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2.用12 m长的木条围成如图所示的窗框，则窗户的最大透光面积(木条宽度和损耗忽略不计)为(
A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
A
).A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
答案
2.A
解析
【分析】首先观察窗框结构，可知窗框包含3段等长的竖直木条、2段等长的水平木条。我们可以先设竖直木条的长度为未知数，用总长度表示出水平木条的总长度，再根据矩形面积公式列出透光面积关于边长的二次函数，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解即可，解题思路为：设未知量→表示另一边长→列面积函数→求二次函数最值。
【解析】设窗框竖直方向的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则3段竖直木条总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $，剩余木条长度为$ 12-3x \, \mathrm{m} $，因此水平方向的总边长为$ \frac{12-3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{12-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，最大值在顶点处，对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{3}{2}、b=6 $得：
$x=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2$
将$ x=2 $代入面积公式，得最大面积：
$S=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2$
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】本题结合实际几何场景考查二次函数的应用，解题关键是结合图形结构正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】0.7
【解析】设窗框竖直方向的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则3段竖直木条总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $，剩余木条长度为$ 12-3x \, \mathrm{m} $，因此水平方向的总边长为$ \frac{12-3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{12-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，最大值在顶点处，对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{3}{2}、b=6 $得：
$x=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2$
将$ x=2 $代入面积公式，得最大面积：
$S=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2$
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用、二次函数的最值
【点评】本题结合实际几何场景考查二次函数的应用，解题关键是结合图形结构正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】0.7
3.如图,用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m,面积为S m²,其中$AD≥AB$.有下列结论:
①AB的长可以是14 m;
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160 m²;
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162 m².
其中,正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
①AB的长可以是14 m;
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160 m²;
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162 m².
其中,正确结论的个数是(
B
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据篱笆总长和矩形边长关系，用AB的长x表示出平行于墙的边BC的长度，再结合墙长限制、AD≥AB和边长为正的要求，先确定x的取值范围；再依次对三个结论逐一验证：①判断14是否在x的取值范围内；②令面积等于160，解方程后看符合取值范围的解的个数；③将面积表示为关于x的二次函数，结合x的取值范围求最大值，最后统计正确结论的个数。
【解析】
解：由题意得，AB=x m，则BC=(36-2x) m，
首先确定x的取值范围：
1. 墙长18 m，故BC≤18，即$36-2x≤18$，解得$x≥9$；
2. 要求$AD≥AB$，AD=BC，故$36-2x≥x$，解得$x≤12$；
3. 边长为正，$x＞0$，$36-2x＞0$即$x＜18$，结合上述范围得x的取值范围为$9≤x≤12$。
面积$S=x(36-2x)=-2x^2+36x$。
逐一判断结论：
①AB=14 m，14不在$9≤x≤12$范围内，故①错误；
②令$S=160$，则$x(36-2x)=160$，整理得$x^2-18x+80=0$，解得$x_1=8$，$x_2=10$，只有x=10符合$9≤x≤12$，故仅1个值满足，②错误；
