1. 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面.一只蚂蚁沿图中“A→B→C”的线路爬行,则蚂蚁沿该线路从点A爬行到点C的路程为 m.(结果保留根号)

$3\sqrt{5}$

【分析】要求蚂蚁沿A→B→C爬行的总路程，实质是求线段AB和BC的长度之和。网格中计算斜线段的长度可借助勾股定理，先分别将AB、BC看作直角三角形的斜边，确定两条直角边的长度，再用勾股定理算出两条线段的长度，最后求和即可得到总路程。
【解析】已知每个小正方形地砖的边长为1m：
1. 计算AB的长度：AB为直角边分别为4m、2m的直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
2. 计算BC的长度：BC为直角边分别为1m、2m的直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
3. 总路程为AB与BC的长度和：$2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】勾股定理，网格线段计算
【点评】本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是准确找到斜线段对应的直角边长度，熟练掌握勾股定理就能快速求解。
【难度系数】0.8

2. 如图,有一个绳索拉直的秋千,绳索AB的长度为5 m,若将木板往水平方向向前推进3 m（即$DE=3$ m）,且绳索保持拉直的状态,则此时木板上升的高度为 m.

$1$

【分析】
解题时首先抓住绳索长度不变的隐含条件，可知AC=AB=5m。要求木板上升的高度，即求B、C两点的竖直高度差，我们可以通过作辅助线构造直角三角形：过点C作CF垂直AB于点F，可得CF=DE=3m，△AFC为直角三角形，接下来利用勾股定理计算AF的长度，最终用AB的长度减去AF的长度即可得到木板上升的高度。
【解析】
过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意可知：
AC=AB=5m，CF=DE=3m，∠AFC=90°。
在Rt△ACF中，根据勾股定理得：
$AF^2 + CF^2 = AC^2$
代入数值计算：
$AF=\sqrt{AC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{m}$
则木板上升的高度为$AB - AF=5 - 4=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题的核心是抓住绳索长度不变的条件，通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

3. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形面积为$5,(m+n)^2=21$,则大正方形面积为.

由题意可知,中间小正方形的边长为$m-n$,$\therefore (m-n)^2=5$,即$m^2+n^2-2mn=5$ ①.$\because (m+n)^2=21$,$\therefore m^2+n^2+2mn=21$ ②.①+②得$2(m^2+n^2)=26$,$\therefore$ 大正方形的面积$m^2+n^2=13$

【分析】
首先观察赵爽弦图的结构：四个直角三角形全等，因此小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边，即$m-n$，小正方形面积可表示为$(m-n)^2=5$。已知$(m+n)^2=21$，而大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于斜边的平方，也就是$m^2+n^2$。接下来将两个完全平方式展开，通过加减消去$mn$项，即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意得，中间小正方形的边长为$m-n$，
∴ 小正方形面积为$(m-n)^2=5$，展开可得：$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①，
已知$(m+n)^2=21$，展开可得：$m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②，
①+②得：$2(m^2 + n^2) = 26$，
解得$m^2 + n^2 = 13$。
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差关系
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题关键是结合图形特征建立各部分面积与直角边的关系，再利用完全平方公式的变形计算求解，是勾股定理相关的经典题型。
【难度系数】
0.7

4. 某工厂的大门形状如图所示(大门上方为半圆),现有四辆装满货物的卡车,外形宽都是2.0 m,高分别为2.8 m,3.1 m,3.4 m,3.7 m,则能通过该工厂大门的车辆数是(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24$)
（）

A.1
B.2
C.3
D.4

B

【分析】
要判断卡车能否通过大门，需先求出对应卡车宽度下大门的最大可通过高度，再与卡车高度对比。首先明确大门结构：下方是宽4m、高1.6m的长方形，上方是直径为4m的半圆。卡车宽2m，沿大门中轴线行驶时通过概率最高，此时卡车边缘距离中轴线的水平距离为1m，我们只需算出该水平位置处半圆部分的竖直高度，加上下方长方形的高度，就能得到该位置大门的总高度，超过这个高度的卡车无法通过。
【解析】
解：由题意得，大门上方半圆的直径为4.0m，因此半圆半径$r=4.0÷2=2\mathrm{m}$。
卡车宽度为2.0m，卡车边缘到大门水平中轴线的距离为$2.0÷2=1\mathrm{m}$。
在半圆中，根据勾股定理，水平距离圆心1m处的竖直高度为：
$h'=\sqrt{r^2-1^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\approx1.73\mathrm{m}$
因此该位置大门的总最大高度为：
$h=1.6+1.73=3.33\mathrm{m}$
对比四辆卡车的高度：$2.8\mathrm{m}＜3.33\mathrm{m}$，$3.1\mathrm{m}＜3.33\mathrm{m}$，$3.4\mathrm{m}＞3.33\mathrm{m}$，$3.7\mathrm{m}＞3.33\mathrm{m}$，可知能通过的卡车共2辆。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是将实际问题转化为几何模型，利用勾股定理求解对应位置的高度，考查了学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.6

