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1.下列式子中与$(-a)^2$的计算结果相同的是(
A.$(a^2)^{-1}$
B.$a^2 · a^{-4}$
C.$a^{-2} ÷ a^4$
D.$a^4 · (-a)^{-2}$
D
).A.$(a^2)^{-1}$
B.$a^2 · a^{-4}$
C.$a^{-2} ÷ a^4$
D.$a^4 · (-a)^{-2}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先化简题干中的$(-a)^2$得到结果，再依次运用整数指数幂的运算法则计算每个选项的结果，将选项结果与题干结果对比，选出匹配的选项即可。计算过程中要注意负整数指数幂的转换规则、同底数幂的乘除运算法则，以及偶次幂的符号处理。
【解析】
先计算题干的结果：$(-a)^2 = a^2$。
根据整数指数幂的运算法则逐一计算选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(a^2)^{-1}=a^{2×(-1)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，与$a^2$不相等，排除；
选项B：根据同底数幂相乘的法则，$a^2· a^{-4}=a^{2+(-4)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，与$a^2$不相等，排除；
选项C：根据同底数幂相除的法则，$a^{-2}÷ a^4=a^{-2-4}=a^{-6}=\frac{1}{a^6}$，与$a^2$不相等，排除；
选项D：先计算$(-a)^{-2}=\frac{1}{(-a)^2}=\frac{1}{a^2}$，再算$a^4· (-a)^{-2}=a^4· \frac{1}{a^2}=a^{4-2}=a^2$，与题干结果相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
整数指数幂运算；负整数指数幂；同底数幂乘除运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整数指数幂相关运算法则的应用，只要熟练掌握同底数幂的乘除、负指数幂的转换规则，注意偶次幂的符号处理，细心计算就能准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先化简题干中的$(-a)^2$得到结果，再依次运用整数指数幂的运算法则计算每个选项的结果，将选项结果与题干结果对比，选出匹配的选项即可。计算过程中要注意负整数指数幂的转换规则、同底数幂的乘除运算法则，以及偶次幂的符号处理。
【解析】
先计算题干的结果：$(-a)^2 = a^2$。
根据整数指数幂的运算法则逐一计算选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(a^2)^{-1}=a^{2×(-1)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，与$a^2$不相等，排除；
选项B：根据同底数幂相乘的法则，$a^2· a^{-4}=a^{2+(-4)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，与$a^2$不相等，排除；
选项C：根据同底数幂相除的法则，$a^{-2}÷ a^4=a^{-2-4}=a^{-6}=\frac{1}{a^6}$，与$a^2$不相等，排除；
选项D：先计算$(-a)^{-2}=\frac{1}{(-a)^2}=\frac{1}{a^2}$，再算$a^4· (-a)^{-2}=a^4· \frac{1}{a^2}=a^{4-2}=a^2$，与题干结果相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
整数指数幂运算；负整数指数幂；同底数幂乘除运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整数指数幂相关运算法则的应用，只要熟练掌握同底数幂的乘除、负指数幂的转换规则，注意偶次幂的符号处理，细心计算就能准确作答。
【难度系数】
0.8
2.(2023,绥化,4)纳米是非常小的长度单位，$1\ \mathrm{nm}=0.000\ 000\ 001\ \mathrm{m}$，$0.000\ 000\ 001$用科学记数法表示为(
A.$1× 10^{-9}$
B.$1× 10^{-8}$
C.$1× 10^{8}$
D.$1× 10^{9}$
A
)。A.$1× 10^{-9}$
B.$1× 10^{-8}$
C.$1× 10^{8}$
D.$1× 10^{9}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面所有0的总个数（包含小数点前的0）。接下来我们只需要确定$a$的取值、数清楚对应0的个数得到$n$，就能得出结果，匹配正确选项。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的通用形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
第一步确定$a$：将$0.000000001$的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，可得$a=1$。
第二步确定$n$：$n$的大小等于小数点移动的位数，也等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。观察$0.000000001$，第一个非零数字是1，它前面共有9个0，因此$n=9$。
因此$0.000000001 = 1 × 10^{-9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法，负整数指数幂
【点评】
本题是基础类常规题，主要考查科学记数法表示较小数的方法，牢记记数规则、数清0的个数即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面所有0的总个数（包含小数点前的0）。接下来我们只需要确定$a$的取值、数清楚对应0的个数得到$n$，就能得出结果，匹配正确选项。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的通用形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
第一步确定$a$：将$0.000000001$的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，可得$a=1$。
第二步确定$n$：$n$的大小等于小数点移动的位数，也等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。观察$0.000000001$，第一个非零数字是1，它前面共有9个0，因此$n=9$。
因此$0.000000001 = 1 × 10^{-9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法，负整数指数幂
【点评】
本题是基础类常规题，主要考查科学记数法表示较小数的方法，牢记记数规则、数清0的个数即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.下列算式中正确的是(
A.$(0.0001)^0=0$
B.$10^{-4}=0.0001$
