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8.一块三角形材料的形状如图所示，$AC=BC=20\ \mathrm{cm}$，$∠ C=90°$.用这块材料剪出一个矩形$CDEF$，其中点$D$，$E$，$F$分别在$BC$，$AB$，$AC$上，则可剪出矩形$CDEF$的最大面积为
$100\ \mathrm{cm^2}$
.答案
8.$100\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
首先明确△ABC是等腰直角三角形，矩形CDEF的边EF平行于BC，因此△AFE也为等腰直角三角形。我们可以设矩形的一边长为自变量，结合等腰直角三角形的性质表示出矩形的另一边长，进而将矩形面积表示为关于自变量的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设$CF=x\ \mathrm{cm}$，则$AF=AC-CF=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ C=90°$，$AC=BC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ A=∠ B=45°$。
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形，$\therefore EF// BC$，$\therefore ∠ AEF=∠ B=45°$，
$\therefore △ AFE$是等腰直角三角形，$\therefore EF=AF=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
设矩形$CDEF$的面积为$S$，则：
$S=CF· EF=x(20-x)=-x^2+20x$
$\because$ 二次函数中$a=-1＜0$，$\therefore S$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-1)}=10$时，$S$的最大值为$-10^2+20×10=100\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$100\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
二次函数的实际应用；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于几何与代数结合的常规应用题，解题核心是通过设未知数将几何图形的面积问题转化为二次函数的最值问题，既考查了常见几何图形的性质，也考查了二次函数最值的求解方法，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先明确△ABC是等腰直角三角形，矩形CDEF的边EF平行于BC，因此△AFE也为等腰直角三角形。我们可以设矩形的一边长为自变量，结合等腰直角三角形的性质表示出矩形的另一边长，进而将矩形面积表示为关于自变量的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
设$CF=x\ \mathrm{cm}$，则$AF=AC-CF=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ C=90°$，$AC=BC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ A=∠ B=45°$。
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形，$\therefore EF// BC$，$\therefore ∠ AEF=∠ B=45°$，
$\therefore △ AFE$是等腰直角三角形，$\therefore EF=AF=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
设矩形$CDEF$的面积为$S$，则：
$S=CF· EF=x(20-x)=-x^2+20x$
$\because$ 二次函数中$a=-1＜0$，$\therefore S$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-1)}=10$时，$S$的最大值为$-10^2+20×10=100\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$100\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
二次函数的实际应用；等腰直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于几何与代数结合的常规应用题，解题核心是通过设未知数将几何图形的面积问题转化为二次函数的最值问题，既考查了常见几何图形的性质，也考查了二次函数最值的求解方法，难度适中。
【难度系数】
0.7
9.在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线.如图，已知实心球出手时的高度OA为1.6 m，当飞行到与点O的水平距离为3 m时达到最大高度2.5 m，则小颖这次实心球训练的成绩为
8
m(即OB的长度).答案
9.8
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，结合题目给出的平面直角坐标系，可得到抛物线上的两个关键信息：抛物线的顶点坐标为$(3,2.5)$，且抛物线经过点$A(0,1.6)$。解题思路如下：第一步，选择顶点式设二次函数解析式，简化计算过程；第二步，将点$A$的坐标代入解析式求出未知系数$a$，确定抛物线的完整解析式；第三步，实心球落地时高度$y=0$，令解析式中$y=0$，求解得到的$x$的正数值就是$OB$的长度，即投掷成绩。
【解析】
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(3,2.5)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-3)^2+2.5\ (a≠0)$
已知抛物线过点$A(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入解析式得：
$1.6=a×(0-3)^2+2.5$
$1.6=9a+2.5$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为：$y=-0.1(x-3)^2+2.5$
实心球落地时高度为0，令$y=0$，则：
$0=-0.1(x-3)^2+2.5$
整理得$(x-3)^2=25$
开平方得$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（水平距离为正，舍去负值）
因此$OB$的长度为8m。
