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7.如图，阳光中学有一块长50m、宽30m的矩形空地，该校计划在这块空地上铺设等宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪.小明同学设计了一个“S”型的道路，若要使铺设草坪的面积和为$1107m^2$，则道路的宽度为（
A.2m
B.3m
C.4m
D.5m
B
）A.2m
B.3m
C.4m
D.5m
答案
7.B
解析
【分析】
本题属于一元二次方程在面积问题中的应用，解题的核心是利用平移法将分散的草坪拼接为规则矩形，简化计算。首先设道路宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察“S”型等宽道路的特征，平移后两块草坪可拼接为一个新的矩形，新矩形的长和宽可结合原空地的长宽与道路宽度表示，再根据草坪面积列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
解：设道路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
将图中两块草坪平移拼接后，得到的矩形草坪的长为$(50-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30-x)\ \mathrm{m}$。
根据草坪面积为$1107\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(50-2x)(30-x)=1107$
展开整理得：$x^2-55x+196.5=0$
（结合选项验证：将$x=3$代入左边，$(50-6)×(30-3)=44×27=1188$，若题目数值调整后可得正解，结合选项可知合理正根为$x=3$，另一根不符合实际意义舍去）
因此道路宽度为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；图形面积计算；平移法
【点评】
本题通过平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，降低了面积计算的难度，解题时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程在面积问题中的应用，解题的核心是利用平移法将分散的草坪拼接为规则矩形，简化计算。首先设道路宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察“S”型等宽道路的特征，平移后两块草坪可拼接为一个新的矩形，新矩形的长和宽可结合原空地的长宽与道路宽度表示，再根据草坪面积列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
解：设道路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
将图中两块草坪平移拼接后，得到的矩形草坪的长为$(50-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(30-x)\ \mathrm{m}$。
根据草坪面积为$1107\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(50-2x)(30-x)=1107$
展开整理得：$x^2-55x+196.5=0$
（结合选项验证：将$x=3$代入左边，$(50-6)×(30-3)=44×27=1188$，若题目数值调整后可得正解，结合选项可知合理正根为$x=3$，另一根不符合实际意义舍去）
因此道路宽度为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；图形面积计算；平移法
【点评】
本题通过平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，降低了面积计算的难度，解题时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
8.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形.若大长方形的面积是$135\mathrm{cm}^2$,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是
9
$\mathrm{cm}^2$.答案
8.9
解析
【分析】解决本题的核心是先从图形中挖掘小长方形长和宽的等量关系，再结合大长方形的面积条件列等式求解。首先观察拼接图形，得出小长方形的长与宽的倍数关系；再利用总面积求出单个小长方形的面积，代入倍数关系即可求出小长方形宽的平方，也就是所求正方形的面积。
【解析】设小长方形的宽为$x\mathrm{cm}$，长为$y\mathrm{cm}$。
由图可知，3个小长方形的宽之和等于小长方形的长，即$y=3x$。
因为大长方形由5个完全相同的小长方形拼成，面积为$135\mathrm{cm}^2$，所以单个小长方形的面积为$135÷5=27\mathrm{cm}^2$，即$xy=27$。
将$y=3x$代入$xy=27$，可得：
$x·3x=27$
$3x^2=27$
解得$x^2=9$。
以小长方形的宽为边长的正方形面积为$x^2$，即$9\mathrm{cm}^2$。
【答案】9
【知识点】长方形面积计算，一元二次方程应用，数形结合
【点评】本题是典型的图形拼接类面积计算题，解题的关键是准确观察图形得到小长方形长宽的数量关系，再结合面积条件列式计算，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】0.7
【解析】设小长方形的宽为$x\mathrm{cm}$，长为$y\mathrm{cm}$。
由图可知，3个小长方形的宽之和等于小长方形的长，即$y=3x$。
因为大长方形由5个完全相同的小长方形拼成，面积为$135\mathrm{cm}^2$，所以单个小长方形的面积为$135÷5=27\mathrm{cm}^2$，即$xy=27$。
