10.已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，则$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}$的值为.

10.$\frac{7}{2}$
【提示】$\because \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=3$，
$\therefore x-y=-3xy$.
$\therefore \frac{5x+xy-5y}{x-xy-y}=\frac{5(x-y)+xy}{x-y-xy}$
$=\frac{-15xy+xy}{-3xy-xy}=\frac{-14xy}{-4xy}=\frac{7}{2}$.

【分析】
本题无法直接求出x、y的具体数值，因此考虑采用整体代入的方法求解。首先对已知的分式等式进行通分变形，推导得到x-y与xy的数量关系；再将待求的分式进行整理，把分子、分母都转化为含有(x-y)和xy的形式，最后将推导得到的关系整体代入，约分后即可求出结果。
【解析】
首先对已知条件变形：
$\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy} = 3$
$\therefore y - x = 3xy$，即$x - y = -3xy$
再对待求分式变形，将$x-y$作为整体代入：
$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y} = \frac{5(x - y) + xy}{(x - y) - xy}$
把$x - y = -3xy$代入上式：
原式$=\frac{5×(-3xy) + xy}{-3xy - xy} = \frac{-15xy + xy}{-4xy} = \frac{-14xy}{-4xy}$
由于$\frac{1}{x}、\frac{1}{y}$有意义，因此$xy≠0$，可以约去公因式$xy$，得：
原式$=\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想、分式通分
【点评】
本题是分式求值的典型题型，解题核心是避免单独求解未知数，通过对已知条件和待求式的变形，利用整体代入简化计算，解题时要注意通分、变形过程中的符号问题。
【难度系数】
0.7

11.计算：$\dfrac{1}{a^2 - 4a + 4} - \dfrac{a}{a^2 - 4} + \dfrac{1}{2a + 4}$

11.解:$\frac{1}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a}{a^2 - 4} + \frac{1}{2a + 4}$
$=\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{a}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{2(a+2)}$
$=\frac{2(a+2)}{2(a+2)(a-2)^2}-\frac{2a(a-2)}{2(a+2)(a-2)^2}+\frac{(a-2)^2}{2(a+2)(a-2)^2}$
$=\frac{2a+4-2a^2+4a+a^2-4a+4}{2(a+2)(a-2)^2}$
$=\frac{-a^2+2a+8}{2(a+2)(a-2)^2}=-\frac{(a-4)(a+2)}{2(a+2)(a-2)^2}$
$=-\frac{a-4}{2(a-2)^2}$.

【分析】
本题为分式加减混合运算，解题思路可按分式加减的标准步骤展开：第一步先对每个分式的分母因式分解，便于确定最简公分母；第二步根据分解后的分母，找出三个分式的最简公分母，将异分母分式通分转化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变、分子相加减，注意去括号时符号的变化；第四步对分子合并同类项后因式分解，约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式。
【解析】
先对各分母因式分解：
$\dfrac{1}{a^2 - 4a + 4} - \dfrac{a}{a^2 - 4} + \dfrac{1}{2a + 4}$
$=\dfrac{1}{(a-2)^2}-\dfrac{a}{(a+2)(a-2)}+\dfrac{1}{2(a+2)}$
确定最简公分母为$2(a+2)(a-2)^2$，通分得：
$=\dfrac{2(a+2)}{2(a+2)(a-2)^2}-\dfrac{2a(a-2)}{2(a+2)(a-2)^2}+\dfrac{(a-2)^2}{2(a+2)(a-2)^2}$
同分母分式加减，合并分子：
$=\dfrac{2a+4-2a^2+4a+a^2-4a+4}{2(a+2)(a-2)^2}$
合并分子同类项后因式分解：
$=\dfrac{-a^2+2a+8}{2(a+2)(a-2)^2}=-\dfrac{(a-4)(a+2)}{2(a+2)(a-2)^2}$
约去公因式$a+2$（$a≠-2$）得：
$=-\dfrac{a-4}{2(a-2)^2}$
【答案】
$-\dfrac{a-4}{2(a-2)^2}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规考查题型，解题核心是准确对分母因式分解、确定最简公分母，通分、去括号过程中要重点注意符号变化，最终结果必须化为最简分式，计算时需细致，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.6

12.先化简，再求值：$\frac{x}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y) + \frac{2x + 2}{x - y} - 2$，其中$x$，$y$满足方程组$\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = -5. \end{cases}$

12.解:原式$=\frac{x}{(x-y)^2} · (x-y) + \frac{2x+2}{x-y} - \frac{2(x-y)}{x-y} = \frac{x+2x+2-2x+2y}{x-y}=\frac{x+2y+2}{x-y}$.
已知方程组$\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = -5, \end{cases}$
$\therefore$ 原式$=\frac{3+2}{-5}=-1$.

