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6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,垂足为D,∠ADB=∠C,P是BC边上的一动点,则DP的最小值是
(第6题) (第7题) (第8题)
3
.(第6题) (第7题) (第8题)
答案
6.3
解析
【分析】
要计算DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，确定当DP⊥BC时，DP的长度最小。接下来需要求这个垂线段的长度，已知AD=3且AD⊥AB，若能证明BD是∠ABC的平分线，就可以利用角平分线的性质得到DP=AD。结合已知条件∠ADB=∠C，∠A和∠BDC均为直角，利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等，即可推出∠ABD=∠DBC，证明BD平分∠ABC，最后代入数值即可得到结果。
【解析】
1. 确定DP取最小值的位置：根据垂线段的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 证明BD平分∠ABC：
∵ ∠A=90°，
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵ BD⊥CD，即∠BDC=90°，
∴ ∠DBC + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ ∠ADB=∠C（已知），
∴ ∠ABD=∠DBC（等角的余角相等），即BD为∠ABC的角平分线。
3. 计算DP的最小值：
∵ DA⊥AB，DP⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴ DP=AD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础性质的应用，解题核心是先明确动点线段取最小值的位置，再通过角度关系推导角平分线，最终利用角平分线的性质求解，能有效考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，确定当DP⊥BC时，DP的长度最小。接下来需要求这个垂线段的长度，已知AD=3且AD⊥AB，若能证明BD是∠ABC的平分线，就可以利用角平分线的性质得到DP=AD。结合已知条件∠ADB=∠C，∠A和∠BDC均为直角，利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等，即可推出∠ABD=∠DBC，证明BD平分∠ABC，最后代入数值即可得到结果。
【解析】
1. 确定DP取最小值的位置：根据垂线段的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 证明BD平分∠ABC：
∵ ∠A=90°，
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵ BD⊥CD，即∠BDC=90°，
∴ ∠DBC + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ ∠ADB=∠C（已知），
∴ ∠ABD=∠DBC（等角的余角相等），即BD为∠ABC的角平分线。
3. 计算DP的最小值：
∵ DA⊥AB，DP⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴ DP=AD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础性质的应用，解题核心是先明确动点线段取最小值的位置，再通过角度关系推导角平分线，最终利用角平分线的性质求解，能有效考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知$DB⊥AE$于点$B$,$DC⊥AF$于点$C$,且$DB=DC$,$∠BAC=40°$,$∠ADG=130°$,则$∠DGF$的度数为
$150°$
.答案
7.$150°$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：DB垂直AE、DC垂直AF，且DB=DC，根据角平分线的判定定理可推出AD是∠BAC的角平分线，先求出∠DAC的度数；再结合∠ADG的已知度数，利用三角形外角的性质即可求出∠DGF的度数。
【解析】
解：
∵DB⊥AE，DC⊥AF，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∵∠BAC=40°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∵∠DGF是△ADG的外角，
∴∠DGF=∠DAC + ∠ADG（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵∠ADG=130°，
∴∠DGF=20°+130°=150°。
【答案】
150°
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先通过角平分线的判定得到角的等量关系，再结合外角性质计算角度，需要熟练掌握角平分线的判定定理和三角形外角的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：DB垂直AE、DC垂直AF，且DB=DC，根据角平分线的判定定理可推出AD是∠BAC的角平分线，先求出∠DAC的度数；再结合∠ADG的已知度数，利用三角形外角的性质即可求出∠DGF的度数。
【解析】
解：
∵DB⊥AE，DC⊥AF，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∵∠BAC=40°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∵∠DGF是△ADG的外角，
∴∠DGF=∠DAC + ∠ADG（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵∠ADG=130°，
∴∠DGF=20°+130°=150°。
【答案】
150°
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先通过角平分线的判定得到角的等量关系，再结合外角性质计算角度，需要熟练掌握角平分线的判定定理和三角形外角的性质。
【难度系数】
0.7
8.如图，已知$AB// CD$，且点$P$到$AB$，$BC$，$CD$的距离相等，则$∠ BPC$的度数为
$90°$
。答案
8.$90°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“点P到AB、BC、CD的距离相等”入手，根据角平分线的判定定理，可得出BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线；再结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补的性质，得到∠ABC与∠BCD的和为180°，进而求出∠PBC与∠PCB的和；最后利用三角形内角和定理即可算出∠BPC的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、BC的距离相等，
∴ BP平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BPC$中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是由点到直线的距离相等推出角平分线，再结合平行线性质和三角形内角和定理计算角度，是角平分线和平行线结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“点P到AB、BC、CD的距离相等”入手，根据角平分线的判定定理，可得出BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线；再结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补的性质，得到∠ABC与∠BCD的和为180°，进而求出∠PBC与∠PCB的和；最后利用三角形内角和定理即可算出∠BPC的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、BC的距离相等，
∴ BP平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ BPC$中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是由点到直线的距离相等推出角平分线，再结合平行线性质和三角形内角和定理计算角度，是角平分线和平行线结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
9.如图，O是△ABC内的一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离相等，连接OA，OB，OC.若AB：BC=4：5，△AOB的面积为20，则△BOC的面积为
25
.答案
9.25
解析
【分析】
首先根据角平分线的性质，到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，可得点O到AB、BC的距离相等。再观察△AOB和△BOC的面积关系：两个三角形分别以AB、BC为底时，高均为点O到对应边的距离，二者高相等，因此面积比等于底边长的比，结合已知的边长比和△AOB的面积，即可求出△BOC的面积。
【解析】
解：设点O到AB、BC的距离均为$h$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× h=20$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC× h$，
因此$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ BOC}}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$。
将$S_{△ AOB}=20$代入得：$\frac{20}{S_{△ BOC}}=\frac{4}{5}$，
解得$S_{△ BOC}=25$。
【答案】
25
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积公式、比例的性质
