠ CAB=2α-α=α$。所以$∠ QPA=∠ CAB=α$。所以$AQ=QP=BP=y$。
因为$AE=x$,所以$AE-AQ=QE=2$,即$x-y=2$。所以当$x,y$发生变化时,$x-y$不变。故选B。

【分析】首先设∠CAB=α，利用平行四边形的对角相等、对边平行的性质，得到∠ABC=∠D=5α，AB//CD；接着在△ABC中，根据三角形内角和定理算出∠ACB，结合PC=BC的等腰三角形性质求出∠CBP，进而得到∠PBA的度数；再由EF⊥CD和AB//CD推出EF⊥AB，通过构造辅助线（取QE=BE），利用垂直平分线的性质得到PQ=PB，结合角度关系推导出AQ=BP，最后根据线段长度关系得出x与y的定值关系，判断代数式的值不变量。
【解析】设∠CAB=α，则∠D=5α，因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠D=5α，AB//CD。在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α。因为PC=BC，所以△PCB为等腰三角形，∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α，因此∠PBA=∠ABC-∠CBP=5α-3α=2α。由于EF⊥CD，AB//CD，故EF⊥AB，取QE=BE，连接PQ，则EF垂直平分QB，所以PQ=PB=y，进而∠PQB=∠PBQ=2α。又∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α=∠CAB，所以AQ=QP=y。已知AE=x，BE=2，且AE=AQ+QE，即x=y+2，因此x-y=2，为定值，即值不变的是x-y。
【答案】B
【知识点】平行四边形性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质
【点评】本题综合考查几何图形的性质与线段关系推导，关键在于通过角度分析构造辅助线，找到x与y的固定差值，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.5

11.化简：$\sqrt{(-1)^2}=$。

11.1

【分析】要化简$\sqrt{(-1)^2}$，需分两步进行：先计算根号内的乘方运算，再根据算术平方根的定义求结果。首先计算被开方数$(-1)^2$，负数的平方为正数，因此$(-1)^2=1$；再依据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是其正的平方根，进而得出$\sqrt{1}$的值。
【解析】解：第一步，计算被开方数：$(-1)^2 = 1$；第二步，计算算术平方根：$\sqrt{1} = 1$，因此$\sqrt{(-1)^2}=1$。
【答案】1
【知识点】算术平方根、有理数的乘方
【点评】本题为基础代数化简题，核心考查算术平方根的定义和有理数乘方的运算，属于代数入门级题型，需注意算术平方根的结果具有非负性，避免出现符号错误。
【难度系数】0.9

12.若一组数据2,4,5,1,a的平均数为a,则a的值为。

12.3

【分析】要解决这个问题，首先回忆平均数的定义：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数。本题中数据共5个，平均数为a，因此先计算这组数据的总和，再根据“总和=平均数×数据个数”的关系列出方程，解方程即可求出a的值。
【解析】根据平均数的计算公式，这组数据的总和为：$2 + 4 + 5 + 1 + a = 12 + a$；
已知平均数为a，数据个数是5，因此总和也等于$5a$；
由此可列方程：$12 + a = 5a$；
解方程：移项得$5a - a = 12$，即$4a = 12$，解得$a = 3$。
【答案】3
【知识点】平均数的计算，一元一次方程的应用
【点评】本题是平均数概念与一元一次方程结合的基础题，只要掌握平均数的基本公式，就能顺利求解，属于容易得分的题目。
【难度系数】0.8

