7.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，点A，B为切点，点C，D在$\odot O$上.若$∠ APB＝102°$，则$∠ A＋∠ C＝$.

第7题图 第8题图 第9题图

7.$219°$

【分析】
解题时首先观察已知条件：PA、PB是$\odot O$的切线，可联想到切线长定理得到PA=PB，从而在等腰$△ PAB$中求出$∠ PAB$的度数；再结合圆内接四边形的性质，可知其对角互补，即$∠ DAB$与$∠ C$的和为$180°$；最后将所求的$∠ A$拆分为$∠ PAB$与$∠ DAB$的和，代入即可求出$∠ A+∠ C$的总度数。
【解析】
连接$AB$，
$\because PA、PB$是$\odot O$的切线，$A、B$为切点，
$\therefore PA=PB$，
$\therefore ∠ PAB=∠ PBA$，
$\because ∠ APB=102°$，
$\therefore ∠ PAB=(180°-∠ APB)÷2=(180°-102°)÷2=39°$，
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ DAB + ∠ C = 180°$，
又$\because$题目中的$∠ A$为$∠ DAP$，$∠ DAP = ∠ DAB + ∠ PAB$，
$\therefore ∠ A + ∠ C = ∠ DAB + ∠ PAB + ∠ C = (∠ DAB + ∠ C) + ∠ PAB = 180° + 39° = 219°$。
【答案】
$219°$
【知识点】
切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过连接$AB$构造等腰三角形和圆内接四边形，将所求角度拆分为已知可求的角度和，结合相关性质即可求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65

8.如图，小明同学测量一张光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3 cm，则此光盘的直径是 cm.

8.$6\sqrt{3}$

【分析】
解题时先结合圆的切线相关性质分析图形：光盘的边缘为圆，直尺、三角板的斜边都是该圆的切线，交点为A。我们设圆心为O，连接切点B与圆心O，根据切线性质可得OB与直尺垂直，即△OAB为直角三角形。再结合切线长定理可知OA平分两条切线的夹角，结合已知的60°角可推导∠OAB的度数，最后通过解直角三角形求出圆的半径，即可得到光盘直径。
【解析】
设光盘的圆心为O，连接OA、OB。
∵ 直尺和三角板的斜边都是圆O的切线，A为两条切线的公共交点，B是圆O与直尺的切点，
∴ OB⊥AB，且OA平分两条切线所夹钝角的度数。
由图可知三角板与直尺的夹角为60°，因此两条切线的锐角夹角为60°，可得：
$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-60°)=60°$
在Rt△OAB中，$∠ OBA=90°$，AB=3cm，
由$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$，代入数值：
$\tan60°=\frac{OB}{3}$，解得$OB=3\sqrt{3}\mathrm{ cm}$
因此光盘的直径为$2× OB=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{ cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题结合生活测量场景考查几何知识的应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，将已知条件和待求量转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.65

9.如图，四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，切点分别为E，F，G，H.连接OA，OB，OC，OD.若$AB=5$，$BC=6$，$CD=4$，则DA的长为；若$∠ AOD=75°$，则$∠ BOC=$.

9.3 $105°$

【分析】
本题分为两小问求解：①求DA的长度：回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边之和相等，直接代入已知边长即可列等式计算DA。②求∠BOC的度数：首先根据切线长定理可知，OA、OB、OC、OD分别平分四边形ABCD的四个内角，结合四边形内角和为360°，可推导出∠OAD+∠ODA与∠OBC+∠OCB的和为180°，再结合三角形内角和定理，即可得到∠AOD与∠BOC互补，代入已知角度即可算出∠BOC。
【解析】
1. 计算DA的长：
∵ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形
∴ 根据圆外切四边形的性质，对边和相等，即 $ AB + CD = BC + DA $
将AB=5，BC=6，CD=4代入得：$ 5 + 4 = 6 + DA $
解得 $ DA = 3 $
2. 计算∠BOC的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角
∴ OA平分∠BAD，OD平分∠ADC，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴ $ ∠ OAD=\frac{1}{2}∠ BAD $，$ ∠ ODA=\frac{1}{2}∠ ADC $，$ ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC $，$ ∠ OCB=\frac{1}{2}∠ BCD $
∵ 四边形内角和为360°，即 $ ∠ BAD+∠ ADC+∠ ABC+∠ BCD=360° $
等式两边同除以2得：$ \frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ADC)+\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=180° $
即 $ (∠ OAD+∠ ODA)+(∠ OBC+∠ OCB)=180° $
在△AOD中，$ ∠ AOD=180°-(∠ OAD+∠ ODA) $
在△BOC中，$ ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB) $
两式相加得：$ ∠ AOD+∠ BOC=360°-[(∠ OAD+∠ ODA)+(∠ OBC+∠ OCB)]=360°-180°=180° $
已知$ ∠ AOD=75° $，代入得 $ ∠ BOC=180°-75°=105° $
【答案】
3；$ 105° $
【知识点】
圆外切四边形的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握圆外切四边形的相关性质，以及切线长定理的应用，通过角的转化即可快速求解，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.7

