3.化简$\frac{y^2}{y-1} - y -1$的结果为.

3.$\frac{1}{y-1}$

【分析】
本题是分式与整式的减法运算，解题时先将整式部分看作分母为1的分式，再确定两个分式的最简公分母为$(y-1)$，通分后按照同分母分式的减法法则：分母不变，分子相减，最后对分子化简即可得到结果。
【解析】
解：$\frac{y^2}{y-1} - y -1$
$=\frac{y^2}{y-1} - (y+1)$
$=\frac{y^2}{y-1} - \frac{y+1}{1}$
$=\frac{y^2}{y-1} - \frac{(y+1)(y-1)}{y-1}$
$=\frac{y^2 - (y^2 -1)}{y-1}$
$=\frac{y^2 - y^2 +1}{y-1}$
$=\frac{1}{y-1}$
【答案】
$\frac{1}{y-1}$
【知识点】
分式的加减法，通分，平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的易错点是将整式通分时容易漏乘分母，以及去括号时忽略括号前的负号导致符号错误，计算时需注意细节。
【难度系数】
0.8

4.若分式$\frac{1}{x^2 -1} - \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1}=0$,则$x=$.

4.$\frac{2}{3}$

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：①先利用平方差公式分解分母$x^2-1$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，同时明确x的取值不能为±1（否则分母为0，分式无意义）；②方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为熟悉的一元一次方程；③解一元一次方程得到x的候选值；④必须将候选值代入最简公分母检验，确认不是增根后才是原方程的解。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{x^2 -1} - \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1}=0$
1. 分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，且$x≠±1$。
2. 去分母：方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，得：
$1 - 2(x-1) - (x+1) = 0$
3. 化简求解：
去括号得：$1 - 2x + 2 - x - 1 = 0$
合并同类项得：$2 - 3x = 0$
移项得：$3x = 2$
解得：$x = \frac{2}{3}$
4. 检验：将$x=\frac{2}{3}$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}-1)=-\frac{5}{9}≠0$，所以$x=\frac{2}{3}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法、平方差公式、一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的常规基础题，核心考查分式方程转化为整式方程的思路，易错点是去分母时符号处理错误，以及忘记验根导致把增根当作方程的解，解题时要注意这两个细节。
【难度系数】
0.7

5.用你发现的规律解答下列问题：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},···.$
(1)计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}$的值；
(2)探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+···+\frac{1}{n(n+1)}$的值(用含$n$的式子表示)；
(3)若$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+···+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1011}{2023}$,求$n$的值.

5.解:(1)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=1-\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{6}$.
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$
$=\frac{n}{n+1}$.
(3)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{n}{2n+1}=\frac{1\ 011}{2\ 023}$,
$\therefore n=1\ 011$.

【分析】
本题利用裂项相消的规律求解，解题思路如下：1. 观察题干给出的规律：形如$\frac{1}{a(a+1)}$的分式可拆分为$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$，相加时中间互为相反数的项会抵消，仅保留首尾两项；2. 第(1)问直接套用该裂项规律，抵消中间项后计算剩余两项即可；3. 第(2)问是第(1)问的一般化推广，沿用裂项相消的方法，抵消后化简得到含$n$的表达式；4. 第(3)问为裂项变式，分母是差为2的两个数的乘积，裂项后需乘以$\frac{1}{2}$保证等式成立，再用裂项相消化简得到关于$n$的分式方程，求解即可。
【解析】
(1) $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=1-\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2) $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$
$=\frac{n}{n+1}$
(3) $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})$
$=\frac{n}{2n+1}$
由题意得$\frac{n}{2n+1}=\frac{1011}{2023}$，解得$n=1011$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；(2)$\frac{n}{n+1}$；(3)$n=1011$
【知识点】
分式加减运算，裂项相消法，分式方程求解
【点评】
本题从特殊裂项示例出发，逐步延伸到一般规律和变式应用，侧重考查学生的观察归纳能力和分式运算能力，解题时需注意变式裂项的系数问题，避免漏乘导致计算错误。
【难度系数】
0.7