13. 如图,将$△ ABC$绕点A按逆时针方向旋转$100°$得到$△ ADE$,若点D在线段BC的延长线上,则$∠ ADE$的度数为________°。

13.40

【分析】
要计算∠ADE的度数，需结合旋转的性质和等腰三角形的角度规律推导。首先，根据旋转的定义，△ABC绕点A旋转得到△ADE，可确定旋转角和全等关系，得到对应边、对应角相等；再利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和计算底角，最终得到∠ADE的度数。
【解析】
1. 由旋转的性质可知：△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，因此△ABC≌△ADE，旋转角∠BAD=100°，故对应边AB=AD，对应角∠ADE=∠B。
2. 因为AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，根据三角形内角和为180°，可得底角∠B=(180°−∠BAD)÷2=(180°−100°)÷2=40°。
3. 又因为∠ADE=∠B，所以∠ADE=40°。
【答案】
40
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查旋转与等腰三角形的基础应用，关键是利用旋转得到的边、角对应关系，结合等腰三角形内角规律计算角度，属于几何基础题型。
【难度系数】
0.5

14.对于实数$a,b$定义新运算:$a△ b=b^2-ab$。若关于$x$的方程$6△ x=k$有两个相等的实数根,则$k$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

14.$-9$

【分析】首先根据题目给出的新运算规则，将$6△x$转化为常规代数式，得到关于$x$的一元二次方程；再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式等于0的性质，建立关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】根据新运算定义$a△b = b^2 - ab$，可得$6△x = x^2 - 6x$。
方程$6△x = k$转化为：$x^2 - 6x = k$，整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 6x - k = 0$。
因为该方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，此处$A=1$，$B=-6$，$C=-k$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(-k) = 36 + 4k = 0$，
解得：$k = -9$。
【答案】$-9$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算与一元二次方程根的判别式，核心是准确转化新运算为常规代数式，再运用判别式的性质求解，属于基础题型，主要考查学生对新定义的理解和判别式的应用能力。
【难度系数】0.6

15. 如图1,将面积为4的正方形分为①②③④四部分,分成的四部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD,则AB的长为。

15.$\sqrt{5}-1$ 【解析】设$AB=b$。因为正方形的面积为4,所以正方形的边长为2。所以直角三角形①中的长直角边为2。所以$b(2+b)=4$,解得$b=\sqrt{5}-1$(负值已舍)。所以$AB=\sqrt{5}-1$。

【分析】
首先，正方形和拼成的矩形面积相等，均为4，先求出正方形的边长为2。设AB的长度为b，观察图形可知，矩形ABCD的另一边BC的长度为（2 + b），由于矩形面积等于正方形面积，因此可根据矩形面积公式建立关于b的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负值，即可得到AB的长度。
【解析】
因为正方形的面积为4，所以正方形的边长为$\sqrt{4}=2$。
设AB的长为$b$，由图形拼接的面积不变性可知，矩形ABCD的面积等于正方形的面积，即$4$；同时观察图形可得，矩形的另一边$BC=2 + b$。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得：
$b(2 + b)=4$
整理为一元二次方程的标准形式：$b^2 + 2b - 4 = 0$
用求根公式解方程：$b=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
因为长度为正数，所以舍去负值$b=-1-\sqrt{5}$，因此$b=\sqrt{5}-1$，即AB的长为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形面积、矩形面积、一元二次方程应用
【点评】
本题是图形拼接的几何问题，核心是利用面积不变建立方程，将几何问题转化为代数方程求解，关键在于准确找出矩形边长与正方形边长的关系，属于几何与代数结合的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5

16. 如图,过$□ ABCD$内的点$P$作各边的平行线,分别交$AB,BC,CD,DA$于点$E,F,G,H$。连结$AF,AG,FG$。已知$△ AFG$与$□ AEPH$的面积分别为$m,n$。
(1)若点$P$是$□ ABCD$的对称中心,则$\frac{n}{m}=$。
(2)$□ ABCD$的面积为(用含$m,n$的代数式表示)。

