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10. 中考新考法 新定义问题 若定义一种新的运算“$*$”,规定有理数 $a*b=4ab$,如 $2*3=4×2×3=24$.
(1)求 $3*(-4)$ 的值；
(2)求 $(-2)*(6*3)$ 的值.
(1)求 $3*(-4)$ 的值；
(2)求 $(-2)*(6*3)$ 的值.
答案
10. (1)$3*(-4)=4×3×(-4)=-48.$
(2)$(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.$
(2)$(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.$
解析
【分析】本题是新定义运算问题，解题关键是准确理解新运算“*”的规则：$a*b = 4ab$，即两个数进行“*”运算时，结果为4乘这两个数的乘积。计算时，若算式中有括号，需先计算括号内的新运算，再将结果代入外层新运算的规则中，同时计算时要注意有理数乘法的符号规则。
【解析】(1) 根据新运算规则，$3*(-4)$中$a=3$，$b=-4$，代入得：$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$；
(2) 先计算括号内的$6*3$：$6*3=4×6×3=72$，再计算$(-2)*72$，其中$a=-2$，$b=72$，代入规则得：$(-2)*72=4×(-2)×72=-576$，因此$(-2)*(6*3)=-576$。
【答案】10. (1)$3*(-4)=4×3×(-4)=-48.$(2)$(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.$
【知识点】新定义运算、有理数的乘法
【点评】本题为中考新考法的新定义问题，主要考查对新运算规则的理解与应用，以及有理数乘法的计算能力，解题时需严格遵循新运算的定义，注意运算顺序和符号的处理，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 根据新运算规则，$3*(-4)$中$a=3$，$b=-4$，代入得：$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$；
(2) 先计算括号内的$6*3$：$6*3=4×6×3=72$，再计算$(-2)*72$，其中$a=-2$，$b=72$，代入规则得：$(-2)*72=4×(-2)×72=-576$，因此$(-2)*(6*3)=-576$。
【答案】10. (1)$3*(-4)=4×3×(-4)=-48.$(2)$(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.$
【知识点】新定义运算、有理数的乘法
【点评】本题为中考新考法的新定义问题，主要考查对新运算规则的理解与应用，以及有理数乘法的计算能力，解题时需严格遵循新运算的定义，注意运算顺序和符号的处理，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
11. (2025·山东菏泽期中)[阅读]
我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时,掌握了法则,同时也学会了分类思考.
[探索]
(1)若$ab=6$,则$a+b$的值为:
①正数;②负数;③0.
你认为结果可能是
(2)若$a+b=-5$,且$a,b$为整数,则$ab$的最大值为
[拓展]
(3)数轴上$A,B$两点分别对应有理数$a,b$,若$ab＜0$,试比较$a+b$与0的大小.
我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时,掌握了法则,同时也学会了分类思考.
[探索]
(1)若$ab=6$,则$a+b$的值为:
①正数;②负数;③0.
你认为结果可能是
①②
;(填序号)(2)若$a+b=-5$,且$a,b$为整数,则$ab$的最大值为
6
;[拓展]
(3)数轴上$A,B$两点分别对应有理数$a,b$,若$ab＜0$,试比较$a+b$与0的大小.
答案
11. (1)①②
[解析]因为$ab=6$,所以$a,b$同号且不为0.所以当$a,b$同为正数时,$a+b＞0$;当$a,b$同为负数时,$a+b＜0.$
(2)6
[解析]因为$ab$最大,所以$a,b$同号.
因为$a+b=-5$,所以$a,b$同为负数.
因为$a,b$为整数,所以$a,b$分别为$-1$和$-4$,此时$ab=4$,或$a,b$分别为$-2$和$-3$,此时$ab=6.$
所以$ab$的最大值为6.
(3)因为$ab＜0$,所以$a,b$异号.
设$a＞0$,则$b＜0$,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0.$
设$b＞0$,则$a＜0$,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0.$
一题多解 第(1)问中,还可以利用特殊值法方便快速判断,由题意可知$a,b$为同号,$\therefore a+b≠0$.可以取值:$a=2$,$b=3$或$a=-2,b=-3$,解得$a+b=5$或$a+b=-5$,由此判断①②正确.
