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1.如图,有一块矩形空地ABCD,学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花,其余的四块三角形空地上铺设草坪,其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上,且AE=AF=CG=CH,已知AD=20 m,AB=40 m.有下列结论:
①铺设草坪的面积可以是360 m²;
②种花的面积的最大值为450 m²;
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为378 m².
其中,正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
①铺设草坪的面积可以是360 m²;
②种花的面积的最大值为450 m²;
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为378 m².
其中,正确结论的个数是(
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
首先设AE=AF=CG=CH=x m，先确定x的取值范围是0＜x＜20。先分别表示出四块三角形草坪的面积和，再得到种花区域的面积关于x的函数表达式，结合二次函数的性质逐一判断三个结论是否正确即可。
第一步先计算矩形ABCD的总面积，再分别计算两类直角三角形的面积和，得到草坪总面积的表达式，进而推出种花面积的二次函数表达式，再分别代入三个结论的条件求解，注意验证解是否在x的取值范围内。
【解析】
设AE=AF=CG=CH=x m，由题意得自变量取值范围为0＜x＜20。
矩形ABCD的面积为：$20×40=800\ \mathrm{m^2}$
四块草坪的总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{草}} &= S_{△ AEF} + S_{△ CGH} + S_{△ BFG} + S_{△ DEH} \\&= 2×\frac{1}{2}x^2 + 2×\frac{1}{2}(40-x)(20-x) \\&= x^2 + (40-x)(20-x) \\&= 2x^2 -60x +800\end{aligned}$
则种花的面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{种}} &= 800 - S_{\mathrm{草}} \\&= 800-(2x^2 -60x +800) \\&= -2x^2 +60x \quad (0＜x＜20)\end{aligned}$
逐一判断结论：
① 若$S_{\mathrm{草}}=360\ \mathrm{m^2}$，则$2x^2 -60x +800=360$，整理得$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x=15\pm\sqrt{5}$。其中$15+\sqrt{5}\approx17.24＜20$，$15-\sqrt{5}\approx12.76＞0$，均符合取值范围，故①正确；
② $S_{\mathrm{种}}=-2x^2+60x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=\frac{60}{2×2}=15$，在$0＜x＜20$范围内，当$x=15$时，$S_{\mathrm{种}}$取最大值：$-2×15^2+60×15=450\ \mathrm{m^2}$，故②正确；
③ 若$S_{\mathrm{种}}=378\ \mathrm{m^2}$，则$-2x^2+60x=378$，整理得$x^2-30x+189=0$，解得$x_1=9$，$x_2=21$，其中$x_2=21＞20$不符合取值范围，仅1个值满足条件，故③错误。
综上，①②正确，共2个正确结论。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的实际应用，解题关键是正确设未知数表示各部分面积，结合二次函数和一元二次方程的性质判断结论，解题时需注意不要忽略自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
首先设AE=AF=CG=CH=x m，先确定x的取值范围是0＜x＜20。先分别表示出四块三角形草坪的面积和，再得到种花区域的面积关于x的函数表达式，结合二次函数的性质逐一判断三个结论是否正确即可。
第一步先计算矩形ABCD的总面积，再分别计算两类直角三角形的面积和，得到草坪总面积的表达式，进而推出种花面积的二次函数表达式，再分别代入三个结论的条件求解，注意验证解是否在x的取值范围内。
【解析】
设AE=AF=CG=CH=x m，由题意得自变量取值范围为0＜x＜20。
矩形ABCD的面积为：$20×40=800\ \mathrm{m^2}$
四块草坪的总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{草}} &= S_{△ AEF} + S_{△ CGH} + S_{△ BFG} + S_{△ DEH} \\&= 2×\frac{1}{2}x^2 + 2×\frac{1}{2}(40-x)(20-x) \\&= x^2 + (40-x)(20-x) \\&= 2x^2 -60x +800\end{aligned}$
则种花的面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{种}} &= 800 - S_{\mathrm{草}} \\&= 800-(2x^2 -60x +800) \\&= -2x^2 +60x \quad (0＜x＜20)\end{aligned}$
逐一判断结论：
① 若$S_{\mathrm{草}}=360\ \mathrm{m^2}$，则$2x^2 -60x +800=360$，整理得$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x=15\pm\sqrt{5}$。其中$15+\sqrt{5}\approx17.24＜20$，$15-\sqrt{5}\approx12.76＞0$，均符合取值范围，故①正确；
② $S_{\mathrm{种}}=-2x^2+60x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=\frac{60}{2×2}=15$，在$0＜x＜20$范围内，当$x=15$时，$S_{\mathrm{种}}$取最大值：$-2×15^2+60×15=450\ \mathrm{m^2}$，故②正确；
③ 若$S_{\mathrm{种}}=378\ \mathrm{m^2}$，则$-2x^2+60x=378$，整理得$x^2-30x+189=0$，解得$x_1=9$，$x_2=21$，其中$x_2=21＞20$不符合取值范围，仅1个值满足条件，故③错误。
综上，①②正确，共2个正确结论。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的实际应用，解题关键是正确设未知数表示各部分面积，结合二次函数和一元二次方程的性质判断结论，解题时需注意不要忽略自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
2.从地面竖直向上射出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是20 m;
②小球运动的时间为6 s;
③小球射出3 s时,其高度达到最高;
④当t=1.5 s时,小球的高度h=15 m.
