1. (2024·无锡中考)4 的倒数是().

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$-\dfrac{1}{4}$
C.$4$
D.$-4$

1.A

【分析】要确定4的倒数，需依据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，因此求一个数的倒数，只需用1除以该数，据此计算结果并匹配选项即可。
【解析】根据倒数的定义，4的倒数为$1÷4=\dfrac{1}{4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】倒数的定义
【点评】本题考查倒数的基本概念，属于基础题，牢记倒数定义即可快速解答。
【难度系数】0.9

2. 下列四个算式中,误用分配律的是().

A.$12×(2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})=12×2-12×\dfrac{1}{3}+12×\dfrac{1}{6}$
B.$(2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})×12=2×12-\dfrac{1}{3}×12+\dfrac{1}{6}×12$
C.$12÷(2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})=12÷2-12÷\dfrac{1}{3}+12÷\dfrac{1}{6}$
D.$(2-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})×12=2×12-\dfrac{1}{4}×12+\dfrac{1}{5}×12$

2.C

【分析】首先明确乘法分配律的核心：仅适用于乘法运算，即两个数的和（差）与一个数相乘时，可将这个数分别乘每个加数（减数）再相加（减），公式为$a(b\pm c)=ab\pm ac$；除法没有分配律，不能将被除数除以几个数的和（差）拆分为被除数分别除以每个数再运算。接下来逐一分析选项，判断是否误用分配律。
【解析】
选项A：属于乘法运算，符合乘法分配律形式，$12×(2-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=12×2 - 12×\frac{1}{3} + 12×\frac{1}{6}$，应用正确；
选项B：利用乘法交换律后符合分配律，$(2-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})×12=2×12 - \frac{1}{3}×12 + \frac{1}{6}×12$，应用正确；
选项C：属于除法运算，误用了仅适用于乘法的分配律，$12÷(2-\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$不能拆分为$12÷2 - 12÷\frac{1}{3} + 12÷\frac{1}{6}$，应用错误；
选项D：属于乘法运算，符合乘法分配律形式，$(2-\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×12=2×12 - \frac{1}{4}×12 + \frac{1}{5}×12$，应用正确；
因此误用分配律的是选项C。
【答案】C
【知识点】乘法分配律、有理数的除法
【点评】本题考查乘法分配律的适用范围，需明确分配律仅适用于乘法运算，除法不能套用该规律，是基础运算类题目，需注意区分乘除运算的规则差异。
【难度系数】0.7

3 写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
$(-0.4) × (-0.8) × (-1.25) × 2.5$
$=-(0.4 × 0.8 × 1.25 × 2.5)(第一步)$
$=-(0.4 × 2.5 × 0.8 × 1.25)(第二步)$
$=-[(0.4 × 2.5) × (0.8 × 1.25)](第三步)$
$=-(1 × 1)=-1.$
第一步：________________________________________；
第二步：________________________________________；
第三步：________________________________________.

第一步:有理数乘法法则；
第二步:乘法的交换律；
第三步:乘法的结合律.

【分析】
要确定每一步的依据，需回忆有理数乘法的相关法则和运算律：第一步是确定积的符号并转化为绝对值相乘，对应有理数乘法中符号确定的法则；第二步是交换因数的位置，符合乘法交换律；第三步是改变运算顺序，将因数分组结合，符合乘法结合律。
【解析】
第一步：原式中有3个负因数，根据有理数乘法法则，几个不为0的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负，再把各数的绝对值相乘，因此第一步依据有理数乘法法则；
第二步：式子中因数0.8和2.5的位置发生了交换，符合乘法交换律（两个数相乘，交换因数的位置，积不变）；
第三步：式子将0.4与2.5、0.8与1.25分别结合相乘，改变了运算顺序，符合乘法结合律（三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变）。
【答案】
第一步:有理数乘法法则；第二步:乘法的交换律；第三步:乘法的结合律.
【知识点】
有理数乘法法则，乘法交换律，乘法结合律
【点评】
本题考查有理数乘法的基础法则和运算律，属于概念类基础题，需学生准确掌握有理数乘法的符号规则及乘法运算律的内容，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 教材P46例2·变式 计算：
(1)$(-36)×(\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{1}{18})$；
(2)$(-99\dfrac{15}{16})×8.$

