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1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（
），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m²，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为（
A.$(x+1)(x+2)=18$
B.$x^2 - 3x + 16 = 0$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$x^2 + 3x + 16 = 0$
），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m²，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为（C
）A.$(x+1)(x+2)=18$
B.$x^2 - 3x + 16 = 0$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$x^2 + 3x + 16 = 0$
答案
1.C
解析
【分析】
要列方程首先要找到等量关系，本题的等量关系是剩余长方形空地的面积为18m²。已知原正方形边长为x m，一边减少1m后剩余长度为(x-1)m，另一边减少2m后剩余长度为(x-2)m，剩余空地为长方形，结合长方形面积=长×宽的公式，代入对应量就能列出方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，
剩余空地为长方形，它的两条邻边长度分别为：减少1m后的边长$(x-1)\mathrm{m}$，减少2m后的边长$(x-2)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，已知剩余面积为18m²，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$，对应选项C。
其余选项验证：将上述方程展开整理得$x^2-3x-16=0$，可知B、D错误；A选项是边长加1、加2，不符合“边长减少”的题意，也错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用、长方形面积计算、列代数式
【点评】
本题属于图形面积类基础题，解题核心是正确表示出变化后图形的边长，结合对应的面积公式找到等量关系列方程即可，审题时要注意区分“增加”和“减少”对应的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要列方程首先要找到等量关系，本题的等量关系是剩余长方形空地的面积为18m²。已知原正方形边长为x m，一边减少1m后剩余长度为(x-1)m，另一边减少2m后剩余长度为(x-2)m，剩余空地为长方形，结合长方形面积=长×宽的公式，代入对应量就能列出方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，
剩余空地为长方形，它的两条邻边长度分别为：减少1m后的边长$(x-1)\mathrm{m}$，减少2m后的边长$(x-2)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，已知剩余面积为18m²，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$，对应选项C。
其余选项验证：将上述方程展开整理得$x^2-3x-16=0$，可知B、D错误；A选项是边长加1、加2，不符合“边长减少”的题意，也错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用、长方形面积计算、列代数式
【点评】
本题属于图形面积类基础题，解题核心是正确表示出变化后图形的边长，结合对应的面积公式找到等量关系列方程即可，审题时要注意区分“增加”和“减少”对应的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2.(洛阳市洛宁县期末)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步?若设阔(宽)为x步,则可列方程
$x(x+12)=864$
.答案
2. $x(x+12)=864$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先明确核心等量关系：矩形面积=长×宽，已知面积为864平方步。题目设宽为x步，根据“宽比长少12步”可得长比宽多12步，即可用含x的式子表示出长，最后将长、宽、面积代入等量关系就能得到方程。
【解析】
解：设阔（宽）为x步，
∵宽比长少12步，
∴长为$(x+12)$步，
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，
代入得：$x(x+12)=864$。
【答案】
$x(x+12)=864$
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题依托古代数学问题考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先明确核心等量关系：矩形面积=长×宽，已知面积为864平方步。题目设宽为x步，根据“宽比长少12步”可得长比宽多12步，即可用含x的式子表示出长，最后将长、宽、面积代入等量关系就能得到方程。
【解析】
解：设阔（宽）为x步，
∵宽比长少12步，
∴长为$(x+12)$步，
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，
代入得：$x(x+12)=864$。
【答案】
$x(x+12)=864$
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题依托古代数学问题考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3.按照规划,要在生态园的一块空地上修建如图所示长为20米、宽为10米的矩形池塘,并且在池塘四周修建宽度相等的垂钓区,使得池塘和垂钓区的总面积为264平方米.设垂钓区的宽度为x米,则可列方程为(
A.$(20+x)(10+x)=264$
B.$(20+2x)(10+2x)=264$
C.$(20-2x)(10-2x)=264$
D.$(20-x)(10-x)=264$
B
)A.$(20+x)(10+x)=264$
B.$(20+2x)(10+2x)=264$
C.$(20-2x)(10-2x)=264$
D.$(20-x)(10-x)=264$
答案
3.B
