9. 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

(1)$999×(-15)$；
(2)$999×118\dfrac{4}{5}+999×(-\dfrac{1}{5})-999×18\dfrac{3}{5}.$
精题详解

9.(1)原式$=(1\ 000-1)×(-15)=15-15\ 000=-14\ 985.$
(2)原式$=999×[118\dfrac{4}{5}+(-\dfrac{1}{5})-18\dfrac{3}{5}]=999×100=99\ 900.$

【分析】
对于第(1)题，观察到999接近整千数1000，将其拆分为(1000-1)，利用乘法分配律可简化计算；对于第(2)题，各项都含有公因数999，逆用乘法分配律提取公因数，先计算括号内的加减运算，再进行乘法运算，能大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 把999变形为(1000-1)，根据乘法分配律计算：
原式$=(1000-1)×(-15)$
$=1000×(-15)-1×(-15)$
$=-15000+15$
$=-14985$；
(2) 逆用乘法分配律，提取公因数999：
原式$=999×[118\dfrac{4}{5}+(-\dfrac{1}{5})-18\dfrac{3}{5}]$
先计算括号内的部分：
$118\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5}-18\dfrac{3}{5}=(118\dfrac{4}{5}-18\dfrac{3}{5})-\dfrac{1}{5}=100\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}=100$，
再计算乘法：
$999×100=99900$。
【答案】
(1) -14985；(2) 99900
【知识点】
乘法分配律
【点评】
本题通过合理变形数字，运用乘法分配律及其逆运算简化计算，避免复杂直接运算，体现运算律在简便计算中的作用，提升计算效率。
【难度系数】
0.5

10. 我们知道: $\dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$, $···$, $\dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{4} × ··· × \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$. 试根据上面的规律, 解答下列各题:
(1) 计算: $(\dfrac{1}{2}-1)(\dfrac{1}{3}-1)(\dfrac{1}{4}-1) ··· (\dfrac{1}{100}-1)$.
(2) 将 2025 减去它的 $\dfrac{1}{2}$, 再减去余下的 $\dfrac{1}{3}$, 再减去余下的 $\dfrac{1}{4}$, 再减去余下的 $\dfrac{1}{5}$, $···$, 依次类推, 直到最后减去余下的 $\dfrac{1}{2025}$, 最后的结果是多少?

10.(1)原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{3}{4})×\dots×(-\dfrac{99}{100})=-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{99}{100}=-\dfrac{1}{100}.$
(2)根据题意,得$2\ 025 × (1-\dfrac{1}{2}) × (1-\dfrac{1}{3}) × \dots × (1-\dfrac{1}{2025})=2\ 025×\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dots×\dfrac{2024}{2025}=1.$

【分析】
本题为规律探究类题目，需先明确题目给出的分数连乘规律：分子分母依次相邻的分数连乘时，中间项可相互约分，结果为首项分子与末项分母的比值。对于问题（1），先化简每个括号内的式子为负数形式，确定负号个数后利用连乘规律约分；对于问题（2），将“减去余下的几分之一”转化为乘法形式，再结合连乘规律求解。
【解析】
（1）化简每个括号内的式子：
$\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$，…，$\dfrac{1}{100}-1=-\dfrac{99}{100}$，
原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{3}{4})×\dots×(-\dfrac{99}{100})$，
共99个负数相乘，结果为负；利用连乘约分规律，中间项分子分母抵消：
原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{99}{100})=-\dfrac{1}{100}$。
（2）根据题意，每次操作后剩余的数转化为乘法形式：
最终式子为$2025×(1-\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×\dots×(1-\dfrac{1}{2025})$，
化简每个括号：$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$，$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，…，$1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$，
代入后利用连乘约分规律，中间项抵消：
原式$=2025×\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dots×\dfrac{2024}{2025}=2025×\dfrac{1}{2025}=1$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{100}$；(2) $1$
【知识点】
分数连乘约分规律、有理数混合运算
【点评】
本题考查规律应用与分数运算能力，解题关键是将括号内式子化简为符合规律的连乘形式，通过约分简化计算，需注意第（1）题的负号个数判断，是典型的规律探究基础题。
【难度系数】
0.6

11. 整体思想 (2025·安徽淮北期末)阅读理解：
计算$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-$
$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$时，若把
$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$与$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$分别各看作
一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大
简化难度.过程如下：
解：设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$为$A$，$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})$为$B$，
则原式$=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-$
$A-AB=B-A=\dfrac{1}{5}$.请用上面方法计算：
①$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+ $
$ \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})$
$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6});$
②$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n})(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+ $
$ \dfrac{1}{n+1})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n+1})(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+ $
$ \dots+\dfrac{1}{n}).$
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精题详解

11. ①设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$为$A$,$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})$为$B$,
原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB$
$\searrow$利用乘法分配律
$=B-A=\dfrac{1}{7}.$
②设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dots+\dfrac{1}{n})$为$A$,
$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{1}{n+1})$为$B$,
原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\dfrac{1}{n+1}.$

【分析】
这道题运用整体思想简化复杂的分数运算，解题思路是：观察式子中重复出现的多个分数相加的部分，将它们分别设为整体，通过乘法分配律展开式子后消去相同项，最终计算两个整体的差，避免直接计算大量分数的和，减少运算量。
【解析】
①设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$为$A$，$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})$为$B$，
则原式$=(1+A)B - (1+B)A$
利用乘法分配律展开：$= B + AB - A - AB$
消去$AB$项，得：$= B - A$
代入$A$、$B$的定义，$B - A = \dfrac{1}{7}$。
②设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n})$为$A$，$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n+1})$为$B$，
则原式$=(1+A)B - (1+B)A$
利用乘法分配律展开：$= B + AB - A - AB$
消去$AB$项，得：$= B - A$
代入$A$、$B$的定义，$B - A = \dfrac{1}{n+1}$。
【答案】
①$\dfrac{1}{7}$；②$\dfrac{1}{n+1}$
【知识点】
整体思想、乘法分配律
【点评】
本题是整体思想在代数运算中的典型应用，通过换元简化了复杂的分数运算，帮助学生掌握简化运算的技巧，降低了计算难度，体现了数学中化繁为简的思想。
【难度系数】
0.5