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例1 某市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28 km，30 km，30 km，26 km，32 km.若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29 km，众数保持不变，则新增线路长度可能是 （
A.25 km
B.28 km
C.29 km
D.30 km
A
）A.25 km
B.28 km
C.29 km
D.30 km
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确中位数和众数的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②n为偶数时，中位数是排序后第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。首先将原5个数据从小到大排序，明确原众数为30，因此新增数据后30仍需是出现次数最多的数；再结合6个数据的中位数为29，可得排序后第3、4个数据的和为$29×2=58$，最后逐一验证选项是否同时满足两个条件即可。
【解析】
首先将原5条线路的长度从小到大排序为：26 km，28 km，30 km，30 km，32 km。
原数据中30出现2次，出现次数最多，因此原众数为30，新增线路后众数保持不变，说明30仍是出现次数最多的数。
6条线路长度的中位数为排序后第3个和第4个数据的平均数，由题意得该中位数为29，因此第3个数据与第4个数据的和为$29×2=58$。
逐一验证选项：
A. 新增25 km后，数据排序为25，26，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，众数仍为30，符合要求；
B. 新增28 km后，数据排序为26，28，28，30，30，32，众数为28和30，众数发生变化，不符合要求；
C. 新增29 km后，数据排序为26，28，29，30，30，32，中位数为$\frac{29+30}{2}=29.5≠29$，不符合要求；
D. 新增30 km后，数据排序为26，28，30，30，30，32，中位数为$\frac{30+30}{2}=30≠29$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题，核心是熟练掌握中位数和众数的计算规则，解题时要注意计算中位数前必须先对数据进行排序，再结合题干给出的限制条件逐一排查选项即可，避免因忘记排序导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确中位数和众数的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②n为偶数时，中位数是排序后第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。首先将原5个数据从小到大排序，明确原众数为30，因此新增数据后30仍需是出现次数最多的数；再结合6个数据的中位数为29，可得排序后第3、4个数据的和为$29×2=58$，最后逐一验证选项是否同时满足两个条件即可。
【解析】
首先将原5条线路的长度从小到大排序为：26 km，28 km，30 km，30 km，32 km。
原数据中30出现2次，出现次数最多，因此原众数为30，新增线路后众数保持不变，说明30仍是出现次数最多的数。
6条线路长度的中位数为排序后第3个和第4个数据的平均数，由题意得该中位数为29，因此第3个数据与第4个数据的和为$29×2=58$。
逐一验证选项：
A. 新增25 km后，数据排序为25，26，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，众数仍为30，符合要求；
B. 新增28 km后，数据排序为26，28，28，30，30，32，众数为28和30，众数发生变化，不符合要求；
C. 新增29 km后，数据排序为26，28，29，30，30，32，中位数为$\frac{29+30}{2}=29.5≠29$，不符合要求；
D. 新增30 km后，数据排序为26，28，30，30，30，32，中位数为$\frac{30+30}{2}=30≠29$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题，核心是熟练掌握中位数和众数的计算规则，解题时要注意计算中位数前必须先对数据进行排序，再结合题干给出的限制条件逐一排查选项即可，避免因忘记排序导致计算错误。
【难度系数】
0.7
例2 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在1 min内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
这20名男生在1 min内“引体向上”的个数的众数是
这20名男生在1 min内“引体向上”的个数的众数是
11
个。答案
11
解析
【分析】
