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1. 若$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$满足下列条件，其中使两个三角形相似的是（$\quad\quad$）.
A.$AB=2.5\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=4\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=6\ \mathrm{cm}$
B.$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=6\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
C.$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=AC=8\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=A_1C_1=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$AB=1\ \mathrm{cm}$，$BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
A.$AB=2.5\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=4\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=6\ \mathrm{cm}$
B.$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=6\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\dfrac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
C.$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=AC=8\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=A_1C_1=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$AB=1\ \mathrm{cm}$，$BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查利用三边关系判定三角形相似，解题思路如下：首先明确相似三角形的三边判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。由于每个选项都给出了两个三角形的三边长度，因此我们只需先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，再计算对应边的比值，若三组比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。排序是为了避免对应边匹配错误，是解题的关键步骤。
【解析】
根据“三组对应边成比例的两个三角形相似”，逐一分析选项：
选项A：将△ABC三边从小到大排序：$BC=2\ \mathrm{cm}$，$AB=2.5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=4\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=6\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{BC}{A_1B_1}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{B_1C_1}=\frac{2.5}{4}=\frac{5}{8}$，$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，三组比值不相等，两三角形不相似，A错误。
选项B：将△ABC三边从小到大排序：$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=6\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{A_1C_1}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{B_1C_1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，三组比值相等，两三角形相似，B正确。
选项C：△ABC三边为$BC=AC=8\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$；△A₁B₁C₁三边为$B_1C_1=A_1C_1=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{10}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$，比值不相等，两三角形不相似，C错误。
选项D：将△ABC三边从小到大排序：$AB=1\ \mathrm{cm}$，$BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1C_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{AB}{A_1C_1}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$，比值不相等，两三角形不相似，D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；比例的化简计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是掌握三边成比例判定相似的定理，解题时要注意先将两个三角形的边按大小排序，再匹配对应边计算比值，避免因对应边匹配错误导致失分。
【难度系数】
0.75
本题考查利用三边关系判定三角形相似，解题思路如下：首先明确相似三角形的三边判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。由于每个选项都给出了两个三角形的三边长度，因此我们只需先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，再计算对应边的比值，若三组比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。排序是为了避免对应边匹配错误，是解题的关键步骤。
【解析】
根据“三组对应边成比例的两个三角形相似”，逐一分析选项：
选项A：将△ABC三边从小到大排序：$BC=2\ \mathrm{cm}$，$AB=2.5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=4\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=6\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{BC}{A_1B_1}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{B_1C_1}=\frac{2.5}{4}=\frac{5}{8}$，$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，三组比值不相等，两三角形不相似，A错误。
选项B：将△ABC三边从小到大排序：$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1B_1=3\ \mathrm{cm}$，$A_1C_1=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=6\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{A_1C_1}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{B_1C_1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，三组比值相等，两三角形相似，B正确。
选项C：△ABC三边为$BC=AC=8\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$；△A₁B₁C₁三边为$B_1C_1=A_1C_1=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{10}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$，比值不相等，两三角形不相似，C错误。
选项D：将△ABC三边从小到大排序：$AB=1\ \mathrm{cm}$，$BC=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$；将△A₁B₁C₁三边从小到大排序：$A_1C_1=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$A_1B_1=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。计算对应边比值：$\frac{AB}{A_1C_1}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$，比值不相等，两三角形不相似，D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；比例的化简计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是掌握三边成比例判定相似的定理，解题时要注意先将两个三角形的边按大小排序，再匹配对应边计算比值，避免因对应边匹配错误导致失分。
【难度系数】
0.75
2. 下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是(). A. 