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决图形面积的题目，解题思路如下：首先明确总面积对应的是包含池塘和垂钓区的外部大矩形的面积，我们需要先求出这个大矩形的长和宽。因为垂钓区在池塘四周，宽度均为x，所以大矩形的长需要在池塘长的基础上加上左右两侧的垂钓区宽度，大矩形的宽需要在池塘宽的基础上加上上下两侧的垂钓区宽度，最后根据矩形面积公式列方程即可。
【解析】
已知垂钓区宽度为x米：
1. 外部大矩形的长 = 池塘的长 + 左右两侧垂钓区宽度 = $20 + 2x$（米）
2. 外部大矩形的宽 = 池塘的宽 + 上下两侧垂钓区宽度 = $10 + 2x$（米）
3. 根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知总面积为264平方米，因此可列方程：
$(20+2x)(10+2x)=264$
所以选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于图形面积类基础应用题，解题的核心是正确表示出外围大矩形的长和宽，需注意四周均有等宽的垂钓区，因此长和宽都要加上2倍的垂钓区宽度，避免出现漏乘2的错误。
【难度系数】
0.8
这是一道利用一元二次方程解决图形面积的题目，解题思路如下：首先明确总面积对应的是包含池塘和垂钓区的外部大矩形的面积，我们需要先求出这个大矩形的长和宽。因为垂钓区在池塘四周，宽度均为x，所以大矩形的长需要在池塘长的基础上加上左右两侧的垂钓区宽度，大矩形的宽需要在池塘宽的基础上加上上下两侧的垂钓区宽度，最后根据矩形面积公式列方程即可。
【解析】
已知垂钓区宽度为x米：
1. 外部大矩形的长 = 池塘的长 + 左右两侧垂钓区宽度 = $20 + 2x$（米）
2. 外部大矩形的宽 = 池塘的宽 + 上下两侧垂钓区宽度 = $10 + 2x$（米）
3. 根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知总面积为264平方米，因此可列方程：
$(20+2x)(10+2x)=264$
所以选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于图形面积类基础应用题，解题的核心是正确表示出外围大矩形的长和宽，需注意四周均有等宽的垂钓区，因此长和宽都要加上2倍的垂钓区宽度，避免出现漏乘2的错误。
【难度系数】
0.8
4.现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如图所示，要使种植花草的面积为$864\mathrm{m}^2$，那么小道的宽度应是
2
m.答案
4.2
解析
【分析】
这是典型的矩形区域修建道路的面积问题，可通过平移法简化计算：将所有种植花草的区域拼接为一个新的规则矩形，即可快速表示出种植面积。首先设小道宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察图形可知竖直方向有2条宽为$x$的小道，因此拼接后新矩形的长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$；水平方向有1条宽为$x$的小道，因此新矩形的宽为$(26-x)\ \mathrm{m}$，再根据种植面积为$864\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设小道的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
根据平移法，剩余种植花草的区域可拼接为长$(40-2x)\ \mathrm{m}$、宽$(26-x)\ \mathrm{m}$的矩形，由题意得：
$(40-2x)(26-x) = 864$
展开并整理方程：
$1040 - 40x - 52x + 2x^2 = 864$
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
两边同除以2得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=44$。
由于小道宽度不可能超过矩形花园的宽度26m，因此$x=44$不符合实际意义，舍去。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际方程验根
【点评】
本题属于面积类一元二次方程的常规应用题，利用平移法将分散的种植区域转化为规则矩形是简化问题的核心，解题时要注意结合实际场景的取值范围对方程的根进行筛选，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的矩形区域修建道路的面积问题，可通过平移法简化计算：将所有种植花草的区域拼接为一个新的规则矩形，即可快速表示出种植面积。首先设小道宽度为$x\ \mathrm{m}$，观察图形可知竖直方向有2条宽为$x$的小道，因此拼接后新矩形的长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$；水平方向有1条宽为$x$的小道，因此新矩形的宽为$(26-x)\ \mathrm{m}$，再根据种植面积为$864\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设小道的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
根据平移法，剩余种植花草的区域可拼接为长$(40-2x)\ \mathrm{m}$、宽$(26-x)\ \mathrm{m}$的矩形，由题意得：
$(40-2x)(26-x) = 864$
展开并整理方程：
$1040 - 40x - 52x + 2x^2 = 864$
$2x^2 - 92x + 176 = 0$
两边同除以2得：
$x^2 - 46x + 88 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-44) = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=44$。
由于小道宽度不可能超过矩形花园的宽度26m，因此$x=44$不符合实际意义，舍去。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际方程验根
【点评】
本题属于面积类一元二次方程的常规应用题，利用平移法将分散的种植区域转化为规则矩形是简化问题的核心，解题时要注意结合实际场景的取值范围对方程的根进行筛选，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
5.(新疆自治区中考)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24m长的围栏围成一个面积为$40m^2$的矩形场地.设矩形的宽为$x$ m,根据题意可列方程
