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1. 如图，线段AB=CD，那么AC与BD的大小关系为 （
A.AC＜BD
B.AC＞BD
C.AC=BD
D.无法判断
C
）A.AC＜BD
B.AC＞BD
C.AC=BD
D.无法判断
答案
1. C.
解析
【分析】
要比较AC与BD的大小，首先观察两条线段的组成：AC由AB和BC两段拼接而成，BD由CD和BC两段拼接而成，其中BC是两条线段的公共部分，长度相等。结合题目给出的AB=CD的条件，相等的线段加上相同长度的公共线段，所得的总长度也相等，由此即可推出AC和BD的大小关系。
【解析】
根据线段的和差关系可得：
$AC = AB + BC$，
$BD = CD + BC$，
已知$AB=CD$，根据等式的基本性质，等式两边同时加上相等的量，等式仍然成立，因此：
$AB + BC = CD + BC$，
即$AC=BD$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算，等式的基本性质
【点评】
本题是线段大小比较的基础题型，解题关键是准确拆分待比较的线段，识别出公共段BC，结合已知相等条件即可快速推导结论，难度较低。
【难度系数】
0.9
要比较AC与BD的大小，首先观察两条线段的组成：AC由AB和BC两段拼接而成，BD由CD和BC两段拼接而成，其中BC是两条线段的公共部分，长度相等。结合题目给出的AB=CD的条件，相等的线段加上相同长度的公共线段，所得的总长度也相等，由此即可推出AC和BD的大小关系。
【解析】
根据线段的和差关系可得：
$AC = AB + BC$，
$BD = CD + BC$，
已知$AB=CD$，根据等式的基本性质，等式两边同时加上相等的量，等式仍然成立，因此：
$AB + BC = CD + BC$，
即$AC=BD$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算，等式的基本性质
【点评】
本题是线段大小比较的基础题型，解题关键是准确拆分待比较的线段，识别出公共段BC，结合已知相等条件即可快速推导结论，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 已知A,B,C为直线l上的三点,线段AB=10 cm,BC=1 cm,那么A,C两点间的距离是 （
A.8 cm
B.9 cm
C.11 cm
D.9 cm或11 cm
D
）A.8 cm
B.9 cm
C.11 cm
D.9 cm或11 cm
答案
2. D.
解析
【分析】
首先明确题目中A、B、C三点在同一直线上，题干未给出点C的具体位置，因此需要分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，再结合线段的和差关系分别计算A、C两点的距离即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB之间时，此时A、C的距离为AB与BC的差，代入AB=10cm，BC=1cm，可得$AC = AB - BC = 10 - 1 = 9\mathrm{cm}$；
2. 当点C在线段AB的延长线上（即点C在点B远离A的一侧）时，此时A、C的距离为AB与BC的和，代入数值可得$AC = AB + BC = 10 + 1 = 11\mathrm{cm}$。
综上，A、C两点间的距离是9cm或11cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差运算；两点间的距离；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置不确定性，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意结合直线的性质全面考虑点的位置关系。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中A、B、C三点在同一直线上，题干未给出点C的具体位置，因此需要分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，再结合线段的和差关系分别计算A、C两点的距离即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB之间时，此时A、C的距离为AB与BC的差，代入AB=10cm，BC=1cm，可得$AC = AB - BC = 10 - 1 = 9\mathrm{cm}$；
2. 当点C在线段AB的延长线上（即点C在点B远离A的一侧）时，此时A、C的距离为AB与BC的和，代入数值可得$AC = AB + BC = 10 + 1 = 11\mathrm{cm}$。
综上，A、C两点间的距离是9cm或11cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差运算；两点间的距离；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置不确定性，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意结合直线的性质全面考虑点的位置关系。
【难度系数】
0.7
3. 下列生活、生产现象中，可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （
① 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
② 植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③ 从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④ 把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
D
）① 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
② 植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③ 从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④ 把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案