5. 已知:如图,在四边形ABCD中,连接AC,AB=12,BC=9,CD=8,AD=17,∠B=90°.
求证:△ACD是直角三角形.

证明:$\because ∠ B=90°,AB=12,BC=9,\therefore AC^2=AB^2+BC^2=144+81=225$.$\therefore AC=15$. 又$\because AC^2+CD^2=225+64=289,AD^2=289$,$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$.$\therefore △ ACD$是直角三角形

【分析】
要证明△ACD是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。已知△ACD中CD、AD的长度，缺少AC的长度，因此先在Rt△ABC中，结合∠B=90°、AB和BC的边长，用勾股定理求出AC的长，再验证AC、CD、AD的边长是否满足勾股定理逆定理的条件即可。
【解析】
证明：
∵∠B=90°，AB=12，BC=9，
∴由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2=12^2+9^2=144+81=225$，
∴$AC=15$。
又
∵$AC=15$，$CD=8$，$AD=17$，
∴$AC^2+CD^2=225+8^2=225+64=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
∴△ACD是直角三角形。
【答案】
证明:$\because ∠ B=90°,AB=12,BC=9,\therefore AC^2=AB^2+BC^2=144+81=225$.$\therefore AC=15$. 又$\because AC^2+CD^2=225+64=289,AD^2=289$,$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$.$\therefore △ ACD$是直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与勾股定理逆定理的基础综合应用题，解题关键是先在直角三角形中利用勾股定理求出公共边AC的长度，再通过逆定理判定三角形的形状，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 细心观察图形，认真分析各式，解答下列问题：
$OA_2^2=(\sqrt{1})^2+1=2$，$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$；$OA_3^2=1^2+(\sqrt{2})^2=3$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；$OA_4^2=1^2+(\sqrt{3})^2=4$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\dots$
（1）请用含有$n$（$n$是正整数）的等式表示上述式子的规律：$OA_n^2=$，$S_n=$.
（2）求$OA_{10}$的长.
（3）若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$，它是第几个三角形？
（4）求$S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{10}^2$的值.

(1)$OA_n^2=n$，$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$
(2)$OA_{10}=\sqrt{10}$
(3)第20个三角形
(4)$\frac{55}{4}$

【分析】
这是一道结合勾股定理的规律探究题，解题思路如下：1. 找规律：观察给出的式子，OA的下标数值与它的平方的数值相等，S的下标数值与分子中根号下的数值相等，分母恒为2，据此可写出通用表达式；2. 求$OA_{10}$的长：直接将n=10代入$OA_n$的规律表达式，取算术平方根即可；3. 求面积为$\sqrt{5}$的三角形是第几个：令$S_n=\sqrt{5}$，解方程求出n即可；4. 求平方和：先推导$S_n^2$的表达式，再将1到10的数值代入求和即可。
【解析】
(1) 观察已知式子：$OA_2^2=2$，$OA_3^2=3$，$OA_4^2=4$，可得$OA_n^2=n$；
又$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
(2) 由(1)得$OA_n^2=n$，线段长度为正数，故$OA_n=\sqrt{n}$，
当$n=10$时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
(3) 令$S_n=\sqrt{5}$，代入$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$得：
$\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，
两边同时乘2得$\sqrt{n}=2\sqrt{5}$，
两边同时平方得$n=(2\sqrt{5})^2=20$，
故它是第20个三角形。
(4) 先计算$S_n^2$：$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，
则$S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{10}^2=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}$
$=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}$
其中$1+2+3+\dots+10=(1+10)×10÷2=55$，
故原式$=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1) $n$，$\frac{\sqrt{n}}{2}$
(2) $\sqrt{10}$
(3) 第20个三角形
(4) $\frac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，实数运算
【点评】
本题综合考查勾股定理的应用、规律归纳能力和实数的运算，解题的关键是准确总结出$OA_n^2$和$S_n$的通用规律，计算时注意细心运算即可。
【难度系数】
0.7