（
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-4x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
（
A
）A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-4x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确围栏的构成：由于一侧靠墙，围栏仅围矩形的三条边，其中两条是垂直于墙的宽（长度为x m），剩下一条是平行于墙的长。我们先根据围栏总长度用含x的式子表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设矩形垂直于墙的宽为x m，那么两条宽的总长度为2x m。
已知围栏总长为24 m，因此平行于墙的边长为$(24 - 2x)$ m。
根据矩形面积=长×宽，且场地面积为$40m^2$，可列方程：
$x(24 - 2x) = 40$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是图形面积类的基础应用题，解题核心是准确理解“靠墙一侧不需要围栏”的条件，正确用未知数表示出矩形的长和宽，再结合面积公式列式即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形明确围栏的构成：由于一侧靠墙，围栏仅围矩形的三条边，其中两条是垂直于墙的宽（长度为x m），剩下一条是平行于墙的长。我们先根据围栏总长度用含x的式子表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设矩形垂直于墙的宽为x m，那么两条宽的总长度为2x m。
已知围栏总长为24 m，因此平行于墙的边长为$(24 - 2x)$ m。
根据矩形面积=长×宽，且场地面积为$40m^2$，可列方程：
$x(24 - 2x) = 40$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是图形面积类的基础应用题，解题核心是准确理解“靠墙一侧不需要围栏”的条件，正确用未知数表示出矩形的长和宽，再结合面积公式列式即可。
【难度系数】
0.8
6.为丰富乡村生活，推动传统豫剧发展，某演艺团举办了豫剧下乡活动.如图，工作人员想要搭建一个矩形演艺区ABCD，已知该演艺区一面靠墙(墙长15米)，其余三面及中间一道隔断均用幕布围成，隔断两侧分别为表演区和观众席，则总长42米的幕布能否围成面积为120平方米的演艺区？若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
答案
6. 解:能围成面积为 120 平方米的演艺区.设 AB 的长为 x 米,根据题意,得$(42-3x) · x=120$,整理,得$x^2 -14x+40=0$,解得$x_1=4,x_2=10$,当$x=4$时,$AD=BC=42-4 × 3=30$$＞15$,故不符合题意;当$x=10$时,$AD=BC=42-10 × 3=12＜15$,符合题意,所以 AB 的长为 10 米.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决矩形面积的实际应用题，解题思路如下：1. 设未知数：设垂直于墙的边长AB为x米，观察图形可知垂直于墙的边共有3段（AB、中间隔断、CD），因此平行于墙的边AD的长度为总幕布长减去3段垂直边的长度，即(42-3x)米；2. 列方程：根据矩形面积=长×宽，结合总面积为120平方米列方程；3. 解方程并检验：解出一元二次方程的根后，结合墙长15米的限制条件，判断平行于墙的边长是否超过墙长，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
解：能围成面积为120平方米的演艺区。
设AB的长为x米，则平行于墙的边AD的长为$(42-3x)$米，根据矩形面积公式列方程：
$x(42-3x)=120$
整理得：$x^2-14x+40=0$
因式分解得：$(x-4)(x-10)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=10$
检验根的合理性：
当$x=4$时，$AD=42-3×4=30$米，$30＞15$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AD=42-3×10=12$米，$12＜15$，符合墙长限制。
【答案】
能围成面积为120平方米的演艺区，AB的长为10米。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的关键是正确用未知数表示出矩形的两条边长，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对解出的根进行取舍，避免出现不符合现实情况的错误结果。
【难度系数】
0.6
这是一道利用一元二次方程解决矩形面积的实际应用题，解题思路如下：1. 设未知数：设垂直于墙的边长AB为x米，观察图形可知垂直于墙的边共有3段（AB、中间隔断、CD），因此平行于墙的边AD的长度为总幕布长减去3段垂直边的长度，即(42-3x)米；2. 列方程：根据矩形面积=长×宽，结合总面积为120平方米列方程；3. 解方程并检验：解出一元二次方程的根后，结合墙长15米的限制条件，判断平行于墙的边长是否超过墙长，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
解：能围成面积为120平方米的演艺区。
设AB的长为x米，则平行于墙的边AD的长为$(42-3x)$米，根据矩形面积公式列方程：
$x(42-3x)=120$
整理得：$x^2-14x+40=0$
因式分解得：$(x-4)(x-10)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=10$
检验根的合理性：
当$x=4$时，$AD=42-3×4=30$米，$30＞15$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AD=42-3×10=12$米，$12＜15$，符合墙长限制。
【答案】
能围成面积为120平方米的演艺区，AB的长为10米。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的关键是正确用未知数表示出矩形的两条边长，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对解出的根进行取舍，避免出现不符合现实情况的错误结果。
【难度系数】
0.6