C. D. (第2题)
C. D. (第2题)答案
$\boxed{B}$
解析
【分析】
要判断与已知三角形相似的图形，我们可以采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算出原三角形的三边长，得到三边的长度比；再依次计算四个选项中三角形的三边长，得到各自的三边比，和原三角形三边比一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算原三角形的三边长：
最短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
中长边：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
最长边：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
因此原三角形三边长度比为 $\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 分别计算各选项三角形的三边比：
选项A：三边长分别为$2,\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:\sqrt{10}:\sqrt{13}$，和原三角形比值不同，不相似。
选项B：三边长分别为$2,4,\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，和原三角形比值完全相同，三边对应成比例，两三角形相似。
选项C：三边长分别为$2,3,\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:3:\sqrt{13}$，和原三角形比值不同，不相似。
选项D：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},4$，比值为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:4$，和原三角形比值不同，不相似。
综上，只有选项B的三角形和原三角形相似。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，通过网格背景结合勾股定理计算边长，再利用三边成比例判定相似，考查了学生的计算能力和对相似判定定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断与已知三角形相似的图形，我们可以采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算出原三角形的三边长，得到三边的长度比；再依次计算四个选项中三角形的三边长，得到各自的三边比，和原三角形三边比一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算原三角形的三边长：
最短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
中长边：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
最长边：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
因此原三角形三边长度比为 $\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 分别计算各选项三角形的三边比：
选项A：三边长分别为$2,\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:\sqrt{10}:\sqrt{13}$，和原三角形比值不同，不相似。
选项B：三边长分别为$2,4,\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，和原三角形比值完全相同，三边对应成比例，两三角形相似。
选项C：三边长分别为$2,3,\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:3:\sqrt{13}$，和原三角形比值不同，不相似。
选项D：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},4$，比值为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:4$，和原三角形比值不同，不相似。
综上，只有选项B的三角形和原三角形相似。
【答案】
$\boxed{B}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，通过网格背景结合勾股定理计算边长，再利用三边成比例判定相似，考查了学生的计算能力和对相似判定定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点.为使$△ ABC ∽ △ PQR$，则点R应取甲、乙、丙、丁四点中的().
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C
解析
【分析】要使$△ ABC ∽ △ PQR$，可结合相似三角形三边成比例的判定思路解题：首先设每个小方格边长为1，先通过勾股定理计算$△ ABC$的各边长，明确$△ ABC$是等腰三角形；再计算$PQ$的长度，得到两个三角形的相似比；最后根据相似三角形的性质，$△ PQR$也为等腰三角形，$R$需在$PQ$的垂直平分线上，结合相似比算出$R$到$PQ$的距离，即可匹配到对应的点。
【解析】设每个小方格的边长为1：
1. 计算$△ ABC$的边长：$AB$水平方向占2格，故$AB=2$；由勾股定理得$AC=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，可知$△ ABC$为等腰三角形，三边比为$AB:AC:BC=2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算$PQ$的长度：$P$、$Q$在同一竖列，纵向占4格，故$PQ=4$。
3. 由$△ ABC ∽ △ PQR$，可得相似比$k=\frac{PQ}{AB}=\frac{4}{2}=2$，因此$△ PQR$也为等腰三角形，对应腰长$PR=QR=k· AC=2\sqrt{10}$，且$R$在$PQ$的垂直平分线上（即甲、乙、丙、丁所在的水平线）。
4. 设$R$到$PQ$的水平距离为$d$，结合勾股定理：$PR^2=d^2+(\frac{PQ}{2})^2$，代入$PR=2\sqrt{10}$、$\frac{PQ}{2}=2$，得$(2\sqrt{10})^2=d^2+2^2$，解得$d=6$（$R$在$PQ$右侧，舍去负值）。
5. 观察四个点，到$PQ$水平距离为6的是丙点，故点$R$为丙。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】本题结合格点背景考查相似三角形的应用，解题核心是先确定已知三角形的边长特征和两个三角形的相似比，再结合等腰三角形的对称性快速定位符合条件的点，能有效考查学生的图形分析和计算能力。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小方格的边长为1：
1. 计算$△ ABC$的边长：$AB$水平方向占2格，故$AB=2$；由勾股定理得$AC=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，可知$△ ABC$为等腰三角形，三边比为$AB:AC:BC=2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算$PQ$的长度：$P$、$Q$在同一竖列，纵向占4格，故$PQ=4$。
3. 由$△ ABC ∽ △ PQR$，可得相似比$k=\frac{PQ}{AB}=\frac{4}{2}=2$，因此$△ PQR$也为等腰三角形，对应腰长$PR=QR=k· AC=2\sqrt{10}$，且$R$在$PQ$的垂直平分线上（即甲、乙、丙、丁所在的水平线）。
4. 设$R$到$PQ$的水平距离为$d$，结合勾股定理：$PR^2=d^2+(\frac{PQ}{2})^2$，代入$PR=2\sqrt{10}$、$\frac{PQ}{2}=2$，得$(2\sqrt{10})^2=d^2+2^2$，解得$d=6$（$R$在$PQ$右侧，舍去负值）。
5. 观察四个点，到$PQ$水平距离为6的是丙点，故点$R$为丙。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】本题结合格点背景考查相似三角形的应用，解题核心是先确定已知三角形的边长特征和两个三角形的相似比，再结合等腰三角形的对称性快速定位符合条件的点，能有效考查学生的图形分析和计算能力。
【难度系数】0.7