其中正确的是(
A.②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
①小球在空中经过的路程是20 m;
②小球运动的时间为6 s;
③小球射出3 s时,其高度达到最高;
④当t=1.5 s时,小球的高度h=15 m.
其中正确的是(
C
).A.②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数在抛体运动中的实际应用，解题思路如下：1. 先从函数图像提取关键信息：抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点坐标为(3,20)；2. 利用顶点式设出二次函数解析式，代入已知点求出完整解析式；3. 结合解析式和图像信息逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
设高度$ h $关于时间$ t $的二次函数解析式为顶点式：$ h = a(t-3)^2 + 20 $（由顶点坐标为(3,20)可设）。
将点(0,0)代入解析式得：
$ 0 = a(0-3)^2 + 20 $，即$ 9a + 20 = 0 $，解得$ a = -\frac{20}{9} $。
因此函数解析式为：$ h = -\frac{20}{9}(t-3)^2 + 20 $。
逐一判断结论：
① 小球上升的最大高度为20m，下落回到地面还会经过20m，总路程为$ 20+20=40m $，故①错误；
② 由图像可知，当$ t=6s $时$ h=0 $，说明小球落回地面，因此小球运动总时间为6s，故②正确；
③ 抛物线顶点坐标为(3,20)，即$ t=3s $时$ h $取得最大值20m，此时小球高度最高，故③正确；
④ 将$ t=1.5s $代入解析式：
$ h = -\frac{20}{9}(1.5-3)^2 + 20 = -\frac{20}{9}× 2.25 + 20 = -5 + 20 = 15m $，故④正确。
综上，②③④正确，应选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数相关知识，需要学生具备从图像提取关键信息、求解二次函数解析式、利用解析式代值计算的能力，解题核心是准确获取抛物线的顶点、与坐标轴交点等关键信息。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在抛体运动中的实际应用，解题思路如下：1. 先从函数图像提取关键信息：抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点坐标为(3,20)；2. 利用顶点式设出二次函数解析式，代入已知点求出完整解析式；3. 结合解析式和图像信息逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
设高度$ h $关于时间$ t $的二次函数解析式为顶点式：$ h = a(t-3)^2 + 20 $（由顶点坐标为(3,20)可设）。
将点(0,0)代入解析式得：
$ 0 = a(0-3)^2 + 20 $，即$ 9a + 20 = 0 $，解得$ a = -\frac{20}{9} $。
因此函数解析式为：$ h = -\frac{20}{9}(t-3)^2 + 20 $。
逐一判断结论：
① 小球上升的最大高度为20m，下落回到地面还会经过20m，总路程为$ 20+20=40m $，故①错误；
② 由图像可知，当$ t=6s $时$ h=0 $，说明小球落回地面，因此小球运动总时间为6s，故②正确；
③ 抛物线顶点坐标为(3,20)，即$ t=3s $时$ h $取得最大值20m，此时小球高度最高，故③正确；
④ 将$ t=1.5s $代入解析式：
$ h = -\frac{20}{9}(1.5-3)^2 + 20 = -\frac{20}{9}× 2.25 + 20 = -5 + 20 = 15m $，故④正确。
综上，②③④正确，应选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数相关知识，需要学生具备从图像提取关键信息、求解二次函数解析式、利用解析式代值计算的能力，解题核心是准确获取抛物线的顶点、与坐标轴交点等关键信息。
【难度系数】
0.7
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为$x$轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线$y=-x^2+4x$（单位：m）的一部分，则水喷出的最远水平距离是
4
m.答案
3.4
解析
【分析】
要求水喷出的最远水平距离，本质是求水落回地面时对应的水平横坐标的值。由于水平地面对应y=0，因此只需将y=0代入抛物线解析式，求解一元二次方程，舍去代表出水原点的x=0的解，剩余的正解即为所求的最远水平距离。
【解析】
当水落回地面时，竖直高度y=0，将y=0代入抛物线解析式$y=-x^2+4x$，可得：
$-x^2+4x=0$
对左侧因式分解得：
$x(-x+4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=4$
其中$x=0$对应水喷出的原点位置，因此水喷出的最远水平距离为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数实际应用、抛物线与x轴交点、解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将实际问题中“落回地面”的条件转化为函数值y=0的数学条件，进而转化为解一元二次方程的问题，整体逻辑清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要求水喷出的最远水平距离，本质是求水落回地面时对应的水平横坐标的值。由于水平地面对应y=0，因此只需将y=0代入抛物线解析式，求解一元二次方程，舍去代表出水原点的x=0的解，剩余的正解即为所求的最远水平距离。
