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1. 在平面直角坐标系中，如果抛物线$y=2x^2$不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线对应的函数表达式为().
A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
答案
B
解析
【分析】
遇到坐标轴平移、函数图象不动的问题，我们可以利用相对运动的思路，将坐标轴的平移转化为函数图象向相反方向的平移，再结合二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可。具体思路：x轴向上平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向下平移2个单位；y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位，再按平移规律计算新的函数表达式。
【解析】
我们可以将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移：
1. y轴向右平移2个单位，等价于抛物线向左平移2个单位。根据二次函数平移“左加右减”的规律，原抛物线$y=2x^2$向左平移2个单位后，表达式变为$y=2(x+2)^2$；
2. x轴向上平移2个单位，等价于抛物线向下平移2个单位。根据“上加下减”的规律，将$y=2(x+2)^2$向下平移2个单位后，表达式变为$y=2(x+2)^2 - 2$。
因此新坐标系下抛物线的函数表达式为$y=2(x+2)^2 - 2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；坐标变换的相对性
【点评】
本题的核心是转化思想的应用，将坐标轴的平移转化为更熟悉的函数图象平移问题求解，易错点是容易混淆平移的方向，或记错“左加右减，上加下减”的适用规则。
【难度系数】
0.7
遇到坐标轴平移、函数图象不动的问题，我们可以利用相对运动的思路，将坐标轴的平移转化为函数图象向相反方向的平移，再结合二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可。具体思路：x轴向上平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向下平移2个单位；y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位，再按平移规律计算新的函数表达式。
【解析】
我们可以将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移：
1. y轴向右平移2个单位，等价于抛物线向左平移2个单位。根据二次函数平移“左加右减”的规律，原抛物线$y=2x^2$向左平移2个单位后，表达式变为$y=2(x+2)^2$；
2. x轴向上平移2个单位，等价于抛物线向下平移2个单位。根据“上加下减”的规律，将$y=2(x+2)^2$向下平移2个单位后，表达式变为$y=2(x+2)^2 - 2$。
因此新坐标系下抛物线的函数表达式为$y=2(x+2)^2 - 2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；坐标变换的相对性
【点评】
本题的核心是转化思想的应用，将坐标轴的平移转化为更熟悉的函数图象平移问题求解，易错点是容易混淆平移的方向，或记错“左加右减，上加下减”的适用规则。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知A，B，C为抛物线$y=ax^2+bx+c$与坐标轴的交点，且$OA=OC=1$，则下列关系中正确的是().
A.$a+b=-1$
B.$a-b=-1$
C.$b＜2a$
D.$ac＜0$
A.$a+b=-1$
B.$a-b=-1$
C.$b＜2a$
D.$ac＜0$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件OA=OC=1入手：首先，抛物线与y轴交于点C，且C在y轴正半轴，可得C点坐标，代入解析式即可求出c的值；其次，A是抛物线与x轴的交点且在原点左侧，由OA=1可得A点坐标，将A点坐标和c的值代入解析式即可得到a与b的关系，可初步匹配选项；最后结合二次函数开口方向、对称轴位置等性质，逐一验证其余选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 求点坐标及c的值：
∵ 点C是抛物线与y轴的交点，OC=1且C在y轴正半轴，
∴ C(0, 1)，将C(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=1$。
∵ 点A是抛物线与x轴的交点，OA=1且A在x轴负半轴，
∴ A(-1, 0)。
2. 代入A点坐标求a、b关系：
将A(-1, 0)、$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a· (-1)^2 + b· (-1) + 1 = 0$
化简得：$a - b + 1 = 0$，即$a - b = -1$，故B选项正确。
3. 验证其余选项：
A选项：当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图像可知x=1时函数值大于0，即$a+b+1＞0$，得$a+b＞-1$，故A错误。
C选项：抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与x轴的两个交点都在x=-1左侧，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a} ＜ -1$，两边乘正数$2a$得$-b ＜ -2a$，即$b＞2a$，故C错误。