【分析】
本题是分式化简求值结合方程组的题型，解题思路分为两步：第一步先化简分式，首先利用完全平方公式对第一个分式的分母因式分解，先计算分式乘法并约分，再将所有项通分为分母是$(x-y)$的同分母分式，合并分子后化简；第二步观察化简结果，发现分子、分母恰好对应方程组给出的两个整式，直接整体代入数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值，可简化运算。
【解析】
解：先化简原式：
对$x^2-2xy+y^2$因式分解得$(x-y)^2$，则：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x}{(x-y)^2} · (x-y) + \frac{2x+2}{x-y} - 2\\&=\frac{x}{x-y} + \frac{2x+2}{x-y} - \frac{2(x-y)}{x-y}\\&=\frac{x + 2x + 2 - 2(x-y)}{x-y}\\&=\frac{x + 2x + 2 - 2x + 2y}{x-y}\\&=\frac{x + 2y + 2}{x-y}\end{aligned}$
已知$\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = -5, \end{cases}$，将两个式子整体代入化简结果：
$原式=\frac{3 + 2}{-5}=\frac{5}{-5}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题结合分式运算与方程组考查，化简时要注意常数项通分时分子需乘对应分母，避免漏乘出错；采用整体代入的方法求值，可有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.6

1.化简$(x-\frac{1}{y})÷(y-\frac{1}{x})$的结果是().

A.1
B.$\frac{x}{y}$
C.$\frac{y}{x}$
D.-1

1.B

【分析】
这是分式的混合运算题，解题思路遵循分式运算顺序：先算括号内的加减法，再算除法。首先处理两个括号里的异分母分式减法，通分后化为同分母分式相减，再将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），最后约去分子分母的公因式就能得到化简结果。
【解析】
解：先对括号内的式子通分计算：
第一个括号：$x-\frac{1}{y}=\frac{xy}{y}-\frac{1}{y}=\frac{xy-1}{y}$
第二个括号：$y-\frac{1}{x}=\frac{xy}{x}-\frac{1}{x}=\frac{xy-1}{x}$
再将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{xy-1}{y}÷\frac{xy-1}{x}=\frac{xy-1}{y}×\frac{x}{xy-1}$
约去分子分母的公因式$xy-1$（$xy≠1$），可得结果为$\frac{x}{y}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的通分；分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的规则，解题的关键是正确完成异分母分式的通分，同时要注意除法转乘法时分子分母的位置不要写反，约分时要准确识别公因式。
【难度系数】
0.8

2.(2024,河北,13)已知A为整式,若计算$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$,则A=().

A.x
B.y
C.$x+y$
D.$x-y$

2.A

【分析】
本题是已知分式减法运算的结果，求整式A的题型。解题思路如下：首先对所有分式的分母进行因式分解，确定最简公分母；再通过等式两边同乘最简公分母的方式消去分母，将分式等式转化为整式方程；最后解整式方程即可求出A的值，计算过程中要注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
先对各分式的分母因式分解，原等式可化为：
$\frac{A}{y(x+y)} - \frac{y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{xy}$
由分母不为0可得$x≠0,y≠0,x+y≠0$，等式两边同时乘以最简公分母$xy(x+y)$，消去分母得：
$xA - y^2 = (x-y)(x+y)$
利用平方差公式展开右边得：
$xA - y^2 = x^2 - y^2$
移项合并同类项：
$xA = x^2$
两边同时除以$x$（$x≠0$），得$A=x$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、分式运算、整式化简
【点评】
本题是分式运算的基础常考题型，核心是通过去分母将分式问题转化为整式问题求解，解题关键是准确找到最简公分母，计算时注意不要漏乘项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8