【解析】
当水落回地面时，竖直高度y=0，将y=0代入抛物线解析式$y=-x^2+4x$，可得：
$-x^2+4x=0$
对左侧因式分解得：
$x(-x+4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=4$
其中$x=0$对应水喷出的原点位置，因此水喷出的最远水平距离为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数实际应用、抛物线与x轴交点、解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将实际问题中“落回地面”的条件转化为函数值y=0的数学条件，进而转化为解一元二次方程的问题，整体逻辑清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
4.小宇想在边长为10 cm的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片EFGH的面积最小，则AE的长为
$5\ \mathrm{cm}$
。答案
4.$5\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
首先设AE的长度为x cm，结合四个直角三角形全等的性质，用含x的式子表示出AH的长度，再利用勾股定理表示出中间正方形EFGH的面积关于x的二次函数关系式，最后根据二次函数的最值性质，求出面积最小时对应的x的值即可。
【解析】
设AE的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜10 $）。
∵四个剪出的直角三角形全等，
∴$ AE=BF=CG=DH=x\ \mathrm{cm} $，则$ AH=AD-DH=(10-x)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，由勾股定理得：
$ EH^2=AE^2+AH^2=x^2+(10-x)^2 $
正方形EFGH的面积$ S=EH^2 $，因此：
$ S=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100 $
该二次函数开口向上，对称轴为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-20}{2×2}=5 $，
∴当$ x=5 $时，S取得最小值，即正方形EFGH的面积最小。
【答案】
$ 5\ \mathrm{cm} $
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；全等三角形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质与二次函数知识考查最值问题，解题的核心是通过设未知数建立面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
首先设AE的长度为x cm，结合四个直角三角形全等的性质，用含x的式子表示出AH的长度，再利用勾股定理表示出中间正方形EFGH的面积关于x的二次函数关系式，最后根据二次函数的最值性质，求出面积最小时对应的x的值即可。
【解析】
设AE的长为$ x\ \mathrm{cm} $（$ 0＜x＜10 $）。
∵四个剪出的直角三角形全等，
∴$ AE=BF=CG=DH=x\ \mathrm{cm} $，则$ AH=AD-DH=(10-x)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，由勾股定理得：
$ EH^2=AE^2+AH^2=x^2+(10-x)^2 $
正方形EFGH的面积$ S=EH^2 $，因此：
$ S=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100 $
该二次函数开口向上，对称轴为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-20}{2×2}=5 $，
∴当$ x=5 $时，S取得最小值，即正方形EFGH的面积最小。
【答案】
$ 5\ \mathrm{cm} $
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；全等三角形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质与二次函数知识考查最值问题，解题的核心是通过设未知数建立面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
5.某小区有一个半径为3 m的圆形喷水池，B为喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心B为1 m处达到最大高度为3 m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物A处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心B为原点建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)求水柱所在抛物线对应的函数解析式；
(2)求喷水池中心的装饰物的高；
(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2 m处，通过计算说明身高1.8 m的王师傅是否被淋湿？
(1)求水柱所在抛物线对应的函数解析式；
(2)求喷水池中心的装饰物的高；
(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2 m处，通过计算说明身高1.8 m的王师傅是否被淋湿？
答案
5.【解】(1)由题意,得抛物线的顶点坐标为(1,3).