要确定这组数据的众数，首先明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时只需观察统计表中每个引体向上个数对应的人数，找到人数最多的那组对应的个数，即为所求众数。
【解析】
根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数。
观察统计表可知：做6个的有2人，做9个的有5人，做11个的有8人，做12个的有3人，做15个的有2人。
其中个数为11对应的人数最多，共8人，即11在这组数据中出现的次数最多，因此这20名男生1分钟内“引体向上”个数的众数是11个。
【答案】
11
【知识点】
众数；统计表解读
【点评】
本题属于基础题，重点考查对众数概念的理解和从统计表中提取有效信息的能力，掌握众数“出现次数最多”的核心特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定这组数据的众数，首先明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时只需观察统计表中每个引体向上个数对应的人数，找到人数最多的那组对应的个数，即为所求众数。
【解析】
根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数。
观察统计表可知：做6个的有2人，做9个的有5人，做11个的有8人，做12个的有3人，做15个的有2人。
其中个数为11对应的人数最多，共8人，即11在这组数据中出现的次数最多，因此这20名男生1分钟内“引体向上”个数的众数是11个。
【答案】
11
【知识点】
众数；统计表解读
【点评】
本题属于基础题，重点考查对众数概念的理解和从统计表中提取有效信息的能力，掌握众数“出现次数最多”的核心特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例3 为强化学生法治意识，某校对八、九年级学生进行了普法知识问答测试，现从八、九年级各随机抽取了20人的成绩进行整理、描述和分析，绘制统计表和统计图(图4.2.1).成绩用$x$表示，共分为四个等级：
A. $90≤ x≤100$，B. $80≤ x＜90$，C. $70≤ x＜80$，D. $x＜70$.下面给出了部分信息：
抽取的八年级20人的成绩为：
69,70,73,75,79,80,81,82,85,86,86,86,88,88,91,91,93,94,96,97.
抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84,81,88,83,89,87,85,82.
抽取的八、九年级学生成绩统计表
抽取的九年级学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：$a=$
(2) 根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可).
(3) 若该校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，则两个年级成绩优秀(大于或等于90分)的人数一共有多少人？
A. $90≤ x≤100$，B. $80≤ x＜90$，C. $70≤ x＜80$，D. $x＜70$.下面给出了部分信息：
抽取的八年级20人的成绩为：
69,70,73,75,79,80,81,82,85,86,86,86,88,88,91,91,93,94,96,97.
抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84,81,88,83,89,87,85,82.
抽取的八、九年级学生成绩统计表
抽取的九年级学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：$a=$
82.5
，$b=$86
，$m=$20
.(2) 根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可).
(3) 若该校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，则两个年级成绩优秀(大于或等于90分)的人数一共有多少人？
答案
(1) 82.5,86,20
(2) 八年级的学生普法知识测试成绩更好.理由:八、九年级学生测试成绩的平均数相同,从中位数来看,八年级成绩中位数是86分,高于九年级成绩中位数82.5分,所以八年级的学生普法知识测试成绩更好
(3)
∵八年级知识测试成绩在90分及以上的学生有6人,九年级知识测试成绩在90及以上的学生有4人,
∴两个年级成绩优秀(大于或等于90分)的有 $1600×\frac{6+4}{20+20}=400$(人)
(2) 八年级的学生普法知识测试成绩更好.理由:八、九年级学生测试成绩的平均数相同,从中位数来看,八年级成绩中位数是86分,高于九年级成绩中位数82.5分,所以八年级的学生普法知识测试成绩更好
(3)
∵八年级知识测试成绩在90分及以上的学生有6人,九年级知识测试成绩在90及以上的学生有4人,
∴两个年级成绩优秀(大于或等于90分)的有 $1600×\frac{6+4}{20+20}=400$(人)
解析
【分析】
