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1.用尺规作已知角的平分线的一般方法
已知:∠AOB(如图).
求作:∠AOB 的平分线.
作法:(1)以点 O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 OA,OB 于点 M,N.
(2)分别以点 M,N 为圆心,
(3)作
射线 OC 即为所求作的∠AOB 的平分线,如图所示.
已知:∠AOB(如图).
求作:∠AOB 的平分线.
作法:(1)以点 O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 OA,OB 于点 M,N.
(2)分别以点 M,N 为圆心,
大于$\frac{1}{2}MN$
的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点 C.(3)作
射线 OC
.射线 OC 即为所求作的∠AOB 的平分线,如图所示.
答案
1.(2)大于$\frac{1}{2}MN$ (3)射线 OC
2.上述作角的平分线的依据是
SSS
.答案
2.SSS
(1)文字描述:角的内部到角两边
距离相等
的点在角的平分线上。答案
(1)距离相等
(2)符号语言:如图,因为$PD ⊥ OA$,$PE ⊥ OB$,$PD=$
$PE$
,所以$∠ AOC=$$∠BOC$
(或$OP$是$∠ AOB$的平分线
).答案
(2)$PE$ $∠BOC$ 平分线
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，F在AC上，BE=FC.求证：BD=DF.
思路分析
思考1:要证明BD=DF，可考虑这两边所在的哪两个三角形全等？
思考2:这两个三角形中已知哪些元素相等？
思考3:如何利用“AD平分∠CAB”这个条件证明上面两个三角形全等？
证明:
思路分析
思考1:要证明BD=DF，可考虑这两边所在的哪两个三角形全等？
思考2:这两个三角形中已知哪些元素相等？
思考3:如何利用“AD平分∠CAB”这个条件证明上面两个三角形全等？
证明:
答案
思考1:$△ BDE$ 和$△ FDC$.
思考2:已知两直角相等,一组直角边相等.
思考3:由角的平分线的性质可得 $CD=DE$,再用“SAS”证明三角形全等.
证明:因为 AD 平分$∠ CAB$,$DE ⊥ AB$,$∠ C = 90°$,所以 $DE = DC$,$∠ BED = ∠ C=90°$.
在$△ BDE$ 和$△ FDC$ 中,
$\begin{cases}ED=CD,\\∠ BED=∠ C,\\BE=FC,\end{cases}$
所以$△ BDE≌△ FDC(\mathrm{SAS})$.
所以 $BD=DF$.
思考2:已知两直角相等,一组直角边相等.
思考3:由角的平分线的性质可得 $CD=DE$,再用“SAS”证明三角形全等.
证明:因为 AD 平分$∠ CAB$,$DE ⊥ AB$,$∠ C = 90°$,所以 $DE = DC$,$∠ BED = ∠ C=90°$.
在$△ BDE$ 和$△ FDC$ 中,
$\begin{cases}ED=CD,\\∠ BED=∠ C,\\BE=FC,\end{cases}$
所以$△ BDE≌△ FDC(\mathrm{SAS})$.
所以 $BD=DF$.