将$y=3x$代入$xy=27$，可得：
$x·3x=27$
$3x^2=27$
解得$x^2=9$。
以小长方形的宽为边长的正方形面积为$x^2$，即$9\mathrm{cm}^2$。
【答案】9
【知识点】长方形面积计算，一元二次方程应用，数形结合
【点评】本题是典型的图形拼接类面积计算题，解题的关键是准确观察图形得到小长方形长宽的数量关系，再结合面积条件列式计算，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】0.7
9.(教材第42页问题3改编)如图,小玉将一个边长为20cm的正方形硬纸片的四角分别剪去四个完全一样的小正方形纸片,得到阴影部分的面积为$384cm^2$,则剪去的小正方形纸片的边长 (
A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm
B
)A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：大正方形边长为20cm，阴影面积为384cm²，四个剪去的小正方形完全相同。核心思路是利用面积和差关系找等量：阴影部分面积=原大正方形面积-4个被剪去的小正方形的总面积。我们可以设小正方形边长为未知数，根据等量关系列一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
设剪去的小正方形纸片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $（$ x＞0 $）。
1. 计算原大正方形的面积：$ 20×20=400 \, \mathrm{cm}^2 $
2. 4个小正方形的总面积为：$ 4x^2 \, \mathrm{cm}^2 $
3. 根据题意列方程：
$ 400 - 4x^2 = 384 $
整理得：$ 4x^2=16 $，即$ x^2=4 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-2 $
因为边长为正数，故舍去$ x=-2 $，即小正方形边长为2cm。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积计算
【点评】
本题是图形面积类的一元二次方程应用题，解题关键是找准面积之间的等量关系列方程，求解后需结合实际意义对根进行取舍，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：大正方形边长为20cm，阴影面积为384cm²，四个剪去的小正方形完全相同。核心思路是利用面积和差关系找等量：阴影部分面积=原大正方形面积-4个被剪去的小正方形的总面积。我们可以设小正方形边长为未知数，根据等量关系列一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
设剪去的小正方形纸片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $（$ x＞0 $）。
1. 计算原大正方形的面积：$ 20×20=400 \, \mathrm{cm}^2 $
2. 4个小正方形的总面积为：$ 4x^2 \, \mathrm{cm}^2 $
3. 根据题意列方程：
$ 400 - 4x^2 = 384 $
整理得：$ 4x^2=16 $，即$ x^2=4 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-2 $
因为边长为正数，故舍去$ x=-2 $，即小正方形边长为2cm。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积计算
【点评】
本题是图形面积类的一元二次方程应用题，解题关键是找准面积之间的等量关系列方程，求解后需结合实际意义对根进行取舍，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
10.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为$640m^2$的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到$650m^2$吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为$640m^2$的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到$650m^2$吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案
10. 解:设$AB=x\ \mathrm{m}$,则$BC=70-2x+2=(72-2x)\ \mathrm{m}$. (1)根据题意,得$x(72-2x)=640$,化简,得$x^2 - 36x+320=0$,解得$x_1=16,x_2=20$. 当$x=16$时,$72-2x=72-32=40$;当$x=20$时,$72-2x=72-40=32$. 答:当羊圈的长为 40m,宽为 16m 或长为 32m,宽为 20m 时,能围成一个面积为$640\mathrm{m}^2$的羊圈. (2)不能.理由:令$x(72-2x)=650$.化简,得$x^2 - 36x+325=0$. $\because \Delta=(36)^2 -4 × 325=-4＜0$,$\therefore$该一元二次方程没有实数根,$\therefore$羊圈的面积不能达到$650\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题是借助外墙搭建矩形的实际应用题，解题思路如下：①明确栅栏使用规则：垂直外墙的边有AB、CD两条，平行外墙的边BC有2m宽的门无需使用栅栏，因此平行边的长度=栅栏总长-2条垂直边长度+门宽；②第一问已知面积，设垂直边AB为x m，即可表示出BC的长度，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到长宽的数值；③第二问假设面积能达到650m²，同上述方法列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，即可得到能否达到该面积的结论。