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际生活的典型题型，解题核心是利用已知的顶点坐标选择更简便的解析式形式，再结合函数值为0的实际意义求解对应自变量，注意解题时要舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，结合题目给出的平面直角坐标系，可得到抛物线上的两个关键信息：抛物线的顶点坐标为$(3,2.5)$，且抛物线经过点$A(0,1.6)$。解题思路如下：第一步，选择顶点式设二次函数解析式，简化计算过程；第二步，将点$A$的坐标代入解析式求出未知系数$a$，确定抛物线的完整解析式；第三步，实心球落地时高度$y=0$，令解析式中$y=0$，求解得到的$x$的正数值就是$OB$的长度，即投掷成绩。
【解析】
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(3,2.5)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-3)^2+2.5\ (a≠0)$
已知抛物线过点$A(0,1.6)$，将$x=0$，$y=1.6$代入解析式得：
$1.6=a×(0-3)^2+2.5$
$1.6=9a+2.5$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为：$y=-0.1(x-3)^2+2.5$
实心球落地时高度为0，令$y=0$，则：
$0=-0.1(x-3)^2+2.5$
整理得$(x-3)^2=25$
开平方得$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$（水平距离为正，舍去负值）
因此$OB$的长度为8m。
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际生活的典型题型，解题核心是利用已知的顶点坐标选择更简便的解析式形式，再结合函数值为0的实际意义求解对应自变量，注意解题时要舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
10.某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1 m的喷水管，喷水最高点A离地面3 m，此时点A离喷水口的水平距离为$\frac{1}{2}$ m. 在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数解析式为
$y=-8x^2+8x+1$
（不要求写出自变量x的取值范围）。答案
10.$y=-8x^2+8x+1$
解析
【分析】
要确定喷泉对应的二次函数解析式，首先观察图象可知抛物线的顶点坐标为$(\frac{1}{2},3)$，同时抛物线过点$(0,1)$。已知顶点坐标时，选择二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）求解最简便，先代入顶点坐标得到含参数$a$的解析式，再代入已知点的坐标求出$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
由题意和图象可得，抛物线的顶点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},3)$，设二次函数的解析式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2+3$（$a≠0$）。
$\because$ 抛物线经过点$(0,1)$，将$x=0,y=1$代入解析式得：
$1=a(0-\frac{1}{2})^2+3$
解得：$\frac{1}{4}a=1-3=-2$，即$a=-8$。
将$a=-8$代入顶点式展开整理：
$y=-8(x-\frac{1}{2})^2+3=-8(x^2-x+\frac{1}{4})+3=-8x^2+8x-2+3=-8x^2+8x+1$
【答案】
$y=-8x^2+8x+1$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题核心是从题干和图象中提取有效坐标信息，选择合适的解析式形式简化计算，属于二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要确定喷泉对应的二次函数解析式，首先观察图象可知抛物线的顶点坐标为$(\frac{1}{2},3)$，同时抛物线过点$(0,1)$。已知顶点坐标时，选择二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）求解最简便，先代入顶点坐标得到含参数$a$的解析式，再代入已知点的坐标求出$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
由题意和图象可得，抛物线的顶点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},3)$，设二次函数的解析式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2+3$（$a≠0$）。
$\because$ 抛物线经过点$(0,1)$，将$x=0,y=1$代入解析式得：
$1=a(0-\frac{1}{2})^2+3$
解得：$\frac{1}{4}a=1-3=-2$，即$a=-8$。
将$a=-8$代入顶点式展开整理：
$y=-8(x-\frac{1}{2})^2+3=-8(x^2-x+\frac{1}{4})+3=-8x^2+8x-2+3=-8x^2+8x+1$
【答案】
$y=-8x^2+8x+1$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题核心是从题干和图象中提取有效坐标信息，选择合适的解析式形式简化计算，属于二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
0 | $\frac{1}{2}$ x/m
11.如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的羊羔饲养室，若饲养室的一面靠9 m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24 m长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？
11.如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的羊羔饲养室，若饲养室的一面靠9 m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24 m长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？
答案
11.【解】设羊羔饲养室与墙平行的一边的长为 x m,则与墙垂直的一边的长为$\frac{1}{3}(24-x)$m.
根据题意,得羊羔饲养室的面积为$y=x· \frac{1}{3}(24-x)(0＜x≤ 9)$,
即$y=-\frac{1}{3}(x-12)^2+48$.