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将点C(3,0)代入,得$4a+3=0$. 解得$a=-\frac{3}{4}$.
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，
即$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$.
(2)把$x=0$代入$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，
得$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=\frac{9}{4}$.
$\therefore$喷水池中心的装饰物的高为$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$.
(3)当$x=2$时,$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=-\frac{3}{4}(2-1)^2+3=\frac{9}{4}＞1.8$，
$\therefore$身高1.8 m的王师傅不会被淋湿.
设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将点C(3,0)代入,得$4a+3=0$. 解得$a=-\frac{3}{4}$.
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，
即$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$.
(2)把$x=0$代入$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，
得$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=\frac{9}{4}$.
$\therefore$喷水池中心的装饰物的高为$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$.
(3)当$x=2$时,$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3=-\frac{3}{4}(2-1)^2+3=\frac{9}{4}＞1.8$，
$\therefore$身高1.8 m的王师傅不会被淋湿.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标为(1,3)，因此优先选用顶点式设解析式，再结合抛物线过点C(3,0)，将点代入即可求出未知系数，得到解析式；
(2) 喷水池中心对应x=0的位置，装饰物的高就是x=0时的函数值，将x=0代入解析式计算即可；
(3) 判断王师傅是否被淋湿，需要求出水平距离池中心2m处（即x=2）的水柱高度，将x=2代入解析式得到对应y值，和王师傅身高1.8m比较大小，若y＞1.8则不会被淋湿，反之则会。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将点$C(3,0)$代入解析式，得：
$a(3-1)^2+3=0$，即$4a+3=0$，
解得$a=-\frac{3}{4}$，
$\therefore$水柱所在抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，整理为一般式为$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$；
(2) 喷水池中心对应横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，得：
$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=\frac{9}{4}$，
即喷水池中心装饰物的高为$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$；
(3) 当$x=2$时，代入解析式得：
$y=-\frac{3}{4}(2-1)^2+3=\frac{9}{4}=2.25$，
$\because 2.25＞1.8$，
$\therefore$身高1.8m的王师傅不会被淋湿。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$（或$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$）；
(2) $\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$；
(3) 不会被淋湿。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，选择合适的形式求解函数解析式，再通过代入求值解决实际问题，注重对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点坐标为(1,3)，因此优先选用顶点式设解析式，再结合抛物线过点C(3,0)，将点代入即可求出未知系数，得到解析式；
(2) 喷水池中心对应x=0的位置，装饰物的高就是x=0时的函数值，将x=0代入解析式计算即可；
(3) 判断王师傅是否被淋湿，需要求出水平距离池中心2m处（即x=2）的水柱高度，将x=2代入解析式得到对应y值，和王师傅身高1.8m比较大小，若y＞1.8则不会被淋湿，反之则会。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将点$C(3,0)$代入解析式，得：
$a(3-1)^2+3=0$，即$4a+3=0$，
解得$a=-\frac{3}{4}$，
$\therefore$水柱所在抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，整理为一般式为$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$；
(2) 喷水池中心对应横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$，得：
$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=\frac{9}{4}$，
即喷水池中心装饰物的高为$\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$；
(3) 当$x=2$时，代入解析式得：
$y=-\frac{3}{4}(2-1)^2+3=\frac{9}{4}=2.25$，
$\because 2.25＞1.8$，
$\therefore$身高1.8m的王师傅不会被淋湿。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$（或$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}$）；
(2) $\frac{9}{4}\ \mathrm{m}$；
(3) 不会被淋湿。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，选择合适的形式求解函数解析式，再通过代入求值解决实际问题，注重对二次函数基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