3. D.
解析
【分析】
拿到本题首先需要明确两个易混的几何基本事实的区别：①“两点确定一条直线”的核心是确定直线的位置，多用于解释固定、对齐类的现象；②“两点之间，线段最短”的核心是连接两点的线中线段长度最短，多用于解释缩短距离、节省材料类的现象。接下来我们逐个分析四个现象对应的基本事实，筛选出符合题干要求的选项即可。
【解析】
我们对四个现象逐一分析：
① 用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线的原理，保证木条不会转动，不符合题意；
② 栽两棵树就能确定同一行树的直线，是利用两点确定一条直线的原理，保证树都在同一直线上，不符合题意；
③ 沿线段AB架设电线，是因为两点之间线段最短，能最大程度缩短电线长度、节省材料，符合题意；
④ 把弯曲的公路改直缩短路程，是因为两点之间线段最短，改直后路程为线段长度，比弯曲的路线更短，符合题意。
综上，符合“两点之间，线段最短”的是③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基本事实的生活化应用题，解题的关键是区分两个基本事实的适用场景，结合生活经验就能快速判断。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先需要明确两个易混的几何基本事实的区别：①“两点确定一条直线”的核心是确定直线的位置，多用于解释固定、对齐类的现象；②“两点之间，线段最短”的核心是连接两点的线中线段长度最短，多用于解释缩短距离、节省材料类的现象。接下来我们逐个分析四个现象对应的基本事实，筛选出符合题干要求的选项即可。
【解析】
我们对四个现象逐一分析：
① 用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线的原理，保证木条不会转动，不符合题意；
② 栽两棵树就能确定同一行树的直线，是利用两点确定一条直线的原理，保证树都在同一直线上，不符合题意；
③ 沿线段AB架设电线，是因为两点之间线段最短，能最大程度缩短电线长度、节省材料，符合题意；
④ 把弯曲的公路改直缩短路程，是因为两点之间线段最短，改直后路程为线段长度，比弯曲的路线更短，符合题意。
综上，符合“两点之间，线段最短”的是③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题是几何基本事实的生活化应用题，解题的关键是区分两个基本事实的适用场景，结合生活经验就能快速判断。
【难度系数】
0.8
4. 若C为线段AB的中点，则AC=
BC
=$\frac{1}{2}$
AB，AB=2
AC=2
BC.答案
4. BC; $\frac{1}{2}$; 2; 2.
解析
【分析】
本题考查线段中点的相关性质，解题时先回忆线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。结合定义可知，中点分出来的两条短线段长度相等，且均为原线段长度的一半，原线段长度是短线段的2倍，据此即可补全所有空缺。
【解析】
根据线段中点的定义，若C为线段AB的中点，则点C将AB分为两条长度相等的线段，因此$AC=BC$；
因为$AB=AC+BC$，且$AC=BC$，所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，对式子变形可得$AB=2AC=2BC$。
【答案】
BC；$\frac{1}{2}$；2；2
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对线段中点定义的理解与直接应用，熟练掌握该定义是解决线段长度计算类问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查线段中点的相关性质，解题时先回忆线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。结合定义可知，中点分出来的两条短线段长度相等，且均为原线段长度的一半，原线段长度是短线段的2倍，据此即可补全所有空缺。
【解析】
根据线段中点的定义，若C为线段AB的中点，则点C将AB分为两条长度相等的线段，因此$AC=BC$；
因为$AB=AC+BC$，且$AC=BC$，所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，对式子变形可得$AB=2AC=2BC$。
【答案】
BC；$\frac{1}{2}$；2；2
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对线段中点定义的理解与直接应用，熟练掌握该定义是解决线段长度计算类问题的基础。
【难度系数】
0.9
5. 延长线段MN到点P，使$NP=2MN$，则点N是线段MP的等分点，$MN=$$MP$，$MP=$$NP$。
答案
5. 三; $\frac{1}{3}$; $\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题时可先根据题意画出线段示意图，明确各线段的位置关系：线段MP由MN和NP两段组成。先利用已知的NP与MN的数量关系，求出MP与MN的总数量关系，再根据等分点的定义判断N是MP的几等分点，最后通过等量代换分别求出MN和MP、MP和NP的比例关系即可。
【解析】
解：根据题意，延长MN到点P，可得线段MP为MN与NP的和：
$\boldsymbol{MP = MN + NP}$
已知$NP=2MN$，代入上式计算得：
$MP = MN + 2MN = 3MN$
1. 由$MP=3MN$可知，线段MP被点N分为1份MN和2份NP，共3份长度相等的小段，因此点N是线段MP的三等分点。
2. 对$MP=3MN$两边同时除以3，变形可得：$MN=\frac{1}{3}MP$。
3. 由$NP=2MN$变形得$MN=\frac{1}{2}NP$，代入$MP=3MN$可得：
$MP=3×\frac{1}{2}NP=\frac{3}{2}NP$。
【答案】
三；$\frac{1}{3}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
线段的和差运算；线段等分点的定义
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，通过画图能更直观地梳理各线段之间的数量关系，掌握线段和差计算方法和等分点的概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时可先根据题意画出线段示意图，明确各线段的位置关系：线段MP由MN和NP两段组成。先利用已知的NP与MN的数量关系，求出MP与MN的总数量关系，再根据等分点的定义判断N是MP的几等分点，最后通过等量代换分别求出MN和MP、MP和NP的比例关系即可。
【解析】
解：根据题意，延长MN到点P，可得线段MP为MN与NP的和：
$\boldsymbol{MP = MN + NP}$
已知$NP=2MN$，代入上式计算得：
$MP = MN + 2MN = 3MN$
1. 由$MP=3MN$可知，线段MP被点N分为1份MN和2份NP，共3份长度相等的小段，因此点N是线段MP的三等分点。
2. 对$MP=3MN$两边同时除以3，变形可得：$MN=\frac{1}{3}MP$。
3. 由$NP=2MN$变形得$MN=\frac{1}{2}NP$，代入$MP=3MN$可得：
$MP=3×\frac{1}{2}NP=\frac{3}{2}NP$。
【答案】
三；$\frac{1}{3}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
线段的和差运算；线段等分点的定义
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，通过画图能更直观地梳理各线段之间的数量关系，掌握线段和差计算方法和等分点的概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
问题 如图，B,C两点把线段AD分成2:3:4的三部分，点E是线段AD的中点，EC=2 cm，求：
(1) AD的长；
(2) AB:BE.