10.如图，$\odot O$与$△ ADE$各边所在的直线都相切，点$C$，$M$，$N$为切点，$DE⊥ AE$.
(1)若$∠ EAD=30°$，求$∠ DOE$的度数.
(2)若$AE=8$，$AD=10$，求$\odot O$的半径.

10.(1)连接 $OC,OM,ON$.
$\because∠ EAD=30°$,$AC,AN,DE$ 为圆的切线,
$\therefore∠ CON=150°,∠ COD=∠ DOM,∠ MOE=∠ EON$,
$\therefore∠ CON=2∠ DOE,\therefore∠ DOE=75°$.
(2)连接 $OM,ON$.
四边形 $OMEN$ 为正方形,$\therefore OM=EN$,
由 $DE⊥ AE$,$AE=8$,$AD=10$,根据勾股定理求得 $DE=6$,
由切线长定理知 $AC=AN$,$DM=DC$,$EM=EN$,
$\therefore AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=2AN=24$,
$\therefore AN=12,EN=4,\therefore\odot O$ 的半径为 4.

【分析】
(1) 求∠DOE的度数时，先结合切线的性质，连接过切点的半径OC、OM、ON，可知OD平分∠COM，OE平分∠MON，因此∠DOE是∠CON的一半；再通过四边形OCAN的内角和求出∠CON的度数，即可算出∠DOE。
(2) 求⊙O的半径时，先根据切线性质和DE⊥AE，可证四边形OMEN是正方形，即半径等于EN；先利用勾股定理求出DE的长度，再结合切线长定理把△ADE的周长转化为2倍AN的长度，求出AN后减去AE的长度即可得到EN，也就是半径。
【解析】
(1) 连接$OC,OM,ON$。
∵ $AC,AN,DE$为$\odot O$的切线，$C,M,N$为切点，
∴ $OC⊥AC$，$ON⊥AN$，$OD$平分$∠COM$，$OE$平分$∠MON$，即$∠COD=∠DOM$，$∠MOE=∠EON$。
在四边形$OCAN$中，$∠OCA=∠ONA=90°$，$∠EAD=30°$，
∴ $∠CON=360°-90°-90°-30°=150°$。
∵ $∠CON=∠COD+∠DOM+∠MOE+∠EON=2(∠DOM+∠MOE)=2∠DOE$，
∴ $∠DOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
(2) 连接$OM,ON$。
∵ $DE,AE$都是$\odot O$的切线，$M,N$为切点，
∴ $OM⊥DE$，$ON⊥AE$，结合$DE⊥AE$，可得$∠OME=∠MEN=∠ONE=90°$，
∴ 四边形$OMEN$是矩形，又$OM=ON$，
∴ 四边形$OMEN$是正方形，即$OM=EN$。
在$Rt△ADE$中，$AE=8$，$AD=10$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
根据切线长定理得$AC=AN$，$DM=DC$，$EM=EN$，
∴ $△ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=AC+AN=2AN$，
代入数据得$10+6+8=2AN$，解得$AN=12$，
∴ $EN=AN-AE=12-8=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型题型，解题核心是熟练运用切线的性质和切线长定理转化角、线段的数量关系，第二问通过切线长定理将三角形周长转化为两倍切线长是解题的突破口，有助于巩固圆的切线相关的基础应用。
【难度系数】
0.65

11.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，AC是$\odot O$的直径，$AC=AP$，连接OP交AB于点D，连接PC交$\odot O$于点E，连接DE.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ PDA$.
(2)求$\frac{BD}{DE}$的值.