D选项：$a＞0$，$c=1＞0$，因此$ac＞0$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与坐标轴交点；不等式性质
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题核心是结合已知条件确定交点坐标代入解析式得到系数关系，再结合图象的开口、对称轴等特征判断其余结论，属于二次函数常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件OA=OC=1入手：首先，抛物线与y轴交于点C，且C在y轴正半轴，可得C点坐标，代入解析式即可求出c的值；其次，A是抛物线与x轴的交点且在原点左侧，由OA=1可得A点坐标，将A点坐标和c的值代入解析式即可得到a与b的关系，可初步匹配选项；最后结合二次函数开口方向、对称轴位置等性质，逐一验证其余选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 求点坐标及c的值：
∵ 点C是抛物线与y轴的交点，OC=1且C在y轴正半轴，
∴ C(0, 1)，将C(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=1$。
∵ 点A是抛物线与x轴的交点，OA=1且A在x轴负半轴，
∴ A(-1, 0)。
2. 代入A点坐标求a、b关系：
将A(-1, 0)、$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a· (-1)^2 + b· (-1) + 1 = 0$
化简得：$a - b + 1 = 0$，即$a - b = -1$，故B选项正确。
3. 验证其余选项：
A选项：当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图像可知x=1时函数值大于0，即$a+b+1＞0$，得$a+b＞-1$，故A错误。
C选项：抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与x轴的两个交点都在x=-1左侧，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a} ＜ -1$，两边乘正数$2a$得$-b ＜ -2a$，即$b＞2a$，故C错误。
D选项：$a＞0$，$c=1＞0$，因此$ac＞0$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与坐标轴交点；不等式性质
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题核心是结合已知条件确定交点坐标代入解析式得到系数关系，再结合图象的开口、对称轴等特征判断其余结论，属于二次函数常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数 $y=ax^2+x+a^2-1(a≠0)$ 的图象可能是().
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
判断二次函数图象需结合函数表达式的系数特征，从开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点三个维度逐一排除错误选项：首先利用对称轴公式判断对称轴是否可能为y轴，排除对应错误选项；再分a正负讨论开口方向和对称轴位置的匹配关系，最终验证剩余选项是否符合函数特征。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+x+a^2-1(a≠0)$：
1. 求对称轴：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=1$得对称轴为$x=-\frac{1}{2a}$，因$a≠0$，故对称轴不可能为0（即不可能是y轴），可直接排除对称轴为y轴的选项C、D；
2. 分情况讨论：
若$a＞0$，函数开口向上，此时对称轴$x=-\frac{1}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，选项A开口向上但对称轴在y轴右侧，不符合特征，排除A；
若$a＜0$，函数开口向下，此时对称轴$x=-\frac{1}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和选项B特征匹配。进一步验证：若图象过原点，代入$x=0,y=0$得$a^2-1=0$，解得$a=±1$，结合$a＜0$取$a=-1$，此时函数为$y=-x^2+x$，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，与x轴交点为$(0,0)$、$(1,0)$，和选项B图象完全一致。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心是掌握二次函数系数和图象特征的对应关系，使用排除法可以高效解题，需要注意不要遗漏对特殊交点的验证。
【难度系数】
0.7
判断二次函数图象需结合函数表达式的系数特征，从开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点三个维度逐一排除错误选项：首先利用对称轴公式判断对称轴是否可能为y轴，排除对应错误选项；再分a正负讨论开口方向和对称轴位置的匹配关系，最终验证剩余选项是否符合函数特征。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+x+a^2-1(a≠0)$：
1. 求对称轴：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=1$得对称轴为$x=-\frac{1}{2a}$，因$a≠0$，故对称轴不可能为0（即不可能是y轴），可直接排除对称轴为y轴的选项C、D；