③$S=-2x^2+36x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{36}{2×(-2)}=9$，在$9≤x≤12$范围内，函数随x增大而减小，故x=9时S取最大值，最大值为$9×(36-2×9)=9×18=162\ \mathrm{m}^2$，故③正确。
综上，仅1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程应用；不等式组应用
【点评】
本题考查函数与方程在实际几何问题中的应用，解题关键是先根据实际限制条件确定自变量的取值范围，再结合函数和方程的性质判断结论，要注意不能忽略实际限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：首先根据篱笆总长和矩形边长关系，用AB的长x表示出平行于墙的边BC的长度，再结合墙长限制、AD≥AB和边长为正的要求，先确定x的取值范围；再依次对三个结论逐一验证：①判断14是否在x的取值范围内；②令面积等于160，解方程后看符合取值范围的解的个数；③将面积表示为关于x的二次函数，结合x的取值范围求最大值，最后统计正确结论的个数。
【解析】
解：由题意得，AB=x m，则BC=(36-2x) m，
首先确定x的取值范围：
1. 墙长18 m，故BC≤18，即$36-2x≤18$，解得$x≥9$；
2. 要求$AD≥AB$，AD=BC，故$36-2x≥x$，解得$x≤12$；
3. 边长为正，$x＞0$，$36-2x＞0$即$x＜18$，结合上述范围得x的取值范围为$9≤x≤12$。
面积$S=x(36-2x)=-2x^2+36x$。
逐一判断结论：
①AB=14 m，14不在$9≤x≤12$范围内，故①错误；
②令$S=160$，则$x(36-2x)=160$，整理得$x^2-18x+80=0$，解得$x_1=8$，$x_2=10$，只有x=10符合$9≤x≤12$，故仅1个值满足，②错误；
③$S=-2x^2+36x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{36}{2×(-2)}=9$，在$9≤x≤12$范围内，函数随x增大而减小，故x=9时S取最大值，最大值为$9×(36-2×9)=9×18=162\ \mathrm{m}^2$，故③正确。
综上，仅1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程应用；不等式组应用
【点评】
本题考查函数与方程在实际几何问题中的应用，解题关键是先根据实际限制条件确定自变量的取值范围，再结合函数和方程的性质判断结论，要注意不能忽略实际限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
4.如图,小亮掷实心球,实心球飞行高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}$,则此次小亮实心球训练的成绩为(
A.9 m
B.8 m
C.7 m
D.6 m
B
).A.9 m
B.8 m
C.7 m
D.6 m
答案
4.B
解析
【分析】
要解决本题，首先明确实心球训练成绩的实际含义：当实心球落地时对应的水平距离就是掷球成绩，此时实心球的飞行高度$y=0$。因此我们只需将$y=0$代入给定的二次函数关系式，解出对应的$x$值，再舍去不符合实际意义的负根，剩余的正根就是所求的成绩。
【解析】
解：当实心球落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}$，得：
$0=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}$
方程两边同时乘6消去分母，整理得：
$2x^2-15x-8=0$
因式分解得：
$(2x+1)(x-8)=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$x=-\frac{1}{2}$，即小亮实心球训练的成绩为8m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是理解实心球落地时高度为0的实际意义，将函数问题转化为解方程问题，求解后需注意检验根是否符合实际场景，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确实心球训练成绩的实际含义：当实心球落地时对应的水平距离就是掷球成绩，此时实心球的飞行高度$y=0$。因此我们只需将$y=0$代入给定的二次函数关系式，解出对应的$x$值，再舍去不符合实际意义的负根，剩余的正根就是所求的成绩。
【解析】
解：当实心球落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}$，得：
$0=-\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}$
方程两边同时乘6消去分母，整理得：
$2x^2-15x-8=0$
因式分解得：
$(2x+1)(x-8)=0$
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
由于水平距离不能为负数，因此舍去$x=-\frac{1}{2}$，即小亮实心球训练的成绩为8m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是理解实心球落地时高度为0的实际意义，将函数问题转化为解方程问题，求解后需注意检验根是否符合实际场景，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
5.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过23 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m.有下列结论:
①AB的长可以为7 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m²;
④当AB=15 m时,菜园面积为150 m².
其中,正确结论的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
①AB的长可以为7 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m²;
④当AB=15 m时,菜园面积为150 m².