(1)原式$=-9+30-28+2=-5.$
(2)原式$=(-100+\dfrac{1}{16})×8=-800+\dfrac{1}{2}=-799\dfrac{1}{2}.$

【分析】
这两道题均可利用乘法分配律简化有理数的混合运算：第(1)题将-36分别与括号内的每一项相乘，再进行加减运算，避免通分括号内分数的繁琐；第(2)题将带分数$-99\dfrac{15}{16}$转化为$-100+\dfrac{1}{16}$（凑整简化），再应用乘法分配律计算，降低运算难度。
【解析】
(1) 原式$=(-36)×\dfrac{1}{4} + (-36)×(-\dfrac{5}{6}) + (-36)×\dfrac{7}{9} + (-36)×(-\dfrac{1}{18})$
$=-9 + 30 - 28 + 2$
$=-5$；
(2) 原式$=(-100 + \dfrac{1}{16})×8$
$=(-100)×8 + \dfrac{1}{16}×8$
$=-800 + \dfrac{1}{2}$
$=-799\dfrac{1}{2}$；
【答案】
(1) $-5$；(2) $-799\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法分配律，有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算中利用乘法分配律进行简便计算的基础题型，通过拆分或转化简化运算，是有理数运算的重要技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

5. 观察算式$(-4)×\dfrac{1}{7}×(-25)×14$，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是().

A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.乘法对加法的分配律

5.C

【分析】本题考查有理数乘法运算律的应用，解题时需观察算式中各因数的特征，通过调整因数的位置和分组简化运算。观察算式$(-4)×\dfrac{1}{7}×(-25)×14$，发现$(-4)$与$(-25)$相乘结果为整百数，$\dfrac{1}{7}$与$14$相乘结果为整数，因此需要先交换因数的位置，再将这两组因数分别结合相乘，从而简化计算，这一过程用到了乘法交换律和结合律。
【解析】对于算式$(-4)×\dfrac{1}{7}×(-25)×14$，为简化计算，先运用乘法交换律调整因数顺序，得到$(-4)×(-25)×\dfrac{1}{7}×14$，再运用乘法结合律分组计算，即$[(-4)×(-25)]×(\dfrac{1}{7}×14)$，计算得$100×2=200$，该过程同时用到了乘法交换律和结合律，因此答案选C。
【答案】C
【知识点】有理数乘法运算律、乘法交换律、乘法结合律
【点评】本题是有理数乘法运算律的基础应用题，核心是通过观察因数特点合理运用运算律简化计算，属于易得分的基础题目，需准确区分各运算律的应用场景。
【难度系数】0.8

6. (2025·河北唐山遵化期中)若$(-2\ 023)×63=p$,则$(-2\ 023)×62$的值要表示为().

A.$p-1$
B.$p+2\ 023$
C.$p-2\ 023$
D.$p+1$

6.B [解析]$\because(-2\ 023)×63=p$,
$\therefore(-2\ 023)×62=(-2\ 023)×(63-1)$
$=(-2\ 023)×63-(-2\ 023)$
$=p+2\ 023.$
故选B.

【分析】
要表示$(-2023)×62$，已知$(-2023)×63=p$，可将62拆分为$63-1$，再利用有理数乘法分配律对式子变形，将其转化为含$p$的形式，即可得出结果。
【解析】
$\because (-2023)×63=p$，
$\therefore (-2023)×62=(-2023)×(63-1)$
$=(-2023)×63 - (-2023)$
$=p + 2023$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法分配律，代数式变形
【点评】
本题考查有理数乘法分配律的灵活应用，通过拆分因数将所求式子转化为已知式子的形式，简化计算，属于基础运算题。
【难度系数】
0.7

7. (广东深圳中学自主招生) 已知整数 $m,n,p,q$ 满足 $mnpq=49$ , 且 $m＜n＜p＜q$ , 那么 $m+n+$ $p+q=$.

