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三、解答题
7. 已知二次函数 $y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$ 的图象过点$(0,-3)$。
（1）求二次函数的表达式；
（2）指出二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）画出二次函数图象。
7. 已知二次函数 $y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$ 的图象过点$(0,-3)$。
（1）求二次函数的表达式；
（2）指出二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）画出二次函数图象。
答案
解：
（1）把点$(0,-3)$代入二次函数$y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$，得：
$m-2=-3$
解得$m=-1$
此时二次项系数$m+2=-1+2=1≠0$，符合二次函数定义。
将$m=-1$代入原式，得二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
因此，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
（3）先确定函数的关键点：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，得到函数与x轴的交点$(-3,0)$、$(1,0)$；
函数与y轴的交点为$(0,-3)$，取该点关于对称轴$x=-1$的对称点$(-2,-3)$；
结合顶点$(-1,-4)$，在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
（1）把点$(0,-3)$代入二次函数$y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$，得：
$m-2=-3$
解得$m=-1$
此时二次项系数$m+2=-1+2=1≠0$，符合二次函数定义。
将$m=-1$代入原式，得二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
因此，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
（3）先确定函数的关键点：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，得到函数与x轴的交点$(-3,0)$、$(1,0)$；
函数与y轴的交点为$(0,-3)$，取该点关于对称轴$x=-1$的对称点$(-2,-3)$；
结合顶点$(-1,-4)$，在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
解析
【分析】
（1）若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$(0,-3)$代入解析式可得到关于$m$的方程，求解$m$后需验证二次项系数不为0，符合二次函数定义后，代回原式即可得到二次函数表达式。
（2）求二次函数顶点坐标和对称轴，可将得到的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，直接得出结果即可。
（3）二次函数图象为抛物线，画图时选取顶点、与坐标轴的交点、交点关于对称轴的对称点这类关键点，描点后用平滑曲线顺次连接即可得到函数图象。
【解析】
（1）把点$(0,-3)$代入二次函数$y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$，得：
$m-2=-3$
解得$m=-1$
此时二次项系数$m+2=-1+2=1≠0$，符合二次函数定义。
将$m=-1$代入原式，得二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$
因此，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
（3）首先确定函数的关键点：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即函数与x轴的交点为$(-3,0)$、$(1,0)$；
已知函数与y轴的交点为$(0,-3)$，该点关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-2,-3)$；
结合顶点坐标$(-1,-4)$，在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$
（2）顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-4)}$，对称轴为$\boldsymbol{直线x=-1}$
（3）描出点$(-3,0)$、$(1,0)$、$(0,-3)$、$(-2,-3)$、$(-1,-4)$，用平滑曲线顺次连接各点得到对应抛物线即可。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的图像与性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，覆盖了二次函数解析式求解、顶点与对称轴计算、图像绘制三个核心基础考点，解题关键是掌握待定系数法的应用、二次函数一般式到顶点式的转化，以及画抛物线时关键点的选取思路，有助于巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.8
（1）若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$(0,-3)$代入解析式可得到关于$m$的方程，求解$m$后需验证二次项系数不为0，符合二次函数定义后，代回原式即可得到二次函数表达式。
（2）求二次函数顶点坐标和对称轴，可将得到的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，直接得出结果即可。
（3）二次函数图象为抛物线，画图时选取顶点、与坐标轴的交点、交点关于对称轴的对称点这类关键点，描点后用平滑曲线顺次连接即可得到函数图象。
【解析】
（1）把点$(0,-3)$代入二次函数$y=(m+2)x^2+(m+3)x+m-2$，得：
$m-2=-3$
解得$m=-1$
此时二次项系数$m+2=-1+2=1≠0$，符合二次函数定义。
将$m=-1$代入原式，得二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
（2）对二次函数表达式配方：
$y=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$
因此，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-4)$，对称轴为直线$x=-1$。
（3）首先确定函数的关键点：
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，即函数与x轴的交点为$(-3,0)$、$(1,0)$；
已知函数与y轴的交点为$(0,-3)$，该点关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-2,-3)$；
结合顶点坐标$(-1,-4)$，在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$
（2）顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-4)}$，对称轴为$\boldsymbol{直线x=-1}$
（3）描出点$(-3,0)$、$(1,0)$、$(0,-3)$、$(-2,-3)$、$(-1,-4)$，用平滑曲线顺次连接各点得到对应抛物线即可。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的图像与性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，覆盖了二次函数解析式求解、顶点与对称轴计算、图像绘制三个核心基础考点，解题关键是掌握待定系数法的应用、二次函数一般式到顶点式的转化，以及画抛物线时关键点的选取思路，有助于巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$，连接$BC$交抛物线的对称轴于点$E$，$D$是抛物线的顶点.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）直接写出点$C$和点$D$的坐标；
（3）若点$P$在第一象限内的抛物线上，且$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$，求点$P$的坐标.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）直接写出点$C$和点$D$的坐标；
（3）若点$P$在第一象限内的抛物线上，且$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$，求点$P$的坐标.