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，进而将面积比转化为底边长的比，不需要计算具体的边长和高的数值，即可快速求解，能有效考查学生对基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的性质，到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，可得点O到AB、BC的距离相等。再观察△AOB和△BOC的面积关系：两个三角形分别以AB、BC为底时，高均为点O到对应边的距离，二者高相等，因此面积比等于底边长的比，结合已知的边长比和△AOB的面积，即可求出△BOC的面积。
【解析】
解：设点O到AB、BC的距离均为$h$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× h=20$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC× h$，
因此$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ BOC}}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$。
将$S_{△ AOB}=20$代入得：$\frac{20}{S_{△ BOC}}=\frac{4}{5}$，
解得$S_{△ BOC}=25$。
【答案】
25
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积公式、比例的性质
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，进而将面积比转化为底边长的比，不需要计算具体的边长和高的数值，即可快速求解，能有效考查学生对基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，$CE⊥ AB$，$BF⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，$BF$，$CE$相交于点$D$，$BD=CD$，有下列结论：
①$BE=DE$；②$△ BDE≌△ CDF$；③$AD$平分$∠ BAC$；④$∠ DAC=∠ BDE$.其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)
①$BE=DE$；②$△ BDE≌△ CDF$；③$AD$平分$∠ BAC$；④$∠ DAC=∠ BDE$.其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)
答案
10.②③
解析
【分析】
首先从已知条件入手：CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，BD=CD是一组边相等，还有对顶角相等，可先判断△BDE和△CDF是否全等；再结合全等得到的对应边相等，利用角平分线的判定定理判断AD是否平分∠BAC；最后逐一验证剩余两个结论是否有足够的条件支撑，判断正误。
【解析】
1. 证明②正确：
∵ CE⊥AB，BF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠BED=∠CFD \\∠BDE=∠CDF \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CD \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ △BDE≌△CDF（AAS），故②正确。
2. 证明③正确：
由△BDE≌△CDF可得DE=DF，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，即点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
可知D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故③正确。
3. 判断①错误：
题中未给出∠B=45°或BE=DE的相关推导条件，无法证明BE=DE，故①错误。
4. 判断④错误：
在Rt△BDE中，∠BDE+∠B=90°；在Rt△ABF中，∠BAC+∠B=90°，
∴ ∠BDE=∠BAC，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠DAC，即∠BDE=2∠DAC，显然两者不相等，故④错误。
【答案】
②③
【知识点】
全等三角形判定与性质，角平分线的判定，直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，需要结合已知条件逐一推导验证每个结论，注意每一步推导都要有对应的定理或已知作为依据，避免凭直观感觉判断结论正误。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手：CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，BD=CD是一组边相等，还有对顶角相等，可先判断△BDE和△CDF是否全等；再结合全等得到的对应边相等，利用角平分线的判定定理判断AD是否平分∠BAC；最后逐一验证剩余两个结论是否有足够的条件支撑，判断正误。
【解析】
1. 证明②正确：
∵ CE⊥AB，BF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠BED=∠CFD \\∠BDE=∠CDF \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD=CD \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ △BDE≌△CDF（AAS），故②正确。
2. 证明③正确：
由△BDE≌△CDF可得DE=DF，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，即点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
可知D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故③正确。
3. 判断①错误：
题中未给出∠B=45°或BE=DE的相关推导条件，无法证明BE=DE，故①错误。
4. 判断④错误：
在Rt△BDE中，∠BDE+∠B=90°；在Rt△ABF中，∠BAC+∠B=90°，
∴ ∠BDE=∠BAC，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠DAC，即∠BDE=2∠DAC，显然两者不相等，故④错误。
【答案】
②③
【知识点】
全等三角形判定与性质，角平分线的判定，直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，需要结合已知条件逐一推导验证每个结论，注意每一步推导都要有对应的定理或已知作为依据，避免凭直观感觉判断结论正误。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC.
答案
11.证明:如图,过点D作$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F.
在$△ BED$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DE=DF.$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等。因此我们先过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，接下来只要证明DE=DF即可。已知BD=DC，∠1=∠2，加上DE、DF是垂线可得∠BED=∠CFD=90°，可通过AAS证明△BED和△CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
第一步：作辅助线，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，构造两个直角三角形。
第二步：证明△BED≌△CFD：已知∠1=∠2，∠BED=∠CFD=90°，BD=CD，符合AAS全等判定条件，因此两个三角形全等。
第三步：根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得DE=DF。
第四步：根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。
【答案】
11.证明:如图,过点D作$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F.
在$△ BED$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DE=DF.$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，将角平分线的判定与全等三角形的知识结合考查，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，把角平分线的证明转化为线段相等的证明，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等。因此我们先过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，接下来只要证明DE=DF即可。已知BD=DC，∠1=∠2，加上DE、DF是垂线可得∠BED=∠CFD=90°，可通过AAS证明△BED和△CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
第一步：作辅助线，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，构造两个直角三角形。
第二步：证明△BED≌△CFD：已知∠1=∠2，∠BED=∠CFD=90°，BD=CD，符合AAS全等判定条件，因此两个三角形全等。
第三步：根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得DE=DF。
第四步：根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。
【答案】
11.证明:如图,过点D作$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F.
在$△ BED$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DE=DF.$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，将角平分线的判定与全等三角形的知识结合考查，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，把角平分线的证明转化为线段相等的证明，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