2. 分情况讨论：
若$a＞0$，函数开口向上，此时对称轴$x=-\frac{1}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，选项A开口向上但对称轴在y轴右侧，不符合特征，排除A；
若$a＜0$，函数开口向下，此时对称轴$x=-\frac{1}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和选项B特征匹配。进一步验证：若图象过原点，代入$x=0,y=0$得$a^2-1=0$，解得$a=±1$，结合$a＜0$取$a=-1$，此时函数为$y=-x^2+x$，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，与x轴交点为$(0,0)$、$(1,0)$，和选项B图象完全一致。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心是掌握二次函数系数和图象特征的对应关系，使用排除法可以高效解题，需要注意不要遗漏对特殊交点的验证。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线$y=(k^2 -1)x^2 +2kx -4$与x轴的一个交点为A(-2,0)，则k的值为。
答案
解：
把点$A(-2, 0)$代入抛物线解析式$y=(k^2 -1)x^2 +2kx -4$，得：
$0=(k^2 -1)×(-2)^2 + 2k×(-2) -4$
整理得：
$4k^2 -4k -8=0$
$k^2 -k -2 = 0$
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
由抛物线定义可知二次项系数不为0，即$k^2 -1 ≠ 0$，得$k≠\pm1$，
因此$k=-1$不符合题意，舍去。
则$k$的值为$\boldsymbol{2}$。
把点$A(-2, 0)$代入抛物线解析式$y=(k^2 -1)x^2 +2kx -4$，得：
$0=(k^2 -1)×(-2)^2 + 2k×(-2) -4$
整理得：
$4k^2 -4k -8=0$
$k^2 -k -2 = 0$
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
由抛物线定义可知二次项系数不为0，即$k^2 -1 ≠ 0$，得$k≠\pm1$，
因此$k=-1$不符合题意，舍去。
则$k$的值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
已知点A是抛物线与x轴的交点，因此点A的坐标满足抛物线的解析式，我们可以先将A(-2,0)代入解析式得到关于k的一元二次方程，解方程求出k的可能值；再结合抛物线的定义，二次函数的二次项系数不能为0，对求出的k值进行检验，舍去不符合要求的解，即可得到最终的k值。
【解析】
把点$A(-2, 0)$代入抛物线解析式$y=(k^2 -1)x^2 +2kx -4$，可得：
$\begin{aligned}0&=(k^2 -1)×(-2)^2 + 2k×(-2) -4\\0&=4(k^2-1)-4k-4\\0&=4k^2 -4 -4k -4\end{aligned}$
整理得：$4k^2 -4k -8=0$，两边同时除以4得$k^2 -k -2 = 0$
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$
根据抛物线的定义，二次项系数不能为0，即$k^2 -1 ≠ 0$，解得$k≠\pm1$
因此$k=-1$不符合题意，舍去，故$k=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数图象上点的坐标特征
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题的易错点是求出k的解后，容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致多解，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
已知点A是抛物线与x轴的交点，因此点A的坐标满足抛物线的解析式，我们可以先将A(-2,0)代入解析式得到关于k的一元二次方程，解方程求出k的可能值；再结合抛物线的定义，二次函数的二次项系数不能为0，对求出的k值进行检验，舍去不符合要求的解，即可得到最终的k值。
【解析】
把点$A(-2, 0)$代入抛物线解析式$y=(k^2 -1)x^2 +2kx -4$，可得：
$\begin{aligned}0&=(k^2 -1)×(-2)^2 + 2k×(-2) -4\\0&=4(k^2-1)-4k-4\\0&=4k^2 -4 -4k -4\end{aligned}$
整理得：$4k^2 -4k -8=0$，两边同时除以4得$k^2 -k -2 = 0$
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-1$
根据抛物线的定义，二次项系数不能为0，即$k^2 -1 ≠ 0$，解得$k≠\pm1$
因此$k=-1$不符合题意，舍去，故$k=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数图象上点的坐标特征
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题的易错点是求出k的解后，容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致多解，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(0,-3)$. 请你确定一个$b$的值，使该抛物线与$x$轴的一个交点在$(1,0)$和$(3,0)$之间. 你所确定的$b$的值是.