[解析]因为$ab=6$,所以$a,b$同号且不为0.所以当$a,b$同为正数时,$a+b＞0$;当$a,b$同为负数时,$a+b＜0.$
(2)6
[解析]因为$ab$最大,所以$a,b$同号.
因为$a+b=-5$,所以$a,b$同为负数.
因为$a,b$为整数,所以$a,b$分别为$-1$和$-4$,此时$ab=4$,或$a,b$分别为$-2$和$-3$,此时$ab=6.$
所以$ab$的最大值为6.
(3)因为$ab＜0$,所以$a,b$异号.
设$a＞0$,则$b＜0$,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0.$
设$b＞0$,则$a＜0$,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0.$
一题多解 第(1)问中,还可以利用特殊值法方便快速判断,由题意可知$a,b$为同号,$\therefore a+b≠0$.可以取值:$a=2$,$b=3$或$a=-2,b=-3$,解得$a+b=5$或$a+b=-5$,由此判断①②正确.
解析
【分析】
本题考查有理数的乘法、加法法则及分类讨论思想，解题思路如下：
1. 第(1)问：由ab=6＞0，得a、b同号，分同为正、同为负两类，分别计算a+b的符号，排除a+b=0的情况，确定可能的序号；
2. 第(2)问：要使ab最大，结合a+b=-5（和为负），确定a、b同为负整数，列举和为-5的整数对，计算乘积得到最大值；
3. 第(3)问：由ab＜0得a、b异号，分a正b负、a负b正两种情况，再根据两数绝对值的大小关系，分类判断a+b的符号。
【解析】
(1) 因为ab=6＞0，所以a、b同号且均不为0：
当a、b同为正数时，a+b＞0；当a、b同为负数时，a+b＜0，因此a+b不可能为0，故结果为①②。
(2) 要使ab最大，结合a+b=-5＜0，可知a、b需同号（异号时乘积为负，小于同号乘积），故a、b同为负整数。
由于a、b为整数且a+b=-5，可能的整数对为(-1,-4)，此时ab=4；(-2,-3)，此时ab=6，因此ab的最大值为6。
(3) 因为ab＜0，所以a、b异号，分两种情况讨论：
① 若a＞0，b＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＞0；当|a|=|b|时，a+b=0；当|a|＜|b|时，a+b＜0；
② 若b＞0，a＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＜0；当|a|=|b|时，a+b=0；当|a|＜|b|时，a+b＞0。
【答案】
(1)①②；(2)6；(3)当a、b异号时，若正数的绝对值大于负数的绝对值，则a+b＞0；若两数绝对值相等，则a+b=0；若正数的绝对值小于负数的绝对值，则a+b＜0。
【知识点】
有理数的乘法法则、有理数的加法法则、分类讨论思想
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用，重点考察分类讨论的数学思想，要求学生熟练掌握同号、异号两数的乘法与加法规律，通过分类分析解决问题，是期中复习阶段的典型综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题考查有理数的乘法、加法法则及分类讨论思想，解题思路如下：
1. 第(1)问：由ab=6＞0，得a、b同号，分同为正、同为负两类，分别计算a+b的符号，排除a+b=0的情况，确定可能的序号；
2. 第(2)问：要使ab最大，结合a+b=-5（和为负），确定a、b同为负整数，列举和为-5的整数对，计算乘积得到最大值；
3. 第(3)问：由ab＜0得a、b异号，分a正b负、a负b正两种情况，再根据两数绝对值的大小关系，分类判断a+b的符号。
【解析】
(1) 因为ab=6＞0，所以a、b同号且均不为0：
当a、b同为正数时，a+b＞0；当a、b同为负数时，a+b＜0，因此a+b不可能为0，故结果为①②。
(2) 要使ab最大，结合a+b=-5＜0，可知a、b需同号（异号时乘积为负，小于同号乘积），故a、b同为负整数。
由于a、b为整数且a+b=-5，可能的整数对为(-1,-4)，此时ab=4；(-2,-3)，此时ab=6，因此ab的最大值为6。
(3) 因为ab＜0，所以a、b异号，分两种情况讨论：
① 若a＞0，b＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＞0；当|a|=|b|时，a+b=0；当|a|＜|b|时，a+b＜0；
② 若b＞0，a＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＜0；当|a|=|b|时，a+b=0；当|a|＜|b|时，a+b＞0。