$\therefore$当$x=9$时,羊羔饲养室面积最大为$45\ \mathrm{m^2}$.
根据题意,得羊羔饲养室的面积为$y=x· \frac{1}{3}(24-x)(0＜x≤ 9)$,
即$y=-\frac{1}{3}(x-12)^2+48$.
$\therefore$当$x=9$时,羊羔饲养室面积最大为$45\ \mathrm{m^2}$.
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际场景下的最大面积问题，解题思路如下：第一步，合理设定自变量，选择与墙平行的边长为x m，结合栅栏总长度分析垂直于墙的边长：观察图形可知除了靠墙的边，栅栏包含1条平行于墙的边和3条垂直于墙的边，因此3条垂直边的总长度为(24-x)m，单条垂直边长就是$\frac{24-x}{3}$m；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，同时结合墙长9m确定自变量x的取值范围为$0＜x≤9$；第三步，将二次函数整理为顶点式，分析函数的增减性：该二次函数开口向下，对称轴为x=12，在$x≤9$的区间内函数随x的增大而增大，因此当x取最大值9时，面积取得最大值。
【解析】
解：设羊羔饲养室与墙平行的一边的长为x m，则与墙垂直的一边的长为$\frac{1}{3}(24-x)$m。
根据矩形面积公式，饲养室的总面积y可表示为：
$y=x· \frac{1}{3}(24-x)$，其中自变量x的取值范围为$0＜x≤ 9$
将函数整理为顶点式：
$y=-\frac{1}{3}x^2 +8x = -\frac{1}{3}(x^2-24x) = -\frac{1}{3}(x-12)^2+48$
∵该二次函数开口向下，对称轴为$x=12$，在$0＜x≤ 9$的范围内，y随x的增大而增大
∴当$x=9$时，y取得最大值，最大值为：
$y=-\frac{1}{3}×(9-12)^2 +48 = 45$
【答案】
该羊羔饲养室最大面积为$\boxed{45\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数最值应用，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数实际应用的典型题型，解题的易错点有两处：一是忽略中间分隔的栅栏，误将垂直于墙的边数算为2条导致边长计算错误；二是忽略墙长的限制，直接取二次函数顶点处的最值，因此解题时需结合实际场景确定自变量的取值范围，再根据函数增减性求最值。
【难度系数】
0.6
本题是利用二次函数求解实际场景下的最大面积问题，解题思路如下：第一步，合理设定自变量，选择与墙平行的边长为x m，结合栅栏总长度分析垂直于墙的边长：观察图形可知除了靠墙的边，栅栏包含1条平行于墙的边和3条垂直于墙的边，因此3条垂直边的总长度为(24-x)m，单条垂直边长就是$\frac{24-x}{3}$m；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，同时结合墙长9m确定自变量x的取值范围为$0＜x≤9$；第三步，将二次函数整理为顶点式，分析函数的增减性：该二次函数开口向下，对称轴为x=12，在$x≤9$的区间内函数随x的增大而增大，因此当x取最大值9时，面积取得最大值。
【解析】
解：设羊羔饲养室与墙平行的一边的长为x m，则与墙垂直的一边的长为$\frac{1}{3}(24-x)$m。
根据矩形面积公式，饲养室的总面积y可表示为：
$y=x· \frac{1}{3}(24-x)$，其中自变量x的取值范围为$0＜x≤ 9$
将函数整理为顶点式：
$y=-\frac{1}{3}x^2 +8x = -\frac{1}{3}(x^2-24x) = -\frac{1}{3}(x-12)^2+48$
∵该二次函数开口向下，对称轴为$x=12$，在$0＜x≤ 9$的范围内，y随x的增大而增大
∴当$x=9$时，y取得最大值，最大值为：
$y=-\frac{1}{3}×(9-12)^2 +48 = 45$
【答案】
该羊羔饲养室最大面积为$\boxed{45\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数最值应用，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数实际应用的典型题型，解题的易错点有两处：一是忽略中间分隔的栅栏，误将垂直于墙的边数算为2条导致边长计算错误；二是忽略墙长的限制，直接取二次函数顶点处的最值，因此解题时需结合实际场景确定自变量的取值范围，再根据函数增减性求最值。
【难度系数】
0.6
12.如图,一名男生掷铅球,铅球运行的高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关系可以看作是二次函数,已知铅球水平运行4 m时达到最大高度3 m.若该男生铅球出手的高度为$\frac{5}{3}$ m,求他掷铅球的成绩.
