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1. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，由四个全等的直角三角形围成.若$AC=2$，$BC=3$，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“风车”，则这个“风车”的周长是
$8\sqrt{10}+12$
.答案
$8\sqrt{10}+12$
解析
【分析】
解题时首先要明确“风车”的周长组成：它包含4条长度相等的延长线段，以及4条新直角三角形的斜边。第一步先确定新直角三角形的两条直角边长度：原直角三角形短直角边$AC=2$，长直角边$BC=3$，将长直角边向外延长一倍后，新的长直角边总长度为$3×2=6$；第二步用勾股定理求出新直角三角形的斜边长；第三步观察图形可知每个“风叶”对应1条斜边和1条长为3的延长边，共4组相同的边，求和即可得到总周长。
【解析】
解：根据题意，将边长为3的直角边向外延长一倍，可得延长部分的线段长为3，新形成的直角三角形两条直角边分别为2和$3×2=6$。
由勾股定理可得，新直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
“风车”的周长由4条斜边长和4条长度为3的延长线段组成，因此总周长为：
$4×2\sqrt{10}+4×3=8\sqrt{10}+12$
【答案】
$8\sqrt{10}+12$
【知识点】
勾股定理，周长计算，图形认识
【点评】
本题以传统赵爽弦图为背景进行变形，考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确分析周长的组成部分，正确找到对应直角三角形的直角边长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确“风车”的周长组成：它包含4条长度相等的延长线段，以及4条新直角三角形的斜边。第一步先确定新直角三角形的两条直角边长度：原直角三角形短直角边$AC=2$，长直角边$BC=3$，将长直角边向外延长一倍后，新的长直角边总长度为$3×2=6$；第二步用勾股定理求出新直角三角形的斜边长；第三步观察图形可知每个“风叶”对应1条斜边和1条长为3的延长边，共4组相同的边，求和即可得到总周长。
【解析】
解：根据题意，将边长为3的直角边向外延长一倍，可得延长部分的线段长为3，新形成的直角三角形两条直角边分别为2和$3×2=6$。
由勾股定理可得，新直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
“风车”的周长由4条斜边长和4条长度为3的延长线段组成，因此总周长为：
$4×2\sqrt{10}+4×3=8\sqrt{10}+12$
【答案】
$8\sqrt{10}+12$
【知识点】
勾股定理，周长计算，图形认识
【点评】
本题以传统赵爽弦图为背景进行变形，考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确分析周长的组成部分，正确找到对应直角三角形的直角边长度。
【难度系数】
0.7
2. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何?”大意是说:如图,推开双门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB为
$101$
寸.答案
$101$
解析
【分析】
首先理解题意：双门的单扇门长度相等，总门宽AB等于2倍的单扇门长度。过D作AB的垂线构造直角三角形，设单扇门长度为未知数，结合已知的距离、缝隙长度，找到直角三角形三边的关系，用勾股定理列方程求解，最后算出总门宽。
【解析】
先换算单位：1尺=10寸。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知：DE=10寸，CD=2寸，单扇门长度AD=AO（AO为AB的一半）。
设单扇门长AO=AD=x寸，则总门宽AB=2x寸，OE=CD÷2=1寸，因此AE=AO-OE=(x-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AE^2 + DE^2 = AD^2$
代入数值：$(x-1)^2 + 10^2 = x^2$
展开：$x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2$
化简得：$-2x + 101 = 0$，解得$x=\frac{101}{2}$
因此总门宽$AB=2x=2×\frac{101}{2}=101$寸。
【答案】
$\boxed{101}$
【知识点】
勾股定理，方程应用，单位换算
【点评】
本题结合古代数学问题场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题关键是准确梳理各线段的数量关系，构造直角三角形建立方程求解，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先理解题意：双门的单扇门长度相等，总门宽AB等于2倍的单扇门长度。过D作AB的垂线构造直角三角形，设单扇门长度为未知数，结合已知的距离、缝隙长度，找到直角三角形三边的关系，用勾股定理列方程求解，最后算出总门宽。
【解析】
先换算单位：1尺=10寸。
过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知：DE=10寸，CD=2寸，单扇门长度AD=AO（AO为AB的一半）。
设单扇门长AO=AD=x寸，则总门宽AB=2x寸，OE=CD÷2=1寸，因此AE=AO-OE=(x-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AE^2 + DE^2 = AD^2$
代入数值：$(x-1)^2 + 10^2 = x^2$
展开：$x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2$
化简得：$-2x + 101 = 0$，解得$x=\frac{101}{2}$
因此总门宽$AB=2x=2×\frac{101}{2}=101$寸。
【答案】
$\boxed{101}$
【知识点】
勾股定理，方程应用，单位换算
【点评】
本题结合古代数学问题场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题关键是准确梳理各线段的数量关系，构造直角三角形建立方程求解，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
3. 在$△ ABC$中，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$. 如图①，若$∠ C=90°$时，根据勾股定理有$a^2+b^2=c^2$.
