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4.如图，$DE⊥AB$于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，若$BD=CD$，$BE=CF$，有下列结论：
①$DE=DF$；②$AD$平分$∠BAC$；③$AE=AD$；④$AC-AB=2BE$。
其中，正确结论的序号是
①$DE=DF$；②$AD$平分$∠BAC$；③$AE=AD$；④$AC-AB=2BE$。
其中，正确结论的序号是
①②④
。（请将正确结论的序号都填上）答案
4.①②④
解析
【分析】
解题时先观察图形中已知的垂直、边相等的条件，第一步先利用HL证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，得到DE=DF判断结论①；第二步根据角平分线的判定定理，由到角两边距离相等的点在角的平分线上，判断结论②；第三步利用直角三角形中直角边小于斜边，直接判断结论③错误；第四步再证明Rt△ADE和Rt△ADF全等得到AE=AF，通过线段的和差转化推导AC-AB的结果，判断结论④。
【解析】
1. 证明①：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴$DE=DF$，故①正确。
2. 证明②：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且$DE=DF$，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故②正确。
3. 判断③：在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，AE是直角边，AD是斜边，
根据直角三角形中直角边小于斜边，得$AE＜AD$，故③错误。
4. 证明④：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AF$。
∵$AC=AF+CF$，$AB=AE-BE$，且$BE=CF$，
∴$AC-AB=(AF+CF)-(AE-BE)=AE+BE-AE+BE=2BE$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
直角三角形全等的判定；角平分线的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题时需结合已知条件逐步推导，注意线段和差的合理转化，做题时要逐一验证每个结论，避免漏看或推导错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中已知的垂直、边相等的条件，第一步先利用HL证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，得到DE=DF判断结论①；第二步根据角平分线的判定定理，由到角两边距离相等的点在角的平分线上，判断结论②；第三步利用直角三角形中直角边小于斜边，直接判断结论③错误；第四步再证明Rt△ADE和Rt△ADF全等得到AE=AF，通过线段的和差转化推导AC-AB的结果，判断结论④。
【解析】
1. 证明①：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴$DE=DF$，故①正确。
2. 证明②：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且$DE=DF$，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故②正确。
3. 判断③：在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，AE是直角边，AD是斜边，
根据直角三角形中直角边小于斜边，得$AE＜AD$，故③错误。
4. 证明④：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AF$。
∵$AC=AF+CF$，$AB=AE-BE$，且$BE=CF$，
∴$AC-AB=(AF+CF)-(AE-BE)=AE+BE-AE+BE=2BE$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
直角三角形全等的判定；角平分线的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题时需结合已知条件逐步推导，注意线段和差的合理转化，做题时要逐一验证每个结论，避免漏看或推导错误。
【难度系数】
0.7
5.如图，B,C分别是∠AOD两边上的点，P是∠AOD内的一点，且AB=CD，△PAB的面积与△PCD的面积相等.求证:OP平分∠AOD.
答案
5.证明:如图,过点$P$作$PE⊥ OA$于点$E$,$PF⊥ OD$于点$F$.
$\because S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，
$\therefore \frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}CD· PF.$
$\because AB=CD$，
$\therefore PE=PF.$
$\therefore$ 点$P$在$∠ AOD$的平分线上，
即$OP$平分$∠ AOD.$
解析
【分析】
要证明OP平分∠AOD，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点P到∠AOD的两边OA、OD的距离相等即可。已知△PAB和△PCD的面积相等，且底边AB=CD，我们可以过点P分别作OA、OD的垂线，这两条垂线恰好是△PAB和△PCD对应底边上的高，结合三角形面积公式即可推出两条高相等，进而得到结论。
【解析】
证明：过点$P$作$PE⊥ OA$于点$E$，$PF⊥ OD$于点$F$。
根据三角形面积公式，由$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$可得：
$\frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}CD· PF$
已知$AB=CD$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}AB$，可得：
$PE=PF$
根据角平分线的判定定理，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点$P$在$∠ AOD$的平分线上，即$OP$平分$∠ AOD$。
【答案】
证明:如图,过点$P$作$PE⊥ OA$于点$E$,$PF⊥ OD$于点$F$.
$\because S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，
$\therefore \frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}CD· PF.$
$\because AB=CD$，
$\therefore PE=PF.$
$\therefore$ 点$P$在$∠ AOD$的平分线上，
即$OP$平分$∠ AOD.$
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过作垂线段的辅助线，将证明角平分线的问题转化为证明两条垂线段长度相等的问题，结合已知的面积相等条件即可快速推导结论，需要熟练掌握角平分线判定定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明OP平分∠AOD，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点P到∠AOD的两边OA、OD的距离相等即可。已知△PAB和△PCD的面积相等，且底边AB=CD，我们可以过点P分别作OA、OD的垂线，这两条垂线恰好是△PAB和△PCD对应底边上的高，结合三角形面积公式即可推出两条高相等，进而得到结论。
【解析】
证明：过点$P$作$PE⊥ OA$于点$E$，$PF⊥ OD$于点$F$。
根据三角形面积公式，由$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$可得：
$\frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}CD· PF$
已知$AB=CD$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}AB$，可得：
$PE=PF$
根据角平分线的判定定理，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点$P$在$∠ AOD$的平分线上，即$OP$平分$∠ AOD$。
【答案】
证明:如图,过点$P$作$PE⊥ OA$于点$E$,$PF⊥ OD$于点$F$.
$\because S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，
$\therefore \frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}CD· PF.$
$\because AB=CD$，
$\therefore PE=PF.$
$\therefore$ 点$P$在$∠ AOD$的平分线上，
即$OP$平分$∠ AOD.$
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过作垂线段的辅助线，将证明角平分线的问题转化为证明两条垂线段长度相等的问题，结合已知的面积相等条件即可快速推导结论，需要熟练掌握角平分线判定定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