(1) 求a时，先明确中位数是将数据从小到大排序后中间两个数的平均数，先计算九年级各等级人数确定中位数所在等级，再对B等级数据排序计算即可；求b时，找出八年级成绩中出现次数最多的数即为众数；求m时，先算出九年级A等级的人数，再计算其占总抽取人数的百分比即可。
(2) 比较两个年级的成绩优劣，可从中位数、众数、优秀率等统计量入手，选择合理的统计量对比说明即可。
(3) 先计算抽取的样本中成绩优秀的人数占比，再用样本估计总体的思想，乘以总人数1600即可得到两个年级优秀总人数。
【解析】
(1) 九年级共抽取20人：
① D等级人数：$20×10\%=2$人，C等级人数：$20×20\%=4$人，已知B等级共8人，因此A等级人数为$20-2-4-8=4$人，A等级占比为$\frac{4}{20}×100\%=20\%$，故$m=20$。
② 20个数据的中位数是从小到大排序后第10、11个数据的平均数，前$2+4=6$个数据为D、C等级，第7到14个数据为B等级，因此第10、11个数据均在B等级，将B等级数据从小到大排序为81,82,83,84,85,87,88,89，计算得中位数$a=\frac{82+83}{2}=82.5$。
③ 八年级20人的成绩中，86共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=86$。
(2) 选择八年级成绩更好，理由：八、九年级学生测试成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数为86分，高于九年级成绩的中位数82.5分，说明八年级有一半以上学生成绩不低于86分，九年级仅一半以上学生成绩不低于82.5分，因此八年级成绩更好。
(3) 抽取的样本中，八年级成绩优秀（≥90分）的有6人，九年级成绩优秀的有4人，样本优秀率为$\frac{6+4}{20+20}=\frac{1}{4}$，因此1600名学生中优秀总人数为$1600×\frac{1}{4}=400$人。
【答案】
(1) $82.5$，$86$，$20$
(2) 八年级的学生普法知识问答测试成绩更好。理由:八、九年级学生测试成绩的平均数相同,从中位数来看,八年级成绩中位数是86分,高于九年级成绩中位数82.5分,所以八年级的学生普法知识问答测试成绩更好
(3) 两个年级成绩优秀的人数一共有400人。
【知识点】
中位数与众数，扇形统计图，样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，解题关键是从题干和图表中提取有效信息，结合各统计量的含义分析数据，是统计部分的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求a时，先明确中位数是将数据从小到大排序后中间两个数的平均数，先计算九年级各等级人数确定中位数所在等级，再对B等级数据排序计算即可；求b时，找出八年级成绩中出现次数最多的数即为众数；求m时，先算出九年级A等级的人数，再计算其占总抽取人数的百分比即可。
(2) 比较两个年级的成绩优劣，可从中位数、众数、优秀率等统计量入手，选择合理的统计量对比说明即可。
(3) 先计算抽取的样本中成绩优秀的人数占比，再用样本估计总体的思想，乘以总人数1600即可得到两个年级优秀总人数。
【解析】
(1) 九年级共抽取20人：
① D等级人数：$20×10\%=2$人，C等级人数：$20×20\%=4$人，已知B等级共8人，因此A等级人数为$20-2-4-8=4$人，A等级占比为$\frac{4}{20}×100\%=20\%$，故$m=20$。
② 20个数据的中位数是从小到大排序后第10、11个数据的平均数，前$2+4=6$个数据为D、C等级，第7到14个数据为B等级，因此第10、11个数据均在B等级，将B等级数据从小到大排序为81,82,83,84,85,87,88,89，计算得中位数$a=\frac{82+83}{2}=82.5$。
③ 八年级20人的成绩中，86共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=86$。
(2) 选择八年级成绩更好，理由：八、九年级学生测试成绩的平均数相同，八年级成绩的中位数为86分，高于九年级成绩的中位数82.5分，说明八年级有一半以上学生成绩不低于86分，九年级仅一半以上学生成绩不低于82.5分，因此八年级成绩更好。
(3) 抽取的样本中，八年级成绩优秀（≥90分）的有6人，九年级成绩优秀的有4人，样本优秀率为$\frac{6+4}{20+20}=\frac{1}{4}$，因此1600名学生中优秀总人数为$1600×\frac{1}{4}=400$人。
【答案】
(1) $82.5$，$86$，$20$
(2) 八年级的学生普法知识问答测试成绩更好。理由:八、九年级学生测试成绩的平均数相同,从中位数来看,八年级成绩中位数是86分,高于九年级成绩中位数82.5分,所以八年级的学生普法知识问答测试成绩更好
(3) 两个年级成绩优秀的人数一共有400人。
【知识点】
中位数与众数，扇形统计图，样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，解题关键是从题干和图表中提取有效信息，结合各统计量的含义分析数据，是统计部分的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
