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12.如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证：OC是∠AOB的平分线.
答案
12.证明:$\because PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore ∠ PDF=∠ PEG=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PFD$和$\mathrm{Rt}△ PGE$中，
$\begin{cases}PF=PG,\\DF=EG,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore OC$是$∠ AOB$的平分线.
$\therefore ∠ PDF=∠ PEG=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PFD$和$\mathrm{Rt}△ PGE$中，
$\begin{cases}PF=PG,\\DF=EG,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore OC$是$∠ AOB$的平分线.
解析
【分析】
要证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点P到OA、OB的距离PD=PE即可。观察图形可知PD、PE分别在Rt△PFD和Rt△PGE中，题目已知PF=PG、DF=EG，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等得到PD=PE，即可推出结论。
【解析】
证明:
$\because PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore ∠ PDF=∠ PEG=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PFD$和$\mathrm{Rt}△ PGE$中，
$\begin{cases}PF=PG,\\DF=EG,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore OC$是$∠ AOB$的平分线.
【答案】
OC是∠AOB的平分线，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等的判定；角平分线的判定定理
【点评】
本题侧重考查全等三角形判定与角平分线判定的结合应用，解题关键是通过HL证明直角三角形全等，得到点P到角两边的距离相等，属于常规基础题，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点P到OA、OB的距离PD=PE即可。观察图形可知PD、PE分别在Rt△PFD和Rt△PGE中，题目已知PF=PG、DF=EG，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证两个直角三角形全等得到PD=PE，即可推出结论。
【解析】
证明:
$\because PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore ∠ PDF=∠ PEG=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PFD$和$\mathrm{Rt}△ PGE$中，
$\begin{cases}PF=PG,\\DF=EG,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ PFD≌\mathrm{Rt}△ PGE(\mathrm{HL}).$
$\therefore PD=PE.$
$\because P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA,PE⊥ OB$，
$\therefore OC$是$∠ AOB$的平分线.
【答案】
OC是∠AOB的平分线，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等的判定；角平分线的判定定理
【点评】
本题侧重考查全等三角形判定与角平分线判定的结合应用，解题关键是通过HL证明直角三角形全等，得到点P到角两边的距离相等，属于常规基础题，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
1.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为(
A.70°
B.120°
C.125°
D.130°
C
)A.70°
B.120°
C.125°
D.130°
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路可分三步：首先，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由O到三边距离相等，判断出OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；其次，利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，进而得到两个角的一半即∠OBC、∠OCB的和；最后，在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上）
在△ABC中，∠BAC=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-70°=110°
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°
在△BOC中，由三角形内角和定理得：
∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：首先，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由O到三边距离相等，判断出OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；其次，利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，进而得到两个角的一半即∠OBC、∠OCB的和；最后，在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上）
在△ABC中，∠BAC=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-70°=110°
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°
在△BOC中，由三角形内角和定理得：
∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图,任意画一个$∠ BAC=60°$的$△ ABC$,再分别作$△ ABC$的两条角平分线$BE$和$CD$,$BE$和$CD$相交于点$P$,连接$AP$,有以下结论:①$∠ BPC=120°$;②$AP$平分$∠ BAC$;③$AP=PC$;④$BD+CE=BC$;⑤$S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=S_{△ PBC}$.其中,结论正确的是(
A.①②④⑤
B.②③⑤
C.①②⑤
D.①②③④
A
).A.①②④⑤
B.②③⑤
C.①②⑤
D.①②③④
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路：结合三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，逐个判断5个结论是否成立：1.先利用三角形内角和求∠ABC+∠ACB，再结合角平分线求∠PBC+∠PCB，进而推导∠BPC判断①；2.根据三角形三条角平分线交于一点的性质判断②；3.分析AP=PC成立的条件，结合题目“任意三角形”的前提判断③；4.用截长补短法构造全等三角形，证明线段和关系判断④；5.结合全等三角形面积相等的性质，推导面积关系判断⑤。
【解析】
1. 判断结论①：
已知∠BAC=60°，根据三角形内角和为180°，得$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$。
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-60°=120°$，故①正确。
2. 判断结论②：
三角形的三条角平分线交于同一点，已知BE、CD是△ABC的角平分线，交点为P，
∴AP是∠BAC的角平分线，即AP平分∠BAC，故②正确。
3. 判断结论③：
若AP=PC，则$∠ PAC=∠ PCA$，
∵$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∴$∠ PCA=30°$，即$∠ ACB=2∠ PCA=60°$，仅当△ABC为等边三角形时该结论成立，题目为任意∠BAC=60°的△ABC，故③错误。
4. 判断结论④：
在BC上截取BF=BD，连接PF。
在△BDP和△BFP中：
$\begin{cases}BD=BF\\∠ DBP=∠ FBP\\BP=BP\end{cases}$
∴$△ BDP≌△ BFP(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BPD=∠ BPF$。
∵$∠ BPC=120°$，
∴$∠ BPD=∠ CPE=60°$，
∴$∠ BPF=60°$，
∴$∠ CPF=∠ BPC-∠ BPF=120°-60°=60°=∠ CPE$。
在△CEP和△CFP中：
$\begin{cases}∠ CPE=∠ CPF\\CP=CP\\∠ PCE=∠ PCF\end{cases}$
∴$△ CEP≌△ CFP(\mathrm{ASA})$，
∴$CE=CF$，
∴$BC=BF+CF=BD+CE$，故④正确。
5. 判断结论⑤：
由$△ BDP≌△ BFP$得$S_{△ PBD}=S_{△ PBF}$，由$△ CEP≌△ CFP$得$S_{△ PCE}=S_{△ PCF}$，
∴$S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=S_{△ PBF}+S_{△ PCF}=S_{△ PBC}$，故⑤正确。
综上，①②④⑤正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了角平分线相关性质和全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，合理构造全等三角形转化线段和面积关系。
【难度系数】
0.65
解题思路：结合三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，逐个判断5个结论是否成立：1.先利用三角形内角和求∠ABC+∠ACB，再结合角平分线求∠PBC+∠PCB，进而推导∠BPC判断①；2.根据三角形三条角平分线交于一点的性质判断②；3.分析AP=PC成立的条件，结合题目“任意三角形”的前提判断③；4.用截长补短法构造全等三角形，证明线段和关系判断④；5.结合全等三角形面积相等的性质，推导面积关系判断⑤。
【解析】
1. 判断结论①：
已知∠BAC=60°，根据三角形内角和为180°，得$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$。
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-60°=120°$，故①正确。
2. 判断结论②：
三角形的三条角平分线交于同一点，已知BE、CD是△ABC的角平分线，交点为P，
∴AP是∠BAC的角平分线，即AP平分∠BAC，故②正确。
3. 判断结论③：
若AP=PC，则$∠ PAC=∠ PCA$，
∵$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∴$∠ PCA=30°$，即$∠ ACB=2∠ PCA=60°$，仅当△ABC为等边三角形时该结论成立，题目为任意∠BAC=60°的△ABC，故③错误。
4. 判断结论④：
在BC上截取BF=BD，连接PF。
在△BDP和△BFP中：
$\begin{cases}BD=BF\\∠ DBP=∠ FBP\\BP=BP\end{cases}$
∴$△ BDP≌△ BFP(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BPD=∠ BPF$。
∵$∠ BPC=120°$，
∴$∠ BPD=∠ CPE=60°$，
∴$∠ BPF=60°$，
∴$∠ CPF=∠ BPC-∠ BPF=120°-60°=60°=∠ CPE$。
在△CEP和△CFP中：
$\begin{cases}∠ CPE=∠ CPF\\CP=CP\\∠ PCE=∠ PCF\end{cases}$
∴$△ CEP≌△ CFP(\mathrm{ASA})$，
∴$CE=CF$，
∴$BC=BF+CF=BD+CE$，故④正确。
5. 判断结论⑤：
由$△ BDP≌△ BFP$得$S_{△ PBD}=S_{△ PBF}$，由$△ CEP≌△ CFP$得$S_{△ PCE}=S_{△ PCF}$，
∴$S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=S_{△ PBF}+S_{△ PCF}=S_{△ PBC}$，故⑤正确。
综上，①②④⑤正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了角平分线相关性质和全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，合理构造全等三角形转化线段和面积关系。
【难度系数】
0.65
3.如图，在$△ AOB$和$△ COD$中，$OA=OB$，$OC=OD$，$OA＜OC$，$∠ AOB=∠ COD=36°$，连接$AC$，$BD$交于点$M$，连接$OM$.有下列结论：
①$AC=BD$；②$∠ AMB=36°$；③$OM$平分$∠ AOD$；④$MO$平分$∠ AMD$.
其中正确结论的序号是
①$AC=BD$；②$∠ AMB=36°$；③$OM$平分$∠ AOD$；④$MO$平分$∠ AMD$.