其中,正确结论的个数是(
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
首先设AB的长度为x m，由AB=CD可得BC的长度为(40-2x) m，先根据墙AD的长度限制（0＜BC≤23）求出x的取值范围，再逐一验证四个结论是否成立即可，注意所有计算都要符合自变量的取值范围要求。
【解析】
设AB的长为x m，则BC的长为$(40-2x)$ m，根据墙长限制可得：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤23 \end{cases}$，解得$8.5≤ x＜20$。
1. 验证结论①：若AB=7 m，$7＜8.5$，不符合x的取值范围，故①错误；
2. 验证结论②：若菜园面积为192 $\mathrm{m}^2$，列方程得$x(40-2x)=192$，整理得$x^2-20x+96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。其中$x=8＜8.5$，不符合取值范围，舍去，仅$x=12$符合要求，故只有1个值满足面积为192 $\mathrm{m}^2$，②错误；
3. 验证结论③：设菜园面积为S，则$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$，因为$-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=10$在$8.5≤ x＜20$范围内，所以当$x=10$时，S取得最大值200 $\mathrm{m}^2$，③正确；
4. 验证结论④：当AB=15 m时，$BC=40-2×15=10$ m，面积$S=15×10=150$ $\mathrm{m}^2$，④正确。
综上，正确的结论为③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，不等式的应用
【点评】
本题属于几何类的函数实际应用题，解题的关键是先根据题目中的限制条件确定自变量的取值范围，再结合方程、二次函数的性质进行判断，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
首先设AB的长度为x m，由AB=CD可得BC的长度为(40-2x) m，先根据墙AD的长度限制（0＜BC≤23）求出x的取值范围，再逐一验证四个结论是否成立即可，注意所有计算都要符合自变量的取值范围要求。
【解析】
设AB的长为x m，则BC的长为$(40-2x)$ m，根据墙长限制可得：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤23 \end{cases}$，解得$8.5≤ x＜20$。
1. 验证结论①：若AB=7 m，$7＜8.5$，不符合x的取值范围，故①错误；
2. 验证结论②：若菜园面积为192 $\mathrm{m}^2$，列方程得$x(40-2x)=192$，整理得$x^2-20x+96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。其中$x=8＜8.5$，不符合取值范围，舍去，仅$x=12$符合要求，故只有1个值满足面积为192 $\mathrm{m}^2$，②错误；
3. 验证结论③：设菜园面积为S，则$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$，因为$-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=10$在$8.5≤ x＜20$范围内，所以当$x=10$时，S取得最大值200 $\mathrm{m}^2$，③正确；
4. 验证结论④：当AB=15 m时，$BC=40-2×15=10$ m，面积$S=15×10=150$ $\mathrm{m}^2$，④正确。
综上，正确的结论为③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，不等式的应用
【点评】
本题属于几何类的函数实际应用题，解题的关键是先根据题目中的限制条件确定自变量的取值范围，再结合方程、二次函数的性质进行判断，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
6.小明要用一根长100 m的铁丝围成一个长方形，围成的图形面积最大是
625
m².答案
6.625
解析
【分析】
要解决周长固定的长方形最大面积问题，我们可以先通过周长公式建立长和宽的数量关系，再将面积表示为关于边长的二次函数，结合二次函数的最值性质求解。第一步，设长方形的一边长为x m，根据周长为100m可推出长+宽=50m，因此另一边长为(50-x)m；第二步，根据长方形面积公式写出面积关于x的函数表达式；第三步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入计算得到最大面积。
【解析】
解：设长方形的一边长为x m，面积为S m²。
∵ 长方形周长为100 m，
∴ 相邻两边之和为$ 100÷2=50 \, \mathrm{m} $，即另一边长为$ (50 - x) \, \mathrm{m} $，其中x的取值范围为$ 0＜x＜50 $。
根据长方形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该二次函数的二次项系数$ a=-1＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-1，b=50 $得：
$ x=-\frac{50}{2×(-1)}=25 $
当x=25时，另一边长为$ 50-25=25 \, \mathrm{m} $，此时面积最大：
$ S_{\mathrm{max}}=25×25=625 \, \mathrm{m}^2 $
（注：正方形是特殊的长方形，符合题意）
【答案】
625
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，长方形的周长与面积