（1）如图②，当$△ ABC$为锐角三角形时，类比勾股定理，判断$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明；
（2）如图③，当$△ ABC$为钝角三角形时，类比勾股定理，判断$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明；
（3）如图④，一块四边形的试验田$ABCD$，已知$∠ B=90°$，$AB=80\ \mathrm{m}$，$BC=60\ \mathrm{m}$，$CD=90\ \mathrm{m}$，$AD=110\ \mathrm{m}$，求这块试验田的面积.
（1）如图②，当$△ ABC$为锐角三角形时，类比勾股定理，判断$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明；
（2）如图③，当$△ ABC$为钝角三角形时，类比勾股定理，判断$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明；
（3）如图④，一块四边形的试验田$ABCD$，已知$∠ B=90°$，$AB=80\ \mathrm{m}$，$BC=60\ \mathrm{m}$，$CD=90\ \mathrm{m}$，$AD=110\ \mathrm{m}$，求这块试验田的面积.
答案
(1)$a^2+b^2＞c^2$,理由如下:过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D,设$CD=x$,则$BD=a-x$,由勾股定理得,$b^2-x^2=AD^2$,$c^2-(a-x)^2=AD^2$,$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$,整理得:$a^2+b^2=c^2+2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$
(2)$a^2+b^2＜c^2$,理由如下:作$AE⊥ BC$交BC的延长线于E,设$CE=x$,则$c^2-(a+x)^2=AE^2=b^2-x^2$,整理得$a^2+b^2=c^2-2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＜c^2$
(3)连接AC,作$DF⊥ AC$,垂足为F,由勾股定理得,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=100$.由(1)可知,$AD^2-AF^2=DC^2-CF^2$,即$110^2-(100-CF)^2=90^2-CF^2$,解得$CF=30$,则$DF=\sqrt{DC^2-CF^2}=60\sqrt{2}$,$\therefore$ 这块试验田的面积$=\frac{1}{2}×60×80+\frac{1}{2}×100×60\sqrt{2}=(2400+3000\sqrt{2})\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
(1)探究锐角三角形三边平方的关系时，可通过作高将锐角三角形拆分为两个直角三角形，以公共高为等量，结合勾股定理列等式整理即可得出结论；
(2)钝角三角形的推导思路和锐角三角形类似，作高在三角形外构造两个直角三角形，仍以公共高为等量，结合勾股定理列式推导即可；
(3)求不规则四边形面积可采用割补法，本题已知∠B为直角，连接AC将四边形分为直角三角形ABC和三角形ACD两部分，直角三角形面积直接计算，三角形ACD借助前序推导的方法求出高后计算面积，两部分面积相加即为试验田总面积。
【解析】
(1) 证明：过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D，设$CD=x$，则$BD=a-x$。
在$Rt△ ACD$和$Rt△ ABD$中，由勾股定理可得：$AD^2 = b^2-x^2$，$AD^2 = c^2-(a-x)^2$，
因此$b^2-x^2 = c^2-(a-x)^2$，整理得$a^2+b^2 = c^2+2ax$，
因为$2ax＞0$，所以$a^2+b^2＞c^2$。
(2) 证明：过点A作$AE⊥ BC$，交BC的延长线于E，设$CE=x$。
在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：$AE^2 = b^2-x^2$，$AE^2 = c^2-(a+x)^2$，
因此$b^2-x^2 = c^2-(a+x)^2$，整理得$a^2+b^2 = c^2-2ax$，
因为$2ax＞0$，所以$a^2+b^2＜c^2$。
(3) 解：连接AC，作$DF⊥ AC$，垂足为F。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{80^2+60^2}=100\ \mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×80×60=2400\ \mathrm{m^2}$。
在$△ ACD$中，设$CF=x$，则$AF=100-x$，由勾股定理得$110^2-(100-x)^2=90^2-x^2$，解得$x=30$，
则$DF=\sqrt{90^2-30^2}=60\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×100×60\sqrt{2}=3000\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$。
因此试验田总面积为$2400+3000\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1)$a^2+b^2＞c^2$,理由如下:过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D,设$CD=x$,则$BD=a-x$,由勾股定理得,$b^2-x^2=AD^2$,$c^2-(a-x)^2=AD^2$,$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$,整理得:$a^2+b^2=c^2+2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$