答案
$1$（答案不唯一，满足$-2＜b＜2$即可）
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用已知抛物线上的点(0,-3)求出常数项c的值，得到含参数b的抛物线解析式；再结合抛物线开口向上、与x轴两个交点一正一负的特点，要让正的x轴交点落在(1,0)和(3,0)之间，根据二次函数的函数值符号规律：x在两根之间时函数值小于0，x大于正根时函数值大于0，可得x=1时函数值小于0，x=3时函数值大于0，列不等式即可求出b的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
1. 求常数项c：
把点$(0,-3)$代入抛物线$y=x^2+bx+c$，得：
$0 + 0 + c = -3$，解得$c=-3$，
因此抛物线解析式为$y=x^2+bx-3$。
2. 根据交点条件列不等式：
抛物线$a=1＞0$，开口向上，且与x轴的两个交点一正一负，仅需保证正交点在$(1,0)$和$(3,0)$之间即可。
根据二次函数值的符号规律：
当$x=1$时，函数值小于0：$1^2 + b×1 - 3 ＜ 0$，即$b - 2 ＜ 0$，解得$b＜2$；
当$x=3$时，函数值大于0：$3^2 + b×3 - 3 ＞ 0$，即$3b + 6 ＞ 0$，解得$b＞-2$。
因此$b$的取值范围是$-2 ＜ b ＜ 2$，在该范围内任取一个值即可，例如取$b=1$。
【答案】
$1$（答案不唯一，满足$-2＜b＜2$即可）
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，不等式求解
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是结合二次函数的图象特征，将交点位置的条件转化为函数值的符号不等式求解，答案不唯一，只要在取值范围内都符合要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用已知抛物线上的点(0,-3)求出常数项c的值，得到含参数b的抛物线解析式；再结合抛物线开口向上、与x轴两个交点一正一负的特点，要让正的x轴交点落在(1,0)和(3,0)之间，根据二次函数的函数值符号规律：x在两根之间时函数值小于0，x大于正根时函数值大于0，可得x=1时函数值小于0，x=3时函数值大于0，列不等式即可求出b的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
1. 求常数项c：
把点$(0,-3)$代入抛物线$y=x^2+bx+c$，得：
$0 + 0 + c = -3$，解得$c=-3$，
因此抛物线解析式为$y=x^2+bx-3$。
2. 根据交点条件列不等式：
抛物线$a=1＞0$，开口向上，且与x轴的两个交点一正一负，仅需保证正交点在$(1,0)$和$(3,0)$之间即可。
根据二次函数值的符号规律：
当$x=1$时，函数值小于0：$1^2 + b×1 - 3 ＜ 0$，即$b - 2 ＜ 0$，解得$b＜2$；
当$x=3$时，函数值大于0：$3^2 + b×3 - 3 ＞ 0$，即$3b + 6 ＞ 0$，解得$b＞-2$。
因此$b$的取值范围是$-2 ＜ b ＜ 2$，在该范围内任取一个值即可，例如取$b=1$。
【答案】
$1$（答案不唯一，满足$-2＜b＜2$即可）
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，不等式求解
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是结合二次函数的图象特征，将交点位置的条件转化为函数值的符号不等式求解，答案不唯一，只要在取值范围内都符合要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且过点$(\dfrac{1}{2},0)$.有下列结论：
①$abc＞0$；②$a-2b+4c=0$；③$25a-10b+4c=0$；④$3b+2c＞0$；⑤$a-b≥ m(am-b)$.其中正确的有________.(填序号)
①$abc＞0$；②$a-2b+4c=0$；③$25a-10b+4c=0$；④$3b+2c＞0$；⑤$a-b≥ m(am-b)$.其中正确的有________.(填序号)
答案
解：
由抛物线开口向下得$a＜0$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$，
抛物线与$y$轴交于正半轴，得$c＞0$。
1. 判断①：
$\because a＜0,b＜0,c＞0$，$\therefore abc＞0$，①正确。
2. 判断②：
将$b=2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2·2a+4c=-3a+4c$，
$\because a＜0$，$\therefore -3a＞0$，又$c＞0$，$\therefore -3a+4c＞0$，即$a-2b+4c≠0$，②错误。
3. 判断③：
抛物线对称轴为$x=-1$，已知一个零点为$x=\frac{1}{2}$，由对称性得另一零点为$x=-\frac{5}{2}$，
将$x=-\frac{5}{2}$代入解析式得：$a·(-\frac{5}{2})^2 + b·(-\frac{5}{2})+c=0$，