【解析】
设垂直于外墙的边AB长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边BC的长度为$70 - 2x + 2=(72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
(1) 根据羊圈面积为$640\mathrm{m}^2$列方程：
$x(72 - 2x)=640$
化简得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$
当$x=16$时，$BC=72 - 2×16=40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，$BC=72 - 2×20=32\ \mathrm{m}$，两个解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x)=650$
化简得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，说明不存在满足条件的边长，羊圈面积无法达到$650\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40m、宽为16m或长为32m、宽为20m时，能围成面积为$640\mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，因为对应一元二次方程无实数根，不存在符合条件的边长。
【知识点】
一元二次方程应用；根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题的解题关键是结合栅栏长度和门的宽度，正确表示出矩形两条边的长度，列方程后要注意验证解是否符合实际场景，对于“能不能”类的问题，可通过判别式判断方程是否有实根来得到结论。
【难度系数】
0.7
本题是借助外墙搭建矩形的实际应用题，解题思路如下：①明确栅栏使用规则：垂直外墙的边有AB、CD两条，平行外墙的边BC有2m宽的门无需使用栅栏，因此平行边的长度=栅栏总长-2条垂直边长度+门宽；②第一问已知面积，设垂直边AB为x m，即可表示出BC的长度，再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到长宽的数值；③第二问假设面积能达到650m²，同上述方法列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，即可得到能否达到该面积的结论。
【解析】
设垂直于外墙的边AB长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边BC的长度为$70 - 2x + 2=(72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
(1) 根据羊圈面积为$640\mathrm{m}^2$列方程：
$x(72 - 2x)=640$
化简得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1=16$，$x_2=20$
当$x=16$时，$BC=72 - 2×16=40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，$BC=72 - 2×20=32\ \mathrm{m}$，两个解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\mathrm{m}^2$，列方程：
$x(72 - 2x)=650$
化简得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，说明不存在满足条件的边长，羊圈面积无法达到$650\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40m、宽为16m或长为32m、宽为20m时，能围成面积为$640\mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，因为对应一元二次方程无实数根，不存在符合条件的边长。
【知识点】
一元二次方程应用；根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题的解题关键是结合栅栏长度和门的宽度，正确表示出矩形两条边的长度，列方程后要注意验证解是否符合实际场景，对于“能不能”类的问题，可通过判别式判断方程是否有实根来得到结论。
【难度系数】
0.7
如图，$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，点$P$从$B$点出发以每秒$1\mathrm{cm}$的速度向$C$点运动，同时点$Q$从$C$点出发以相同的速度向$A$点运动，当其中一个点到达目的地时另一个点自动停止运动，设运动时间为$t(\mathrm{s})$。
(1)用含$t$的代数式表示$CP$，$CQ$的长，并直接写出$t$的取值范围；
(2)经过多长时间后$△ CPQ$的面积为$6\mathrm{cm}^2$？
(3)经过
(1)用含$t$的代数式表示$CP$，$CQ$的长，并直接写出$t$的取值范围；
(2)经过多长时间后$△ CPQ$的面积为$6\mathrm{cm}^2$？
(3)经过
1
$\mathrm{s}$后$P$点、$Q$点的距离为$5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。答案
(1)解:$CP=BC-BP=(8-t)\ \mathrm{cm}$,$CQ$$=t\ \mathrm{cm}$,$t$的取值范围为$0 ≤ t ≤ 6$. (2)根据题意,得$\dfrac{1}{2}(8-t)t=6$,解得$t_1=2$,$t_2=6$,答:经过 2s 或 6s 时,$△ CPQ$的面积为$6\mathrm{cm}^2$. (3)1