其中正确结论的序号是
①②④
.(请将正确结论的序号都填上)答案
3.①②④ 【提示】由题意,可得$△ AOC≌△ BOD$(SAS),于是$AC=BD$,故①正确;由全等三角形的性质,得$∠ OAC=∠ OBD$,结合三角形的外角性质,可得$∠ AMB+∠ OBD=∠ OAC+∠ AOB$,即$∠ AMB=∠ AOB=36°$,故②正确;如图,作$OG⊥ AM$于点$G$,$OH⊥ DM$于点$H$,利用全等三角形对应边上的高相等,得$OG=OH$,再由角平分线的判定方法,得$MO$平分$∠ AMD$,故④正确;若$OM$平分$∠ AOD$,可得$△ AMO≌△ DMO$,进而$OA=OC$,与已知条件中的$OA＜OC$矛盾,故③错误.
解析
【分析】
首先结合已知的两组等边和等角，通过角的和差得到相等的夹角，证明△AOC和△BOD全等，以此为基础逐一判断各结论：①由全等三角形对应边相等直接验证；②利用全等三角形对应角相等，结合三角形外角的性质推导∠AMB的度数；③采用反证法，假设结论成立推导是否与已知条件矛盾；④通过作两条垂线，利用全等三角形对应高相等，结合角平分线的判定定理验证。
【解析】
1. 验证结论①：
已知$∠ AOB=∠ COD=36°$，因此$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD\end{cases}$
可得$△ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，由全等三角形对应边相等得$AC=BD$，故①正确。
2. 验证结论②：
由$△ AOC≌△ BOD$得$∠ OAC=∠ OBD$。
根据三角形外角的性质，$∠ AMB+∠ OBD=∠ OAC+∠ AOB$，将$∠ OAC=∠ OBD$代入该式，可得$∠ AMB=∠ AOB=36°$，故②正确。
3. 验证结论④：
过点$O$作$OG⊥ AM$于点$G$，$OH⊥ DM$于点$H$，
因为$△ AOC≌△ BOD$，$AC$和$BD$是一组对应边，全等三角形对应边上的高相等，因此$OG=OH$。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得$MO$平分$∠ AMD$，故④正确。
4. 验证结论③：
假设$OM$平分$∠ AOD$，则$∠ AOM=∠ DOM$。
在$△ AMO$和$△ DMO$中，$∠ AOM=∠ DOM$，$OM=OM$，$∠ AMO=∠ DMO$，可得$△ AMO≌△ DMO(\mathrm{ASA})$，因此$OA=OD$。
又因为$OD=OC$，所以$OA=OC$，与已知条件$OA＜OC$矛盾，故③错误。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，以全等三角形的证明为突破口逐一验证结论，其中反证法判断错误结论、作辅助线利用高相等判定角平分线是解题的关键，能够有效考查逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先结合已知的两组等边和等角，通过角的和差得到相等的夹角，证明△AOC和△BOD全等，以此为基础逐一判断各结论：①由全等三角形对应边相等直接验证；②利用全等三角形对应角相等，结合三角形外角的性质推导∠AMB的度数；③采用反证法，假设结论成立推导是否与已知条件矛盾；④通过作两条垂线，利用全等三角形对应高相等，结合角平分线的判定定理验证。
【解析】
1. 验证结论①：
已知$∠ AOB=∠ COD=36°$，因此$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD\end{cases}$
可得$△ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，由全等三角形对应边相等得$AC=BD$，故①正确。
2. 验证结论②：
由$△ AOC≌△ BOD$得$∠ OAC=∠ OBD$。
根据三角形外角的性质，$∠ AMB+∠ OBD=∠ OAC+∠ AOB$，将$∠ OAC=∠ OBD$代入该式，可得$∠ AMB=∠ AOB=36°$，故②正确。
3. 验证结论④：
过点$O$作$OG⊥ AM$于点$G$，$OH⊥ DM$于点$H$，
因为$△ AOC≌△ BOD$，$AC$和$BD$是一组对应边，全等三角形对应边上的高相等，因此$OG=OH$。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得$MO$平分$∠ AMD$，故④正确。
4. 验证结论③：
假设$OM$平分$∠ AOD$，则$∠ AOM=∠ DOM$。
在$△ AMO$和$△ DMO$中，$∠ AOM=∠ DOM$，$OM=OM$，$∠ AMO=∠ DMO$，可得$△ AMO≌△ DMO(\mathrm{ASA})$，因此$OA=OD$。
又因为$OD=OC$，所以$OA=OC$，与已知条件$OA＜OC$矛盾，故③错误。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，以全等三角形的证明为突破口逐一验证结论，其中反证法判断错误结论、作辅助线利用高相等判定角平分线是解题的关键，能够有效考查逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