整理得$\frac{25a}{4}-\frac{5b}{2}+c=0$，两边同乘$4$得$25a-10b+4c=0$，③正确。
4. 判断④：
将点$(\frac{1}{2},0)$代入解析式得$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=0$，
把$a=\frac{b}{2}$代入得$\frac{1}{4}·\frac{b}{2}+\frac{1}{2}b+c=0$，化简得$c=-\frac{5b}{8}$，
代入$3b+2c$得$3b+2·(-\frac{5b}{8})=\frac{7b}{4}$，
$\because b＜0$，$\therefore \frac{7b}{4}＜0$，即$3b+2c＜0$，④错误。
5. 判断⑤：
当$x=-1$时，抛物线取得最大值，对任意实数$m$，有：
$a·(-1)^2 + b·(-1)+c ≥ a· m^2 + b· m + c$，
消去$c$，整理得$a-b ≥ m(am - b)$，⑤正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③⑤}$。
由抛物线开口向下得$a＜0$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$，
抛物线与$y$轴交于正半轴，得$c＞0$。
1. 判断①：
$\because a＜0,b＜0,c＞0$，$\therefore abc＞0$，①正确。
2. 判断②：
将$b=2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2·2a+4c=-3a+4c$，
$\because a＜0$，$\therefore -3a＞0$，又$c＞0$，$\therefore -3a+4c＞0$，即$a-2b+4c≠0$，②错误。
3. 判断③：
抛物线对称轴为$x=-1$，已知一个零点为$x=\frac{1}{2}$，由对称性得另一零点为$x=-\frac{5}{2}$，
将$x=-\frac{5}{2}$代入解析式得：$a·(-\frac{5}{2})^2 + b·(-\frac{5}{2})+c=0$，
整理得$\frac{25a}{4}-\frac{5b}{2}+c=0$，两边同乘$4$得$25a-10b+4c=0$，③正确。
4. 判断④：
将点$(\frac{1}{2},0)$代入解析式得$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=0$，
把$a=\frac{b}{2}$代入得$\frac{1}{4}·\frac{b}{2}+\frac{1}{2}b+c=0$，化简得$c=-\frac{5b}{8}$，
代入$3b+2c$得$3b+2·(-\frac{5b}{8})=\frac{7b}{4}$，
$\because b＜0$，$\therefore \frac{7b}{4}＜0$，即$3b+2c＜0$，④错误。
5. 判断⑤：
当$x=-1$时，抛物线取得最大值，对任意实数$m$，有：
$a·(-1)^2 + b·(-1)+c ≥ a· m^2 + b· m + c$，
消去$c$，整理得$a-b ≥ m(am - b)$，⑤正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③⑤}$。
解析
【分析】
解决这类二次函数系数相关结论判断的问题，第一步先从图象提取基础信息：①由抛物线开口方向确定a的符号；②由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$结合已知对称轴，得到b与a的数量关系，确定b的符号；③由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号；④利用二次函数的对称性，结合已知的一个零点求出另一个零点。之后针对每个结论，将b用a替换、或者代入零点坐标、或者利用二次函数最值性质逐一验证即可。
【解析】
首先由图象获取基础信息：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
∴$b=2a＜0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
1. 判断结论①：
∵$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，
∴$abc＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：
将$b=2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2×2a+4c=-3a+4c$，
∵$a＜0$，
∴$-3a＞0$，又$c＞0$，
∴$-3a+4c＞0$，即$a-2b+4c≠0$，故②错误。
3. 判断结论③：
∵抛物线对称轴为$x=-1$，已知一个零点为$x=\frac{1}{2}$，根据二次函数对称性，另一零点为$x=-1×2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$，