4. 在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，在$△ DEF$中，$DE=4$，$DF=3$.要使$△ ABC$与$△ DEF$相似，则需添加的条件是.(写一种情况即可)
答案
$\boldsymbol{∠ A=∠ D}$（答案不唯一，也可填写$BC=2EF$等符合要求的条件）
解析
【分析】
首先观察两个三角形的已知边长，先计算已知边的比值，可得$AB:DE=AC:DF=2:1$，即两组对应边成比例。结合相似三角形的判定定理，要使两三角形相似，要么添加这两组对应边的夹角相等，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定；要么添加第三组对应边的比值也为$2:1$，满足“三组对应边成比例的两个三角形相似”的判定，任选一种条件即可。
【解析】
解：已知在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$；在$△ DEF$中，$DE=4$，$DF=3$。
先计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{8}{4}=2$，$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$。
① 根据相似三角形SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若添加条件$∠ A=∠ D$，此时两组对应边成比例且夹角相等，可判定$△ ABC ∽ △ DEF$。
② 也可根据相似三角形SSS判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似，添加条件$BC=2EF$，也可判定两三角形相似。
任选一种条件作答即可。
【答案】
$\boldsymbol{∠ A=∠ D}$（答案不唯一，也可填写$BC=2EF$等符合要求的条件）
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.比例的计算
【点评】
本题为开放性试题，核心考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时先梳理已知边的比例关系，再结合判定规则补充合适条件即可，注意不要混淆对应边、对应角的关系。
【难度系数】
0.8
首先观察两个三角形的已知边长，先计算已知边的比值，可得$AB:DE=AC:DF=2:1$，即两组对应边成比例。结合相似三角形的判定定理，要使两三角形相似，要么添加这两组对应边的夹角相等，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定；要么添加第三组对应边的比值也为$2:1$，满足“三组对应边成比例的两个三角形相似”的判定，任选一种条件即可。
【解析】
解：已知在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$；在$△ DEF$中，$DE=4$，$DF=3$。
先计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{8}{4}=2$，$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$。
① 根据相似三角形SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若添加条件$∠ A=∠ D$，此时两组对应边成比例且夹角相等，可判定$△ ABC ∽ △ DEF$。
② 也可根据相似三角形SSS判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似，添加条件$BC=2EF$，也可判定两三角形相似。
任选一种条件作答即可。
【答案】
$\boldsymbol{∠ A=∠ D}$（答案不唯一，也可填写$BC=2EF$等符合要求的条件）
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.比例的计算
【点评】
本题为开放性试题，核心考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时先梳理已知边的比例关系，再结合判定规则补充合适条件即可，注意不要混淆对应边、对应角的关系。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在正方形网格上有6个斜三角形: ① $△ ABC$;
② $△ CDB$; ③ $△ DEB$; ④ $△ FBG$; ⑤ $△ HGF$;
⑥ $△ EKF$. 在②~⑥中,与①相似的是.(填
序号)
② $△ CDB$; ③ $△ DEB$; ④ $△ FBG$; ⑤ $△ HGF$;
⑥ $△ EKF$. 在②~⑥中,与①相似的是.(填
序号)
答案
解：设每个小正方形的边长为1，
计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
则△ABC的三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算②~⑥中各三角形的三边长：
②$△ CDB$：$CD=1$，$BC=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似；
③$△ DEB$：$DE=2$，$BD=2\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
④$△ FBG$：$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$FG=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BG=5$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑤$△ HGF$：$HG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$HF=2$，$FG=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑥$△ EKF$：$EK=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$KF=3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
综上，与①相似的是$\boldsymbol{③④⑤}$。
计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
则△ABC的三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算②~⑥中各三角形的三边长：
②$△ CDB$：$CD=1$，$BC=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似；
③$△ DEB$：$DE=2$，$BD=2\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
④$△ FBG$：$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$FG=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BG=5$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑤$△ HGF$：$HG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$HF=2$，$FG=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑥$△ EKF$：$EK=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$KF=3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
综上，与①相似的是$\boldsymbol{③④⑤}$。
解析
【分析】
要判断②~⑥的三角形是否与①相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小正方形的边长为1，通过勾股定理先计算出△ABC的三边长，得到其三边的比值；再依次计算其余5个三角形的三边长，化简得到各三角形的三边比值，将比值与△ABC的三边比值对比，比值相同的三角形就与①相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
先计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
则△ABC的三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算②~⑥中各三角形的三边长：