【答案】
(1)①②；(2)6；(3)当a、b异号时，若正数的绝对值大于负数的绝对值，则a+b＞0；若两数绝对值相等，则a+b=0；若正数的绝对值小于负数的绝对值，则a+b＜0。
【知识点】
有理数的乘法法则、有理数的加法法则、分类讨论思想
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用，重点考察分类讨论的数学思想，要求学生熟练掌握同号、异号两数的乘法与加法规律，通过分类分析解决问题，是期中复习阶段的典型综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
12. (2025·重庆期中)已知 $ a $ 为最大的负整数，$ |b| = 1 $，$ |c| = 5 $，且 $ bc ＞ 0 $，$ b + c ＞ 0 $，请解决下列问题：
(1) $ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $，$ c = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 在数轴上，$ a $，$ b $，$ c $ 所对应的点分别为点 $ A $，$ B $，$ C $，点 $ P $ 为数轴上点 $ A $，$ B $ 之间一点（不包括点 $ A $，$ B $），其对应的数为 $ x $，化简：$ |x+1| - 3|x-1| - 2|x-5| $。
(3) 在(2)的条件下，点 $ A $，$ B $，$ C $ 开始在数轴上运动，若点 $ A $ 以每秒 1 个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时，点 $ B $ 和点 $ C $ 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 5 个单位长度的速度向数轴正方向运动. 设运动时间为 $ t $ 秒，则 $ BC - AB $ 的值是否随时间 $ t $ 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值.
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精题详解
(1) $ a = \_\_\_\_\_\_ $，$ b = \_\_\_\_\_\_ $，$ c = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 在数轴上，$ a $，$ b $，$ c $ 所对应的点分别为点 $ A $，$ B $，$ C $，点 $ P $ 为数轴上点 $ A $，$ B $ 之间一点（不包括点 $ A $，$ B $），其对应的数为 $ x $，化简：$ |x+1| - 3|x-1| - 2|x-5| $。
(3) 在(2)的条件下，点 $ A $，$ B $，$ C $ 开始在数轴上运动，若点 $ A $ 以每秒 1 个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时，点 $ B $ 和点 $ C $ 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 5 个单位长度的速度向数轴正方向运动. 设运动时间为 $ t $ 秒，则 $ BC - AB $ 的值是否随时间 $ t $ 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值.
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精题详解
答案
12. (1)$-1$ $1$ $5$
(2)$\because$点$P$为数轴上点$A,B$之间一点(不包括点$A,B$),其对应的数为$x$,$\therefore -1＜x＜1$,
$\therefore x+1＞0,x-1＜0,x-5＜0$,
$\therefore |x+1|-3|x-1|-2|x-5|$
$=x+1-3(1-x)-2(5-x)$
$=x+1-3+3x-10+2x$
$=6x-12.$
(3)$BC-AB$的值不随时间$t$的变化而变化,理由如下:
由题意,得运动$t$秒后,$BC=(5+5t)-(1+2t)=4+3t$,
$AB=t+1+1+2t=3t+2$,$\therefore BC-AB=(4+3t)-(3t+2)=4+3t-3t-2=2.$
(2)$\because$点$P$为数轴上点$A,B$之间一点(不包括点$A,B$),其对应的数为$x$,$\therefore -1＜x＜1$,
$\therefore x+1＞0,x-1＜0,x-5＜0$,