答案
解：(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 - b + c = 0 \\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2 \\ c=3\end{cases}$，
因此抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 点$C$的坐标为$(0,3)$，点$D$的坐标为$(1,4)$。
(3) 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1 \\ m=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，即点$E$坐标为$(1,2)$。
$S_{△ COE}=\frac{1}{2} × OC × x_E = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$
则 $4S_{△ COE}=4 × \frac{3}{2}=6$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，$AB=3-(-1)=4$，由$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$得：
$\frac{1}{2} × AB × y_P = 6$
即 $\frac{1}{2} × 4 × y_P =6$，解得$y_P=3$。
将$y=3$代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得：
$-x^2+2x+3=3$
解得$x_1=0$（舍去，对应点$C$），$x_2=2$。
因此点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\begin{cases}-1 - b + c = 0 \\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2 \\ c=3\end{cases}$，
因此抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 点$C$的坐标为$(0,3)$，点$D$的坐标为$(1,4)$。
(3) 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1 \\ m=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，即点$E$坐标为$(1,2)$。
$S_{△ COE}=\frac{1}{2} × OC × x_E = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$
则 $4S_{△ COE}=4 × \frac{3}{2}=6$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，$AB=3-(-1)=4$，由$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$得：
$\frac{1}{2} × AB × y_P = 6$
即 $\frac{1}{2} × 4 × y_P =6$，解得$y_P=3$。
将$y=3$代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得：
$-x^2+2x+3=3$
解得$x_1=0$（舍去，对应点$C$），$x_2=2$。
因此点$P$的坐标为$(2,3)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，得到函数表达式。
(2) 点C是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出对应y值，得到C点坐标；顶点D的坐标可先求出抛物线对称轴，将对称轴对应的x值代入解析式求出y值，即可得到顶点坐标。
(3) 求点P坐标需先计算△COE的面积：先利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合抛物线对称轴求出点E的坐标，用三角形面积公式算出△COE的面积，进而得到△ABP的面积；△ABP的底AB长度可由A、B坐标求出，高为第一象限内点P的纵坐标，据此列方程求出P点纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，舍去不符合第一象限要求的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 - b + c = 0 \\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2 \\ c=3\end{cases}$，
因此抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$；
抛物线对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，将$x=1$代入$y=-x^2+2x+3$得$y=4$，故点$D$的坐标为$(1,4)$。
(3) 设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1 \\ m=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，即点$E$坐标为$(1,2)$。
$S_{△ COE}=\frac{1}{2} × OC × x_E = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$
则 $4S_{△ COE}=4 × \frac{3}{2}=6$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，$AB=3-(-1)=4$，由$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$得：
$\frac{1}{2} × AB × y_P = 6$
即 $\frac{1}{2} × 4 × y_P =6$，解得$y_P=3$。
将$y=3$代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得：
$-x^2+2x+3=3$
解得$x_1=0$（舍去，不在第一象限），$x_2=2$。
因此点$P$的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) $C(0,3)$，$D(1,4)$
(3) $(2,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合了一次函数、三角形面积的相关知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能结合坐标系中图形的特征建立等量关系求解，对巩固函数相关基础知识点有很好的作用。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，得到函数表达式。
(2) 点C是抛物线与y轴的交点，令x=0代入抛物线解析式即可求出对应y值，得到C点坐标；顶点D的坐标可先求出抛物线对称轴，将对称轴对应的x值代入解析式求出y值，即可得到顶点坐标。
(3) 求点P坐标需先计算△COE的面积：先利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合抛物线对称轴求出点E的坐标，用三角形面积公式算出△COE的面积，进而得到△ABP的面积；△ABP的底AB长度可由A、B坐标求出，高为第一象限内点P的纵坐标，据此列方程求出P点纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，舍去不符合第一象限要求的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1 - b + c = 0 \\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2 \\ c=3\end{cases}$，
因此抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$；
抛物线对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，将$x=1$代入$y=-x^2+2x+3$得$y=4$，故点$D$的坐标为$(1,4)$。
(3) 设直线$BC$的解析式为$y=kx+m$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}3k + m = 0 \\m = 3\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1 \\ m=3\end{cases}$，即直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=2$，即点$E$坐标为$(1,2)$。
$S_{△ COE}=\frac{1}{2} × OC × x_E = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$
则 $4S_{△ COE}=4 × \frac{3}{2}=6$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，$AB=3-(-1)=4$，由$S_{△ ABP}=4S_{△ COE}$得：
$\frac{1}{2} × AB × y_P = 6$
即 $\frac{1}{2} × 4 × y_P =6$，解得$y_P=3$。
将$y=3$代入抛物线解析式$y=-x^2+2x+3$，得：
$-x^2+2x+3=3$
解得$x_1=0$（舍去，不在第一象限），$x_2=2$。
因此点$P$的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) $C(0,3)$，$D(1,4)$
(3) $(2,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，结合了一次函数、三角形面积的相关知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能结合坐标系中图形的特征建立等量关系求解，对巩固函数相关基础知识点有很好的作用。
【难度系数】
0.7