将$x=-\frac{5}{2}$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a×(-\frac{5}{2})^2 + b×(-\frac{5}{2})+c=0$，
整理得$\frac{25a}{4}-\frac{5b}{2}+c=0$，两边同时乘4得$25a-10b+4c=0$，故③正确。
4. 判断结论④：
将点$(\frac{1}{2},0)$代入解析式得$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=0$，
把$a=\frac{b}{2}$代入上式得$\frac{1}{4}×\frac{b}{2}+\frac{1}{2}b+c=0$，化简得$c=-\frac{5b}{8}$，
代入$3b+2c$得$3b+2×(-\frac{5b}{8})=\frac{7b}{4}$，
∵$b＜0$，
∴$\frac{7b}{4}＜0$，即$3b+2c＜0$，故④错误。
5. 判断结论⑤：
当$x=-1$时，抛物线取得最大值，因此对任意实数$m$，都有$a×(-1)^2 + b×(-1)+c ≥ am^2 + bm + c$，
消去两边的$c$，整理得$a-b ≥ m(am - b)$，故⑤正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③⑤}$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数对称性，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要熟练掌握从图象提取符号、零点、对称轴等信息的方法，结合代数变形、函数性质逐一验证结论，解题时注意将a、b、c统一为同一个字母代换可降低判断难度。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数系数相关结论判断的问题，第一步先从图象提取基础信息：①由抛物线开口方向确定a的符号；②由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$结合已知对称轴，得到b与a的数量关系，确定b的符号；③由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号；④利用二次函数的对称性，结合已知的一个零点求出另一个零点。之后针对每个结论，将b用a替换、或者代入零点坐标、或者利用二次函数最值性质逐一验证即可。
【解析】
首先由图象获取基础信息：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，
∴$b=2a＜0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
1. 判断结论①：
∵$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，
∴$abc＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：
将$b=2a$代入$a-2b+4c$，得$a-2×2a+4c=-3a+4c$，
∵$a＜0$，
∴$-3a＞0$，又$c＞0$，
∴$-3a+4c＞0$，即$a-2b+4c≠0$，故②错误。
3. 判断结论③：
∵抛物线对称轴为$x=-1$，已知一个零点为$x=\frac{1}{2}$，根据二次函数对称性，另一零点为$x=-1×2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$，
将$x=-\frac{5}{2}$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a×(-\frac{5}{2})^2 + b×(-\frac{5}{2})+c=0$，
整理得$\frac{25a}{4}-\frac{5b}{2}+c=0$，两边同时乘4得$25a-10b+4c=0$，故③正确。
4. 判断结论④：
将点$(\frac{1}{2},0)$代入解析式得$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=0$，
把$a=\frac{b}{2}$代入上式得$\frac{1}{4}×\frac{b}{2}+\frac{1}{2}b+c=0$，化简得$c=-\frac{5b}{8}$，
代入$3b+2c$得$3b+2×(-\frac{5b}{8})=\frac{7b}{4}$，
∵$b＜0$，
∴$\frac{7b}{4}＜0$，即$3b+2c＜0$，故④错误。
5. 判断结论⑤：
当$x=-1$时，抛物线取得最大值，因此对任意实数$m$，都有$a×(-1)^2 + b×(-1)+c ≥ am^2 + bm + c$，
消去两边的$c$，整理得$a-b ≥ m(am - b)$，故⑤正确。
【答案】
$\boldsymbol{①③⑤}$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数对称性，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要熟练掌握从图象提取符号、零点、对称轴等信息的方法，结合代数变形、函数性质逐一验证结论，解题时注意将a、b、c统一为同一个字母代换可降低判断难度。
【难度系数】
0.6