(2)$a^2+b^2＜c^2$,理由如下:作$AE⊥ BC$交BC的延长线于E,设$CE=x$,则$c^2-(a+x)^2=AE^2=b^2-x^2$,整理得$a^2+b^2=c^2-2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＜c^2$
(3)连接AC,作$DF⊥ AC$,垂足为F,由勾股定理得,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=100$.由(1)可知,$AD^2-AF^2=DC^2-CF^2$,即$110^2-(100-CF)^2=90^2-CF^2$,解得$CF=30$,则$DF=\sqrt{DC^2-CF^2}=60\sqrt{2}$,$\therefore$ 这块试验田的面积$=\frac{1}{2}×60×80+\frac{1}{2}×100×60\sqrt{2}=(2400+3000\sqrt{2})\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，构造直角三角形，割补法求面积
【点评】
本题以勾股定理为基础，考查知识的迁移应用能力，通过作辅助线将非直角图形转化为直角图形解决问题，同时结合不规则图形的面积计算，综合性较强，能有效锻炼逻辑推导和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
(1)探究锐角三角形三边平方的关系时，可通过作高将锐角三角形拆分为两个直角三角形，以公共高为等量，结合勾股定理列等式整理即可得出结论；
(2)钝角三角形的推导思路和锐角三角形类似，作高在三角形外构造两个直角三角形，仍以公共高为等量，结合勾股定理列式推导即可；
(3)求不规则四边形面积可采用割补法，本题已知∠B为直角，连接AC将四边形分为直角三角形ABC和三角形ACD两部分，直角三角形面积直接计算，三角形ACD借助前序推导的方法求出高后计算面积，两部分面积相加即为试验田总面积。
【解析】
(1) 证明：过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D，设$CD=x$，则$BD=a-x$。
在$Rt△ ACD$和$Rt△ ABD$中，由勾股定理可得：$AD^2 = b^2-x^2$，$AD^2 = c^2-(a-x)^2$，
因此$b^2-x^2 = c^2-(a-x)^2$，整理得$a^2+b^2 = c^2+2ax$，
因为$2ax＞0$，所以$a^2+b^2＞c^2$。
(2) 证明：过点A作$AE⊥ BC$，交BC的延长线于E，设$CE=x$。
在$Rt△ ACE$和$Rt△ ABE$中，由勾股定理可得：$AE^2 = b^2-x^2$，$AE^2 = c^2-(a+x)^2$，
因此$b^2-x^2 = c^2-(a+x)^2$，整理得$a^2+b^2 = c^2-2ax$，
因为$2ax＞0$，所以$a^2+b^2＜c^2$。
(3) 解：连接AC，作$DF⊥ AC$，垂足为F。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{80^2+60^2}=100\ \mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×80×60=2400\ \mathrm{m^2}$。
在$△ ACD$中，设$CF=x$，则$AF=100-x$，由勾股定理得$110^2-(100-x)^2=90^2-x^2$，解得$x=30$，
则$DF=\sqrt{90^2-30^2}=60\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×100×60\sqrt{2}=3000\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$。
因此试验田总面积为$2400+3000\sqrt{2}\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1)$a^2+b^2＞c^2$,理由如下:过点A作$AD⊥ BC$,垂足为D,设$CD=x$,则$BD=a-x$,由勾股定理得,$b^2-x^2=AD^2$,$c^2-(a-x)^2=AD^2$,$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$,整理得:$a^2+b^2=c^2+2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$
(2)$a^2+b^2＜c^2$,理由如下:作$AE⊥ BC$交BC的延长线于E,设$CE=x$,则$c^2-(a+x)^2=AE^2=b^2-x^2$,整理得$a^2+b^2=c^2-2ax$,$\because 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＜c^2$
(3)连接AC,作$DF⊥ AC$,垂足为F,由勾股定理得,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=100$.由(1)可知,$AD^2-AF^2=DC^2-CF^2$,即$110^2-(100-CF)^2=90^2-CF^2$,解得$CF=30$,则$DF=\sqrt{DC^2-CF^2}=60\sqrt{2}$,$\therefore$ 这块试验田的面积$=\frac{1}{2}×60×80+\frac{1}{2}×100×60\sqrt{2}=(2400+3000\sqrt{2})\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理，构造直角三角形，割补法求面积
【点评】
本题以勾股定理为基础，考查知识的迁移应用能力，通过作辅助线将非直角图形转化为直角图形解决问题，同时结合不规则图形的面积计算，综合性较强，能有效锻炼逻辑推导和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