C.$(10-2×5)^0=1$
D.$(0.01)^{-2}=0.01$
B
).A.$(0.0001)^0=0$
B.$10^{-4}=0.0001$
C.$(10-2×5)^0=1$
D.$(0.01)^{-2}=0.01$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路是先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则：①任何非0数的0次幂都等于1，0的0次幂无意义；②任何非0数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。再逐一验证四个选项的计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$(0.0001)^0$，底数$0.0001≠0$，根据零指数幂法则，结果应为1，不是0，故A错误；
选项B：$10^{-4}$，根据负整数指数幂法则，$10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}=0.0001$，故B正确；
选项C：$(10-2×5)^0$，先计算括号内的结果：$10-2×5=0$，0的0次幂无意义，不等于1，故C错误；
选项D：$(0.01)^{-2}$，根据负整数指数幂法则，$(0.01)^{-2}=\frac{1}{(0.01)^2}=\frac{1}{0.0001}=10000$，不是0.01，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算规则，解题的易错点是容易忽略零指数幂成立的前提是底数不为0，计算负整数指数幂时要注意倒数转化的规则，避免符号或运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路是先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则：①任何非0数的0次幂都等于1，0的0次幂无意义；②任何非0数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。再逐一验证四个选项的计算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$(0.0001)^0$，底数$0.0001≠0$，根据零指数幂法则，结果应为1，不是0，故A错误；
选项B：$10^{-4}$，根据负整数指数幂法则，$10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}=0.0001$，故B正确；
选项C：$(10-2×5)^0$，先计算括号内的结果：$10-2×5=0$，0的0次幂无意义，不等于1，故C错误；
选项D：$(0.01)^{-2}$，根据负整数指数幂法则，$(0.01)^{-2}=\frac{1}{(0.01)^2}=\frac{1}{0.0001}=10000$，不是0.01，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算规则，解题的易错点是容易忽略零指数幂成立的前提是底数不为0，计算负整数指数幂时要注意倒数转化的规则，避免符号或运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
4.有下列式子：
①$(-1)^0=1$；②$(-1)^1=-1$；③$3a^{-2}=\dfrac{1}{3a^2}$；④$(-x)^5÷(-x)^3=-x^2$。
其中，正确式子的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
①$(-1)^0=1$；②$(-1)^1=-1$；③$3a^{-2}=\dfrac{1}{3a^2}$；④$(-x)^5÷(-x)^3=-x^2$。
其中，正确式子的个数是(
B
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需逐一回忆对应运算法则，对4个式子分别判断正误，最后统计正确式子的个数即可得到答案。解题思路如下：首先明确三个核心法则：1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1（底数不能为0）；2. 负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），注意负指数仅作用于它的直接底数；3. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，运算时要注意底数的符号。
【解析】
我们对4个式子逐一分析判断：
① 根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1$，该式正确；
② $(-1)^1$表示1个$-1$相乘，结果为$-1$，该式正确；
③ 根据负整数指数幂法则，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，因此$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$，原式等于$\frac{1}{3a^2}$的结论错误；
④ 根据同底数幂除法法则，$(-x)^5÷(-x)^3=(-x)^{5-3}=(-x)^2=x^2$，原式结果为$-x^2$的结论错误。
综上，正确的式子是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；同底数幂的除法
【点评】
本题侧重考查整数指数幂的基础运算法则，易错点在于混淆负指数幂的作用底数、忽略同底数幂除法运算的符号处理，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需逐一回忆对应运算法则，对4个式子分别判断正误，最后统计正确式子的个数即可得到答案。解题思路如下：首先明确三个核心法则：1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1（底数不能为0）；2. 负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），注意负指数仅作用于它的直接底数；3. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，运算时要注意底数的符号。
【解析】
我们对4个式子逐一分析判断：
① 根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1$，该式正确；
② $(-1)^1$表示1个$-1$相乘，结果为$-1$，该式正确；
③ 根据负整数指数幂法则，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$，因此$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$，原式等于$\frac{1}{3a^2}$的结论错误；
④ 根据同底数幂除法法则，$(-x)^5÷(-x)^3=(-x)^{5-3}=(-x)^2=x^2$，原式结果为$-x^2$的结论错误。
综上，正确的式子是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；同底数幂的除法
【点评】
本题侧重考查整数指数幂的基础运算法则，易错点在于混淆负指数幂的作用底数、忽略同底数幂除法运算的符号处理，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