16.(1)$\dfrac{2}{3}$ (2)$2m+n$ 【解析】(1)如图,连结$AC,BD$。因为四边形$ABCD$为平行四边形,所以$AD// BC$,$AB// CD$,$AD=BC$,$AB=CD$。所以$AB// FH// CD$,$AD// EG// BC$。所以四边形$AEPH$、四边形$ABFH$、四边形$CFPG$、四边形$AEGD$均为平行四边形。设四边形$ABCD$的面积为$S$。
因为点$P$是$□ ABCD$的对称中心,所以$S_{□ AEPH}=n=\dfrac{1}{4}S_{□ ABCD}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}S_{□ ABFH}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ CFG}=\dfrac{1}{2}S_{□ CFPG}=\dfrac{1}{8}S$,$S_{△ ADG}=\dfrac{1}{2}S_{□ AEGD}=\dfrac{1}{4}S$。所以$S_{△ AFG}=m=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{8}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{3}{8}S$。所以$\dfrac{n}{m}=\dfrac{\dfrac{1}{4}S}{\dfrac{3}{8}S}=\dfrac{2}{3}$。
(2)设$S_{□ ABCD}=S$,$\dfrac{AH}{AD}=a$,$\dfrac{AE}{AB}=b$,所以$S_{□ ABFH}=\dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=aS$,$S_{□ AEGD}=\dfrac{AE}{AB}· S_{□ ABCD}=bS$,$S_{□ CFPG}=\dfrac{CF}{BC}· \dfrac{CG}{CD}· S_{□ ABCD}=(1-a)(1-b)S$,$S_{□ AEPH}=n=\dfrac{AE}{AB}· \dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=abS$。所以$S_{△ AFG}=m=S_{□ ABCD}-S_{△ ABF}-S_{△ ADG}-S_{△ CFG}=S-\dfrac{1}{2}aS-\dfrac{1}{2}bS-\dfrac{1}{2}(1-a)(1-b)S=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}ab)S$。所以$2m=S-abS=S-n$,即$S=2m+n$。

【分析】
本题需利用平行四边形的性质及面积和差关系解题：第(1)问中，当点P是平行四边形的对称中心时，对称中心将平行四边形分成面积相等的四部分，结合平行线构造的平行四边形，通过面积差计算△AFG的面积，进而求出n与m的比值；第(2)问通过设线段比例，将各部分面积用大平行四边形面积表示，再利用面积和差化简得到大平行四边形面积的表达式。
【解析】
(1) 设$□ABCD$的面积为$S$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，过点$P$作各边的平行线，可得四边形$AEPH$、$ABFH$、$CFPG$、$AEGD$均为平行四边形。
由于$P$是$□ABCD$的对称中心，所以$S_{□AEPH}=n=\frac{1}{4}S$，即$S=4n$。
计算周围三角形面积：
$S_{△ABF}=\frac{1}{2}S_{□ABFH}=\frac{1}{4}S$，$S_{△ADG}=\frac{1}{2}S_{□AEGD}=\frac{1}{4}S$，$S_{△CFG}=\frac{1}{2}S_{□CFPG}=\frac{1}{8}S$。
因此$S_{△AFG}=m=S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{8}S=\frac{3}{8}S$，则$\frac{n}{m}=\frac{\frac{1}{4}S}{\frac{3}{8}S}=\frac{2}{3}$。
(2) 设$□ABCD$的面积为$S$，令$\frac{AH}{AD}=a$，$\frac{AE}{AB}=b$，则：
$S_{□AEPH}=abS=n$，
$S_{△ABF}=\frac{1}{2}×aS$，$S_{△ADG}=\frac{1}{2}×bS$，$S_{△CFG}=\frac{1}{2}(1-a)(1-b)S$。
因此$S_{△AFG}=m=S - \frac{1}{2}aS - \frac{1}{2}bS - \frac{1}{2}(1-a)(1-b)S$，化简得：
$m=S - \frac{1}{2}(1+ab)S$，将$abS=n$代入得：
$m=S - \frac{1}{2}S - \frac{n}{2}$，整理得$S=2m+n$。
【答案】
(1) $\dfrac{2}{3}$；(2) $2m+n$
【知识点】
平行四边形性质、三角形面积计算、代数式化简
【点评】
本题综合考查平行四边形的面积性质与面积和差关系，需通过对称中心性质或设比例的方法推导面积表达式，逻辑推导过程清晰，是平行四边形面积应用的典型题型。
【难度系数】
0.5