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，核心是将实际几何问题转化为二次函数模型，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决周长固定的长方形最大面积问题，我们可以先通过周长公式建立长和宽的数量关系，再将面积表示为关于边长的二次函数，结合二次函数的最值性质求解。第一步，设长方形的一边长为x m，根据周长为100m可推出长+宽=50m，因此另一边长为(50-x)m；第二步，根据长方形面积公式写出面积关于x的函数表达式；第三步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入计算得到最大面积。
【解析】
解：设长方形的一边长为x m，面积为S m²。
∵ 长方形周长为100 m，
∴ 相邻两边之和为$ 100÷2=50 \, \mathrm{m} $，即另一边长为$ (50 - x) \, \mathrm{m} $，其中x的取值范围为$ 0＜x＜50 $。
根据长方形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该二次函数的二次项系数$ a=-1＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-1，b=50 $得：
$ x=-\frac{50}{2×(-1)}=25 $
当x=25时，另一边长为$ 50-25=25 \, \mathrm{m} $，此时面积最大：
$ S_{\mathrm{max}}=25×25=625 \, \mathrm{m}^2 $
（注：正方形是特殊的长方形，符合题意）
【答案】
625
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，长方形的周长与面积
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，核心是将实际几何问题转化为二次函数模型，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
7.如图,有长为 30 m 的篱笆,一面利用长为 12 m 的墙,要围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD(连接处的篱笆长度不计),则花圃的最大面积是
72
m².答案
7.72
解析
【分析】
要解决这个矩形花圃的最大面积问题，首先设定合适的自变量：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为总篱笆长度减去3段垂直于墙的篱笆长度，即$ (30-3x) \, \mathrm{m} $。接下来结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长12m，且边长不能为负，先确定自变量$ x $的取值范围。再写出面积关于$ x $的二次函数表达式，结合二次函数的增减性和$ x $的取值范围求最大面积，注意不能直接套用顶点公式求最值，需先判断顶点的自变量是否在取值范围内。
【解析】
解：设垂直于墙的边$ AB $的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则平行于墙的边$ BC $的长度为$ (30-3x) \, \mathrm{m} $。
根据墙的长度限制，可得不等式：
$ 0 ＜ 30-3x ≤ 12 $
解得：$ 6 ≤ x ＜ 10 $
花圃的面积表达式为：
$ S = x(30-3x) = -3x^2 + 30x $
配方得：$ S = -3(x-5)^2 +75 $
∵ 二次函数二次项系数$ -3 ＜ 0 $，图象开口向下，对称轴为$ x=5 $
∴ 当$ x＞5 $时，$ S $随$ x $的增大而减小
结合$ x $的取值范围$ 6 ≤ x ＜10 $，可知当$ x=6 $时，$ S $取得最大值
代入$ x=6 $得：$ S =6×(30-3×6)=6×12=72 $
【答案】
72
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常见题型，解题核心是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性求最值，切勿忽略实际限制直接代入顶点计算。
【难度系数】
0.6
要解决这个矩形花圃的最大面积问题，首先设定合适的自变量：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为总篱笆长度减去3段垂直于墙的篱笆长度，即$ (30-3x) \, \mathrm{m} $。接下来结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长12m，且边长不能为负，先确定自变量$ x $的取值范围。再写出面积关于$ x $的二次函数表达式，结合二次函数的增减性和$ x $的取值范围求最大面积，注意不能直接套用顶点公式求最值，需先判断顶点的自变量是否在取值范围内。
【解析】
解：设垂直于墙的边$ AB $的长度为$ x \, \mathrm{m} $，花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则平行于墙的边$ BC $的长度为$ (30-3x) \, \mathrm{m} $。
根据墙的长度限制，可得不等式：
$ 0 ＜ 30-3x ≤ 12 $
解得：$ 6 ≤ x ＜ 10 $
花圃的面积表达式为：
$ S = x(30-3x) = -3x^2 + 30x $
配方得：$ S = -3(x-5)^2 +75 $
∵ 二次函数二次项系数$ -3 ＜ 0 $，图象开口向下，对称轴为$ x=5 $
∴ 当$ x＞5 $时，$ S $随$ x $的增大而减小
结合$ x $的取值范围$ 6 ≤ x ＜10 $，可知当$ x=6 $时，$ S $取得最大值
代入$ x=6 $得：$ S =6×(30-3×6)=6×12=72 $
【答案】
72
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常见题型，解题核心是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性求最值，切勿忽略实际限制直接代入顶点计算。
【难度系数】
0.6