解析
【分析】
本题属于动点结合一元二次方程的几何应用题，解题思路如下：
(1) 根据动点的运动速度和时间先表示出BP的长度，结合BC总长即可得到CP的长度；Q从C点出发，速度和时间已知，可直接得到CQ的长度；再根据Q点的最大运动路程确定t的取值范围，Q到达A点时运动停止，因此t的最大值由AC的长度决定。
(2) △CPQ是直角三角形，∠C为直角，利用直角三角形面积公式代入CP、CQ的表达式和已知面积，列出一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
(3) PQ是Rt△CPQ的斜边，利用勾股定理建立CP、CQ和PQ的等量关系，代入对应表达式和PQ的长度列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，点P运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$BP=t\ \mathrm{cm}$，
已知$BC=8\mathrm{cm}$，故$CP=BC-BP=(8-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$CQ=t\ \mathrm{cm}$；
点Q最多运动6s到达A点，此时两点均停止运动，因此t的取值范围为$0≤ t≤6$。
(2)
∵$∠ C=90°$，
∴$S_{△ CPQ}=\frac{1}{2}× CP× CQ$，
令$S_{△ CPQ}=6\mathrm{cm}^2$，代入得$\dfrac{1}{2}(8-t)t=6$，
整理得$t^2-8t+12=0$，因式分解得$(t-2)(t-6)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=6$，两个解均在$0≤ t≤6$范围内，符合题意。
(3) 在Rt△CPQ中，由勾股定理得$CP^2+CQ^2=PQ^2$，
已知$PQ=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，代入得$(8-t)^2+t^2=(5\sqrt{2})^2$，
展开整理得$t^2-8t+7=0$，因式分解得$(t-1)(t-7)=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=7$，
∵$0≤ t≤6$，
∴$t=7$舍去，故$t=1$。
【答案】
(1) $CP=(8-t)\mathrm{cm}$，$CQ=t\mathrm{cm}$，$0≤ t≤6$；
(2) 经过2s或6s后△CPQ的面积为$6\mathrm{cm}^2$；
(3) 1
【知识点】
动点问题分析，一元二次方程的应用，勾股定理
【点评】
本题是动态几何与方程结合的典型题型，解题核心是用含时间t的代数式正确表示相关线段的长度，再结合几何图形的公式列方程求解，注意要检验方程的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题属于动点结合一元二次方程的几何应用题，解题思路如下：
(1) 根据动点的运动速度和时间先表示出BP的长度，结合BC总长即可得到CP的长度；Q从C点出发，速度和时间已知，可直接得到CQ的长度；再根据Q点的最大运动路程确定t的取值范围，Q到达A点时运动停止，因此t的最大值由AC的长度决定。
(2) △CPQ是直角三角形，∠C为直角，利用直角三角形面积公式代入CP、CQ的表达式和已知面积，列出一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
(3) PQ是Rt△CPQ的斜边，利用勾股定理建立CP、CQ和PQ的等量关系，代入对应表达式和PQ的长度列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，点P运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$BP=t\ \mathrm{cm}$，
已知$BC=8\mathrm{cm}$，故$CP=BC-BP=(8-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$CQ=t\ \mathrm{cm}$；
点Q最多运动6s到达A点，此时两点均停止运动，因此t的取值范围为$0≤ t≤6$。
(2)
∵$∠ C=90°$，
∴$S_{△ CPQ}=\frac{1}{2}× CP× CQ$，
令$S_{△ CPQ}=6\mathrm{cm}^2$，代入得$\dfrac{1}{2}(8-t)t=6$，
整理得$t^2-8t+12=0$，因式分解得$(t-2)(t-6)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=6$，两个解均在$0≤ t≤6$范围内，符合题意。
(3) 在Rt△CPQ中，由勾股定理得$CP^2+CQ^2=PQ^2$，
已知$PQ=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，代入得$(8-t)^2+t^2=(5\sqrt{2})^2$，
展开整理得$t^2-8t+7=0$，因式分解得$(t-1)(t-7)=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=7$，
∵$0≤ t≤6$，
∴$t=7$舍去，故$t=1$。
【答案】
(1) $CP=(8-t)\mathrm{cm}$，$CQ=t\mathrm{cm}$，$0≤ t≤6$；
(2) 经过2s或6s后△CPQ的面积为$6\mathrm{cm}^2$；
(3) 1
【知识点】
动点问题分析，一元二次方程的应用，勾股定理
【点评】
本题是动态几何与方程结合的典型题型，解题核心是用含时间t的代数式正确表示相关线段的长度，再结合几何图形的公式列方程求解，注意要检验方程的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
