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7. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和$2\sqrt{3}$，则这个三角形的面积为(
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{11}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$或$\sqrt{11}$
D
)A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{11}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$或$\sqrt{11}$
答案
7. D
解析
【分析】
已知等腰三角形给出两条不等的边长，需先分类讨论两条边分别作为腰、底的情况，首先用三角形三边关系验证两种情况是否能构成三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质作高，用勾股定理求出高，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为2，底边长为$2\sqrt{3}$时：
首先验证三边关系：$2+2=4＞2\sqrt{3}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形。
过顶点作底边的高，根据等腰三角形三线合一，高将底边分为长度均为$\sqrt{3}$的两段。
由勾股定理得高$h_1=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$
面积$S_1=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3} × 1=\sqrt{3}$
2. 当腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为2时：
验证三边关系：$2\sqrt{3}+2＞2\sqrt{3}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形。
过顶点作底边的高，高将底边分为长度均为1的两段。
由勾股定理得高$h_2=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 1^2}=\sqrt{12-1}=\sqrt{11}$
面积$S_2=\frac{1}{2}× 2 × \sqrt{11}=\sqrt{11}$
综上，三角形的面积为$\sqrt{3}$或$\sqrt{11}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，遇到等腰三角形给出两边长的问题时，一定要先分腰和底的两种情况讨论，且每种情况都要先验证是否符合三角形三边关系，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形给出两条不等的边长，需先分类讨论两条边分别作为腰、底的情况，首先用三角形三边关系验证两种情况是否能构成三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质作高，用勾股定理求出高，最后根据三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为2，底边长为$2\sqrt{3}$时：
首先验证三边关系：$2+2=4＞2\sqrt{3}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形。
过顶点作底边的高，根据等腰三角形三线合一，高将底边分为长度均为$\sqrt{3}$的两段。
由勾股定理得高$h_1=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$
面积$S_1=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3} × 1=\sqrt{3}$
2. 当腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为2时：
验证三边关系：$2\sqrt{3}+2＞2\sqrt{3}$，满足两边之和大于第三边，可构成三角形。
过顶点作底边的高，高将底边分为长度均为1的两段。
由勾股定理得高$h_2=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 1^2}=\sqrt{12-1}=\sqrt{11}$
面积$S_2=\frac{1}{2}× 2 × \sqrt{11}=\sqrt{11}$
综上，三角形的面积为$\sqrt{3}$或$\sqrt{11}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，遇到等腰三角形给出两边长的问题时，一定要先分腰和底的两种情况讨论，且每种情况都要先验证是否符合三角形三边关系，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
8. 若对实数规定运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，则
=______
=______答案
8. 原式$=\sqrt{18}-(-4\sqrt{2})=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要理解题目给出的新定义运算规则：二阶行列式的结果等于主对角线（左上到右下）两个元素的乘积减去副对角线（右上到左下）两个元素的乘积。第一步先对应找到行列式中各位置的数值，$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=-4$，$d=\sqrt{18}$，代入规则列出算式；第二步将算式中的非最简二次根式$\sqrt{18}$化简为最简二次根式；第三步处理算式中的符号，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据新定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入数值可得：
$\begin{aligned}原式&=1×\sqrt{18}-\sqrt{2}×(-4)\\&=\sqrt{18}+4\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\\&=7\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式加减
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，难度较低，解题的关键是正确理解新运算的规则，运算过程中注意符号不要出错，同时要熟练掌握二次根式化简和同类二次根式合并的方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解题目给出的新定义运算规则：二阶行列式的结果等于主对角线（左上到右下）两个元素的乘积减去副对角线（右上到左下）两个元素的乘积。第一步先对应找到行列式中各位置的数值，$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=-4$，$d=\sqrt{18}$，代入规则列出算式；第二步将算式中的非最简二次根式$\sqrt{18}$化简为最简二次根式；第三步处理算式中的符号，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据新定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入数值可得：
$\begin{aligned}原式&=1×\sqrt{18}-\sqrt{2}×(-4)\\&=\sqrt{18}+4\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\\&=7\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式加减
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，难度较低，解题的关键是正确理解新运算的规则，运算过程中注意符号不要出错，同时要熟练掌握二次根式化简和同类二次根式合并的方法。
【难度系数】
0.8
9. 定义:形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$(a,b$为正有理数$)$两个根式的积为有理式,称这两个二次根式互为共轭二次根式.例如:$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为共轭二次根式.
(1) 写出:$\sqrt{6}-\sqrt{3}$的共轭二次根式是.
(2) 猜想:$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}(n$为正有理数$)$的共轭二次根式.
(1) 写出:$\sqrt{6}-\sqrt{3}$的共轭二次根式是.
(2) 猜想:$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}(n$为正有理数$)$的共轭二次根式.
答案
9. (1) $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
解析
【分析】
解题的核心是先明确共轭二次根式的定义：两个二次根式的乘积为有理式即互为共轭二次根式。结合已学的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，要消去二次根号得到有理结果，只需给原式搭配符号相反的同形式根式组合即可。第(1)问给出$\sqrt{6}-\sqrt{3}$，将减号替换为加号即可满足平方差运算要求；第(2)问同理对$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$调整符号即可，注意整体颠倒符号后乘积也为有理式，因此有两个符合要求的结果。
【解析】
(1) 根据共轭二次根式的定义，结合平方差公式验证：
$(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2=6-3=3$，3是有理式，符合共轭二次根式的要求。
(2) 对$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$进行乘积验证：
① $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，1是有理式；
② $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})=(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n+1})^2=n-(n+1)=-1$，-1也是有理式。
因此两个式子均符合要求。
【答案】
(1) $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
【知识点】
共轭二次根式定义，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的核心要求，灵活将整式乘法的平方差公式迁移到二次根式运算中，主要考察新定义理解能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先明确共轭二次根式的定义：两个二次根式的乘积为有理式即互为共轭二次根式。结合已学的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，要消去二次根号得到有理结果，只需给原式搭配符号相反的同形式根式组合即可。第(1)问给出$\sqrt{6}-\sqrt{3}$，将减号替换为加号即可满足平方差运算要求；第(2)问同理对$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$调整符号即可，注意整体颠倒符号后乘积也为有理式，因此有两个符合要求的结果。
【解析】
(1) 根据共轭二次根式的定义，结合平方差公式验证：
$(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2=6-3=3$，3是有理式，符合共轭二次根式的要求。
(2) 对$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$进行乘积验证：
① $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，1是有理式；
② $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})=(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n+1})^2=n-(n+1)=-1$，-1也是有理式。
因此两个式子均符合要求。
【答案】
(1) $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
【知识点】
共轭二次根式定义，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的核心要求，灵活将整式乘法的平方差公式迁移到二次根式运算中，主要考察新定义理解能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.9