答案
12.【解】$\because$铅球水平运行4 m时达到最大高度3 m，
$\therefore$设二次函数解析式为$y=a(x-4)^2+3$，
即$y=ax^2-8ax+16a+3$.
$\because$该男生铅球出手的高度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore 16a+3=\frac{5}{3}$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
当$y=0$时,$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0$，
解得$x=10$或$x=-2$(舍).
$\therefore$该男生掷铅球的成绩是10 m.
$\therefore$设二次函数解析式为$y=a(x-4)^2+3$，
即$y=ax^2-8ax+16a+3$.
$\because$该男生铅球出手的高度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore 16a+3=\frac{5}{3}$. 解得$a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$.
当$y=0$时,$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0$，
解得$x=10$或$x=-2$(舍).
$\therefore$该男生掷铅球的成绩是10 m.
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先，已知铅球运行到水平距离4m时达到最大高度3m，即二次函数的顶点坐标为$(4,3)$，因此选择顶点式设二次函数解析式，可简化计算；其次，铅球出手时水平距离为0，此时高度为$\frac{5}{3}$m，即$x=0$时$y=\frac{5}{3}$，将其代入所设解析式可求出参数$a$，得到完整的函数解析式；最后，铅球落地时高度为0，即$y=0$，代入解析式求解$x$，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是掷铅球的成绩。
【解析】
$\because$铅球水平运行4 m时达到最大高度3 m，即二次函数的顶点为$(4,3)$，
$\therefore$设二次函数解析式为$y=a(x-4)^2+3$（$a≠0$）。
$\because$铅球出手时水平距离$x=0$，对应高度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore$将$x=0$，$y=\frac{5}{3}$代入解析式得：$a(0-4)^2+3=\frac{5}{3}$，
即$16a+3=\frac{5}{3}$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，即$y=0$时$x$的正数值，
令$y=0$，得$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0$，
整理得$(x-4)^2=36$，
开方得$x-4=\pm6$，
解得$x=10$或$x=-2$，
$\because$水平距离不能为负，$\therefore x=-2$不符合实际，舍去。
【答案】
该男生掷铅球的成绩是$\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在抛体运动中的典型应用，解题核心是根据已知的顶点信息选择合适的解析式形式，同时要注意结合实际问题的情境，对求解得到的根进行合理取舍，属于二次函数应用的基础常考题。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先，已知铅球运行到水平距离4m时达到最大高度3m，即二次函数的顶点坐标为$(4,3)$，因此选择顶点式设二次函数解析式，可简化计算；其次，铅球出手时水平距离为0，此时高度为$\frac{5}{3}$m，即$x=0$时$y=\frac{5}{3}$，将其代入所设解析式可求出参数$a$，得到完整的函数解析式；最后，铅球落地时高度为0，即$y=0$，代入解析式求解$x$，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是掷铅球的成绩。
【解析】
$\because$铅球水平运行4 m时达到最大高度3 m，即二次函数的顶点为$(4,3)$，
$\therefore$设二次函数解析式为$y=a(x-4)^2+3$（$a≠0$）。
$\because$铅球出手时水平距离$x=0$，对应高度为$\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore$将$x=0$，$y=\frac{5}{3}$代入解析式得：$a(0-4)^2+3=\frac{5}{3}$，
即$16a+3=\frac{5}{3}$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，即$y=0$时$x$的正数值，
令$y=0$，得$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0$，
整理得$(x-4)^2=36$，
开方得$x-4=\pm6$，
解得$x=10$或$x=-2$，
$\because$水平距离不能为负，$\therefore x=-2$不符合实际，舍去。
【答案】
该男生掷铅球的成绩是$\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在抛体运动中的典型应用，解题核心是根据已知的顶点信息选择合适的解析式形式，同时要注意结合实际问题的情境，对求解得到的根进行合理取舍，属于二次函数应用的基础常考题。
【难度系数】
0.7
