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1. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，BD 是$∠ ABC$的平分线，若 $AC=6\ \mathrm{cm}$，$AD:CD=2:1$，则点 D 到AB 的距离是（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
1.A
2.如图,点 P 为$∠AOB$的平分线 OD 上一点,且$OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD$,垂足分别为点 M,N.求证:$PM=PN$.
答案
证明:如图.
因为 OD 平分$∠ AOB$,所以$∠ 1=∠ 2$.
在$△ OBD$ 和$△ OAD$ 中,$\begin{cases}OB=OA,\\∠ 1=∠ 2,\\OD=OD,\end{cases}$
所以$△ OBD≌△ OAD(\mathrm{SAS})$.
所以$∠ 3=∠ 4$,
所以 DO 是$∠ ADB$ 的平分线.
又因为 $PM⊥ BD$,$PN⊥ AD$,
所以 $PM=PN$.
【例2】如图，点D为锐角$∠ ABC$内一点，点M在BA上，点N在BC上，且$DM=DN$，$∠ BMD+∠ BND=180°$.求证：BD平分$∠ ABC$.
证明:
证明:
答案
证明:如图,过点 D 分别作 AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F.
因为$∠ BMD+∠ BND=180°$,$∠ BMD+∠ EMD=180°$,所以$∠ EMD=∠ BND$.
在$△ DEM$ 和$△ DFN$ 中,
$\begin{cases}∠ EMD=∠ BND,\\∠ DEM=∠ DFN=90°,\\DM=DN,\end{cases}$
所以$△ DEM≌△ DFN(\mathrm{AAS})$.
所以 $DE=DF$,
所以 BD 平分$∠ ABC$.
(交换条件和结论)例2中把条件“∠BMD + ∠BND = 180°”和结论“BD平分∠ABC”互换后，再进行证明。
答案
证明:过点 D 分别作 AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F(图略).
因为 BD 平分$∠ ABC$,
所以 $DE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ DEM$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFN$ 中,$\begin{cases}DM=DN,\\DE=DF,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ DEM≌\mathrm{Rt}△ DFN(\mathrm{HL})$.
所以$∠ EMD=∠ BND$.
又因为$∠ BMD+∠ EMD=180°$,
所以$∠ BMD+∠ BND=180°$.
因为 BD 平分$∠ ABC$,
所以 $DE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ DEM$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFN$ 中,$\begin{cases}DM=DN,\\DE=DF,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ DEM≌\mathrm{Rt}△ DFN(\mathrm{HL})$.
所以$∠ EMD=∠ BND$.
又因为$∠ BMD+∠ EMD=180°$,
所以$∠ BMD+∠ BND=180°$.
3.如图，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，且CD=CB，则点C在
∠DAB 的平分线
上。答案
3.$∠ DAB$ 的平分线
4.如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F，且$BE = CF$.求证：AD是$∠ BAC$的平分线. 
答案
证明:因为 AD 是$△ ABC$ 的中线,
所以 $BD=CD$.
因为 $DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
所以$∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases}BD=CD,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$.
所以 $DE=DF$.
所以点 D 在$∠ BAC$ 的平分线上,即 AD 是$∠ BAC$ 的平分线.
所以 $BD=CD$.
因为 $DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
所以$∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases}BD=CD,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$.
所以 $DE=DF$.
所以点 D 在$∠ BAC$ 的平分线上,即 AD 是$∠ BAC$ 的平分线.