7.0 [解析]$\because mnpq=49=(-1)×(-7)×1×7$,又$m,n,p,q$为整数,$m＜n＜p＜q$,
$\therefore m=-7,n=-1,p=1,q=7$,
$\therefore m+n+p+q=0.$
思路引导 本题主要考查了有理数的乘法和加法运算，解题的关键是根据$mnpq=49,m＜n＜p＜q$,得出$m=-7,n=-1,p=1,q=7$,然后求和即可.

【分析】
要解决本题，需先根据整数的性质分解49为四个整数的乘积，再结合大小关系筛选出符合条件的四个整数，最后计算它们的和。具体步骤：1. 对49进行整数因数分解，找出可能的四个整数组合；2. 依据m＜n＜p＜q的大小条件确定唯一符合的组合；3. 计算四个整数的和。
【解析】
已知整数m、n、p、q满足mnpq=49，对49进行整数因数分解：49=(-7)×(-1)×1×7。若尝试包含±49作为因数，则剩余三个整数的乘积为1，只能是1×1×1，会出现重复的1，不符合m＜n＜p＜q的条件，故排除该情况。结合大小关系m＜n＜p＜q，可得m=-7，n=-1，p=1，q=7。因此，m+n+p+q=(-7)+(-1)+1+7=0。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘法，有理数的加法
【点评】
本题考查整数的因数分解与有理数的运算，解题关键是正确将49分解为四个不同整数的乘积，并结合大小关系确定各数，属于自主招生的基础运算题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下面材料：
$(1+\frac{1}{2}) × (1-\frac{1}{3}) = \frac{3}{2} × \frac{2}{3} = 1,$
$(1+\frac{1}{2}) × (1+\frac{1}{4}) × (1-\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{5}) = \frac{3}{2} ×$
$\frac{5}{4} × \frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{5}{4} × \frac{4}{5} = 1 × 1 = 1.$
根据以上信息,求出下式的结果.
$(1+\frac{1}{2}) × (1+\frac{1}{4}) × (1+\frac{1}{6}) × ··· × (1+\frac{1}{20}) ×$
$(1-\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{5}) × (1-\frac{1}{7}) × (1-\frac{1}{9}) × ··· ×$
$(1-\frac{1}{21}).$

8.原式$=\dfrac{3}{2}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{7}{6}×\dots×\dfrac{21}{20}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{6}{7}×\dfrac{8}{9}×\dots×\dfrac{20}{21}=\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{7}{6}×\dfrac{6}{7}×\dots×\dfrac{21}{20}×\dfrac{20}{21}=1×1×1×\dots×1=1.$
归纳总结 本题是一道阅读理解题,根据题目获取信息,利用获取的信息解决问题是解决这类题目的基本思路.

【分析】首先观察题目给出的示例，解题的核心是先将每个括号内的式子化简为分数形式，再利用乘法交换律和结合律，将分子与对应的分母交叉约分，简化计算。对于本题，需先把每个括号里的式子计算成分数，再通过分组约分的方式，让相邻的分子分母相互抵消，最终得出结果。
【解析】先化简原式中每个括号内的式子：
原式$=\frac{3}{2}×\frac{5}{4}×\frac{7}{6}×\dots×\frac{21}{20}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{6}{7}×\dots×\frac{20}{21}$
利用乘法交换律和结合律分组约分：
$=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{5}{4}×\frac{4}{5})×(\frac{7}{6}×\frac{6}{7})×\dots×(\frac{21}{20}×\frac{20}{21})$
每组乘积均为1，共10组，因此：
$=1×1×\dots×1=1$
【答案】1
【知识点】有理数的混合运算、规律探究
【点评】本题是解题方法型阅读理解题，需先理解示例中的约分技巧，再迁移应用到本题计算，核心是利用运算律简化运算，考查知识迁移能力。
【难度系数】0.5