3. 在化简$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$时,甲、乙两位同学的解答如下:
甲:$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$.

$=\sqrt{x}-\sqrt{y}$.
根据甲、乙两人的解答,可判断()

A.两人的解法都正确
B.甲的解法正确,乙的解法错误
C.甲的解法错误,乙的解法正确
D.两人的解法都错误

3. A

【分析】要判断甲、乙两人的解法是否正确，需结合二次根式有意义的条件、分式的基本性质和因式分解规则分析。首先原式$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$有意义的前提是$x≥0$、$y≥0$，且$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$。先分析乙的解法：乙将分子用平方差公式因式分解，约去不为0的分母$\sqrt{x}+\sqrt{y}$，完全符合运算规则。再分析甲的解法：甲用分母有理化的方法计算，分两种情况：若$x≠ y$，则$\sqrt{x}-\sqrt{y}≠0$，符合分式分子分母同乘非零整式值不变的性质；若$x=y$，原式分子为0，值为0，化简结果也为0，两种情况结果都正确，因此两人解法均正确。
【解析】首先明确原式有意义的条件：$x≥0,y≥0$，且$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$。
1. 验证乙的解法：
根据二次根式的性质，$x=(\sqrt{x})^2$，$y=(\sqrt{y})^2$，因此分子$x-y=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})$，
可得$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$，
因为$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$，约分后得$\sqrt{x}-\sqrt{y}$，乙的解法正确。
2. 验证甲的解法：
甲将分子分母同乘$\sqrt{x}-\sqrt{y}$进行分母有理化：
当$x≠ y$时，$\sqrt{x}-\sqrt{y}≠0$，符合分式基本性质，计算得$\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$，过程正确；
当$x=y$时，原式分子$x-y=0$，原式值为0，化简结果$\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$，结果正确。
综上，甲、乙两人的解法都正确。
【答案】A
【知识点】二次根式的性质，平方差公式，分式的基本性质
【点评】本题考查二次根式的化简，解题时要注意运算规则的适用条件，结合原式有意义的前提全面分析不同情况，才能准确判断解法的正确性。
【难度系数】0.7

4. 已知等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{6}$，则它的周长为。

4. $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

【分析】
要求等腰直角三角形的周长，需要先求出它的两条直角边的长度，再将三条边长度相加即可。解题时可以先设直角边长为x，结合等腰直角三角形两条直角边相等的性质，利用勾股定理列方程求出直角边的长度，最后计算周长并化简二次根式即可得到结果。
【解析】
设该等腰直角三角形的直角边长为$ x $。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ x^2 + x^2 = (\sqrt{6})^2 $
化简得：$ 2x^2 = 6 $
即：$ x^2 = 3 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{3} $（负根舍去）。
则该三角形的周长为两条直角边加斜边的长度和：
$ \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + \sqrt{6} $
【答案】
$ 2\sqrt{3}+\sqrt{6} $
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊三角形性质的掌握和勾股定理的应用，解题的关键是通过勾股定理求出直角边的长度，计算过程中要注意二次根式的化简规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.8

5. 设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则$(2a+b)(2a-b)$的值为.

5. $6+4\sqrt{6}$

【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步先确定$\sqrt{6}$的整数部分$a$和小数部分$b$，通过找和6相邻的两个完全平方数，就能判断$\sqrt{6}$的取值范围，进而得到整数部分$a$，再用$\sqrt{6}$减去整数部分即可得到小数部分$b$；第二步观察所求的代数式$(2a+b)(2a-b)$，它符合平方差公式的结构，先利用平方差公式化简式子，再代入$a$、$b$的值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
1. 确定$a$、$b$的值
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore \sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$
2. 化简所求代数式
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得：
$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$
3. 代入数值计算
将$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$代入化简后的式子：
$4a^2=4×2^2=16$
$b^2=(\sqrt{6}-2)^2=(\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×2 + 2^2=6-4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}$
$\therefore 4a^2 - b^2=16-(10-4\sqrt{6})=16-10+4\sqrt{6}=6+4\sqrt{6}$
【答案】
$6+4\sqrt{6}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 平方差公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题综合考查无理数整数、小数部分的确定和二次根式的混合运算，先利用乘法公式对代数式化简再代入求值，可有效降低运算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.7

6. 计算：
(1) $\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{\frac{1}{3}}$.
(2) $(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) + (\sqrt{3} - 1)^2$.

6. (1) 原式=$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$
(2) 原式=$-1+4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$

【分析】
(1) 二次根式加减运算的核心思路是先化简、再合并：首先将每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加减，根号部分保持不变即可。本题先分别化简$\sqrt{48}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}$，再合并同类二次根式即可得到结果。
(2) 观察式子结构可发现，两部分乘法都符合整式乘法公式的特征：第一部分$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，第二部分$(\sqrt{3}-1)^2$符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先利用公式简化计算，再合并结果即可，能有效降低计算出错概率。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=(4-3+\frac{1}{3})\sqrt{3}\\&=\frac{4}{3}\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 分别用乘法公式计算两部分：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})&=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1\\(\sqrt{3}-1)^2&=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}\end{aligned}$
合并结果：
$\begin{aligned}原式&=-1+4-2\sqrt{3}\\&=3-2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{4}{3}\sqrt{3}$；(2) $3-2\sqrt{3}$
【知识点】
1.二次根式化简 2.二次根式加减运算 3.乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常考题型，既考察了二次根式的基本化简规则，也考察了整式乘法公式在根式运算中的迁移应用，计算时注意根式化简的分母有理化要求、以及公式应用时的符号即可。
【难度系数】
0.75