名师指导
根据条件中AB:BC:CD=2:3:4这一特点，设AB=2x，注意到E是AD的中点，从而可将BC,CD,AD,AE都用含x的式子表示出来，再由AC,AE,EC
的关系建立方程，从而求解.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
(1) AD的长；
(2) AB:BE.
名师指导
根据条件中AB:BC:CD=2:3:4这一特点，设AB=2x，注意到E是AD的中点，从而可将BC,CD,AD,AE都用含x的式子表示出来，再由AC,AE,EC
的关系建立方程，从而求解.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，由$AB:BC:CD=2:3:4$，得$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
因此$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=4.5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$EC=ED-CD$，已知$EC=2\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4.5x - 4x = 2$
解得$x=4$。
所以$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点$E$是$AD$中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=18\ \mathrm{cm}$，
$AB=2x=8\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系得$BE=AE-AB=18-8=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=2:5$。
答：(1) $AD$的长为$36\ \mathrm{cm}$；(2) $AB:BE$的值为$2:5$。
(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，由$AB:BC:CD=2:3:4$，得$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
因此$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=4.5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$EC=ED-CD$，已知$EC=2\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4.5x - 4x = 2$
解得$x=4$。
所以$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点$E$是$AD$中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=18\ \mathrm{cm}$，
$AB=2x=8\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系得$BE=AE-AB=18-8=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=2:5$。
答：(1) $AD$的长为$36\ \mathrm{cm}$；(2) $AB:BE$的值为$2:5$。
解析
【分析】首先根据题目给出的AB:BC:CD=2:3:4的比例关系，设每份长度为x，将AB、BC、CD都用含x的代数式表示，进而得到AD的总长度表达式。再结合E是AD中点的性质，得到ED的长度表达式，根据EC=ED-CD的线段和差关系，结合已知EC=2cm建立方程，求解得到x的值后即可算出AD的长。第二问先算出AE、AB的长度，通过BE=AE-AB得到BE的长度，最后化简AB和BE的比即可。
【解析】
(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，由$AB:BC:CD=2:3:4$，得$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
因此$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=4.5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$EC=ED-CD$，已知$EC=2\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4.5x - 4x = 2$
解得$x=4$。
所以$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点$E$是$AD$中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=18\ \mathrm{cm}$，
$AB=2x=8\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系得$BE=AE-AB=18-8=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=2:5$。
【答案】(1) $36\ \mathrm{cm}$；(2) $2:5$
【知识点】线段的和差运算、线段中点的定义、比例线段应用
【点评】本题是线段运算的典型题型，核心解题方法是设参数法，将线段的比例关系转化为可计算的代数式，再结合线段中点的性质找等量关系列方程求解，熟练掌握该方法能快速解决同类线段比例计算问题。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，由$AB:BC:CD=2:3:4$，得$BC=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
因此$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$。
因为点$E$是线段$AD$的中点，
所以$ED=\frac{1}{2}AD=4.5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得$EC=ED-CD$，已知$EC=2\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4.5x - 4x = 2$
解得$x=4$。
所以$AD=9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点$E$是$AD$中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=18\ \mathrm{cm}$，
$AB=2x=8\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系得$BE=AE-AB=18-8=10\ \mathrm{cm}$，
因此$AB:BE=8:10=2:5$。
【答案】(1) $36\ \mathrm{cm}$；(2) $2:5$
【知识点】线段的和差运算、线段中点的定义、比例线段应用
【点评】本题是线段运算的典型题型，核心解题方法是设参数法，将线段的比例关系转化为可计算的代数式，再结合线段中点的性质找等量关系列方程求解，熟练掌握该方法能快速解决同类线段比例计算问题。
【难度系数】0.7