②$△ CDB$：$CD=1$，$BC=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似；
③$△ DEB$：$DE=2$，$BD=2\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
④$△ FBG$：$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$FG=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BG=5$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑤$△ HGF$：$HG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$HF=2$，$FG=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑥$△ EKF$：$EK=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$KF=3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
综上，与①相似的是③④⑤。
【答案】
$\boldsymbol{③④⑤}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的SSS判定
【点评】
本题是网格类相似判定的典型题型，解题关键是利用勾股定理准确计算各三角形的边长，通过对比三边比值判断相似，计算过程中需注意边长的对应关系，避免化简比值时出错。
【难度系数】
0.7
要判断②~⑥的三角形是否与①相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小正方形的边长为1，通过勾股定理先计算出△ABC的三边长，得到其三边的比值；再依次计算其余5个三角形的三边长，化简得到各三角形的三边比值，将比值与△ABC的三边比值对比，比值相同的三角形就与①相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
先计算△ABC的三边长：
$AB=1$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
则△ABC的三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算②~⑥中各三角形的三边长：
②$△ CDB$：$CD=1$，$BC=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似；
③$△ DEB$：$DE=2$，$BD=2\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
④$△ FBG$：$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$FG=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BG=5$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:5=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑤$△ HGF$：$HG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$HF=2$，$FG=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，与①相似；
⑥$△ EKF$：$EK=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$KF=3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
综上，与①相似的是③④⑤。
【答案】
$\boldsymbol{③④⑤}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的SSS判定
【点评】
本题是网格类相似判定的典型题型，解题关键是利用勾股定理准确计算各三角形的边长，通过对比三边比值判断相似，计算过程中需注意边长的对应关系，避免化简比值时出错。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的一组三角形是。
答案
$△ PAB ∽ △ PCA$
解析
【分析】
要找出网格中相似的三角形，首先观察图形可知∠P是多个三角形的公共角，根据相似三角形的判定定理，若夹公共角的两组边对应成比例，则两个三角形相似。我们可以先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算夹∠P的各边长度，再验证边的比值是否相等，也可以计算三边长度验证三边是否对应成比例，从而判断相似关系。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算相关边长：
在△PAB中：
$PB = 1$，
$PA = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；
在△PCA中：
$PC = 5$，
$PA = \sqrt{5}$；
计算夹公共角∠P的两组边的比值：
$\frac{PB}{PA} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{PA}{PC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
因此$\frac{PB}{PA} = \frac{PA}{PC}$，又因为$∠ P = ∠ P$（公共角），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ PAB ∽ △ PCA$。
（也可通过计算三边比值验证：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{AC}$，根据三边成比例也可判定相似。）
【答案】
$△ PAB ∽ △ PCA$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的典型题，解题核心是利用勾股定理准确算出各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证即可，熟练掌握网格中边长计算方法和相似判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要找出网格中相似的三角形，首先观察图形可知∠P是多个三角形的公共角，根据相似三角形的判定定理，若夹公共角的两组边对应成比例，则两个三角形相似。我们可以先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算夹∠P的各边长度，再验证边的比值是否相等，也可以计算三边长度验证三边是否对应成比例，从而判断相似关系。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算相关边长：
在△PAB中：
$PB = 1$，
$PA = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；
在△PCA中：
$PC = 5$，
$PA = \sqrt{5}$；
计算夹公共角∠P的两组边的比值：
$\frac{PB}{PA} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{PA}{PC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
因此$\frac{PB}{PA} = \frac{PA}{PC}$，又因为$∠ P = ∠ P$（公共角），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ PAB ∽ △ PCA$。
（也可通过计算三边比值验证：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{AC}$，根据三边成比例也可判定相似。）
【答案】
$△ PAB ∽ △ PCA$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的典型题，解题核心是利用勾股定理准确算出各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证即可，熟练掌握网格中边长计算方法和相似判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