11.(1)证明:连接 $OB$.
$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径,$PA$ 和 $PB$ 为 $\odot O$ 的切线,$\therefore∠ ABC=∠ PAC=∠ PDA=90°$,
$\therefore∠ BAC+∠ ACB=∠ BAC+∠ PAD,\therefore∠ ACB=∠ PAD$,
$\because AC=AP,\therefore△ ABC≌△ PDA(\mathrm{AAS})$.
(2)连接 $OE,AE,BE$,延长 $BE$ 交 $OP$ 于点 $J$.
$\because∠ AEC=90°,AC=AP,\therefore CE=PE$,
$\because OP⊥ AB,AB⊥ BC,\therefore OP// BC$,
$\therefore∠ BCE=∠ JPE,\therefore△ CEB≌△ PEJ(\mathrm{ASA}),\therefore BE=EJ$.
$\because∠ ABE=∠ ACE=45°,\therefore∠ ABE=∠ DJB=45°$,
$\therefore DB=DJ ,\therefore DE⊥ BE$,
$\therefore△ BDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore\dfrac{BD}{DE}=\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△PDA，先结合已知条件找全等所需的等量关系：由直径的性质得∠ABC=90°，由切线的性质得∠PAC=90°，结合切线长定理可推得OP⊥AB，即∠PDA=90°，得到三个直角相等；再利用同角的余角相等推导∠ACB=∠PAD，结合已知AC=AP，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 求$\frac{BD}{DE}$的比值，先添加辅助线构造全等和特殊三角形：连接AE、BE，延长BE交OP于J。首先由直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一得E是PC中点；再由OP、BC均垂直AB推得OP//BC，证明△CEB≌△PEJ得BE=EJ；最后通过角度推导证明△BDE是等腰直角三角形，即可得到线段比值。
【解析】
(1) 证明：连接$OB$。
$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径，$PA$ 和 $PB$ 为 $\odot O$ 的切线，
$\therefore∠ ABC=∠ PAC=90°$，且由切线长定理得$OP$垂直平分$AB$，即$∠ PDA=90°$，
$\therefore∠ BAC+∠ ACB=90°，∠ BAC+∠ PAD=90°$，
$\therefore∠ ACB=∠ PAD$，
在$△ ABC$和$△ PDA$中：
$\begin{cases}∠ABC=∠PDA \\∠ACB=∠PAD \\AC=AP\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ PDA(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：连接 $OE,AE,BE$，延长 $BE$ 交 $OP$ 于点 $J$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，$\therefore∠ AEC=90°$，即$AE⊥PC$，
又$\because AC=AP$，由等腰三角形三线合一得$CE=PE$，
$\because OP⊥ AB,AB⊥ BC$，$\therefore OP// BC$，
$\therefore∠ BCE=∠ JPE$，
在$△ CEB$和$△ PEJ$中：
$\begin{cases}∠BCE=∠JPE \\CE=PE \\∠CEB=∠PEJ\end{cases}$
$\therefore△ CEB≌△ PEJ(\mathrm{ASA}),\therefore BE=EJ$。
$\because$同弧所对圆周角相等，$\therefore∠ ABE=∠ ACE$，在等腰$\mathrm{Rt}△ ACP$中$∠ACE=45°$，
$\therefore∠ ABE=∠ DJB=45°$，
$\therefore DB=DJ$，$△ BDJ$为等腰直角三角形，结合$BE=EJ$，由等腰三角形三线合一得$DE⊥ BE$，
$\therefore△ BDE$ 为等腰直角三角形，
$\therefore BD=\sqrt{2}DE$，即$\dfrac{BD}{DE}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质、三角形全等和特殊三角形的性质，解题关键是合理添加辅助线，梳理线段和角度的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6