$\therefore |x+1|-3|x-1|-2|x-5|$
$=x+1-3(1-x)-2(5-x)$
$=x+1-3+3x-10+2x$
$=6x-12.$
(3)$BC-AB$的值不随时间$t$的变化而变化,理由如下:
由题意,得运动$t$秒后,$BC=(5+5t)-(1+2t)=4+3t$,
$AB=t+1+1+2t=3t+2$,$\therefore BC-AB=(4+3t)-(3t+2)=4+3t-3t-2=2.$
解析
【分析】
1. 确定a、b、c的值：最大的负整数是-1，故a=-1；由绝对值的性质，|b|=1得b=±1，|c|=5得c=±5，结合bc＞0（两数同号）和b+c＞0，排除b=-1、c=-5的情况，得b=1，c=5。
2. 化简绝对值式子：点P在A(-1)、B(1)之间，故-1＜x＜1，据此判断绝对值内式子的正负，再根据“正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数”去绝对值，合并同类项。
3. 分析BC-AB的变化：先写出运动t秒后各点在数轴上的位置，再计算BC和AB的长度，化简两者的差，若含t的项抵消，则值不随t变化。
【解析】
(1)
∵a为最大的负整数，
∴a=-1；
∵|b|=1，
∴b=1或b=-1；
∵|c|=5，
∴c=5或c=-5；
又
∵bc＞0，
∴b、c同号，结合b+c＞0，可知b=1，c=5（若b=-1、c=-5，则b+c=-6＜0，不符合条件）。
(2)
∵点P在A、B之间，对应数x，
∴-1＜x＜1，
∴x+1＞0，x-1＜0，x-5＜0，
∴|x+1|-3|x-1|-2|x-5|
= x+1 - 3(1 - x) - 2(5 - x)
= x+1 -3 +3x -10 +2x
= 6x -12。
(3) 运动t秒后，点A的位置为：-1 - t；点B的位置为：1 + 2t；点C的位置为：5 +5t；
则BC = (5+5t) - (1+2t) = 4 +3t，
AB = (1+2t) - (-1 -t) = 3t +2，
∴BC - AB = (4+3t) - (3t+2) = 2，
故BC - AB的值不随时间t的变化而变化，值为2。
【答案】
(1) -1，1，5；
(2) 6x -12；
(3) BC - AB的值不变，为2。
【知识点】
有理数的概念、绝对值的化简、数轴上的动点问题
【点评】
本题综合考查有理数的相关概念、绝对值的性质及数轴上的动点问题，解题关键是先根据已知条件确定各字母的取值，再结合数轴上点的位置关系和绝对值的性质进行化简计算，需要学生具备一定的逻辑分析能力，是初中期中测试的典型中档题。
【难度系数】
0.6
1. 确定a、b、c的值：最大的负整数是-1，故a=-1；由绝对值的性质，|b|=1得b=±1，|c|=5得c=±5，结合bc＞0（两数同号）和b+c＞0，排除b=-1、c=-5的情况，得b=1，c=5。
2. 化简绝对值式子：点P在A(-1)、B(1)之间，故-1＜x＜1，据此判断绝对值内式子的正负，再根据“正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数”去绝对值，合并同类项。
3. 分析BC-AB的变化：先写出运动t秒后各点在数轴上的位置，再计算BC和AB的长度，化简两者的差，若含t的项抵消，则值不随t变化。
【解析】
(1)
∵a为最大的负整数，
∴a=-1；
∵|b|=1，
∴b=1或b=-1；
∵|c|=5，
∴c=5或c=-5；
又
∵bc＞0，
∴b、c同号，结合b+c＞0，可知b=1，c=5（若b=-1、c=-5，则b+c=-6＜0，不符合条件）。
(2)
∵点P在A、B之间，对应数x，
∴-1＜x＜1，
∴x+1＞0，x-1＜0，x-5＜0，
∴|x+1|-3|x-1|-2|x-5|
= x+1 - 3(1 - x) - 2(5 - x)
= x+1 -3 +3x -10 +2x
= 6x -12。
(3) 运动t秒后，点A的位置为：-1 - t；点B的位置为：1 + 2t；点C的位置为：5 +5t；
则BC = (5+5t) - (1+2t) = 4 +3t，
AB = (1+2t) - (-1 -t) = 3t +2，
∴BC - AB = (4+3t) - (3t+2) = 2，
故BC - AB的值不随时间t的变化而变化，值为2。
【答案】
(1) -1，1，5；
(2) 6x -12；
(3) BC - AB的值不变，为2。
【知识点】
有理数的概念、绝对值的化简、数轴上的动点问题
【点评】
本题综合考查有理数的相关概念、绝对值的性质及数轴上的动点问题，解题关键是先根据已知条件确定各字母的取值，再结合数轴上点的位置关系和绝对值的性质进行化简计算，需要学生具备一定的逻辑分析能力，是初中期中测试的典型中档题。
【难度系数】
0.6
