登录
运用直接开平方法可以解方程$x^2 - 4x + 4 = 5$，那么如何解方程$x^2 - 4x = 1$？
答案
将方程$x^2-4x=1$两边同时加上一次项系数一半的平方4，转化为方程$x^2-4x+4=5$，即$(x-2)^2=5$，再使用直接开平方法求解，得$x-2=\pm\sqrt{5}$，所以$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解该方程，首先明确直接开平方法仅适用于“完全平方式=非负数”形式的方程，当前方程左边$x^2-4x$不是完全平方式，无法直接开平方，因此需要通过配方把左边凑成完全平方式：先找到一次项系数为$-4$，计算它一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程左右两边同时加4，即可把左边转化为完全平方形式，后续就能用直接开平方法求解。
【解析】
解：对$x^2 - 4x = 1$进行配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，
方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，
整理得$(x-2)^2=5$，
两边直接开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{5}$，
移项解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方法解法的基础应用，核心是掌握凑完全平方式的操作规则，通过配方将陌生方程转化为可直接开平方的熟悉形式，体现了转化的数学思想，是求解一元二次方程的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解该方程，首先明确直接开平方法仅适用于“完全平方式=非负数”形式的方程，当前方程左边$x^2-4x$不是完全平方式，无法直接开平方，因此需要通过配方把左边凑成完全平方式：先找到一次项系数为$-4$，计算它一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程左右两边同时加4，即可把左边转化为完全平方形式，后续就能用直接开平方法求解。
【解析】
解：对$x^2 - 4x = 1$进行配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，
方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，
整理得$(x-2)^2=5$，
两边直接开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{5}$，
移项解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方法解法的基础应用，核心是掌握凑完全平方式的操作规则，通过配方将陌生方程转化为可直接开平方的熟悉形式，体现了转化的数学思想，是求解一元二次方程的基础题型。
【难度系数】
0.8
例1 解方程：$x^2 -6x -7=0$。
答案
移项，得$x^2-6x=7$. 配方，得$x^2-6x+3^2=7+3^2$，$(x-3)^2=16$. 开平方，得$x-3=\pm4$. 所以$x_1=7,x_2=-1$
解析
【分析】
这是一元二次方程的基础求解题目，适合用配方法解答，解题思路可按以下步骤梳理：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在等号左侧，为后续配方做准备；第二步配方，根据完全平方公式的结构特征，给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；第三步开平方，把二次方程降次转化为两个一元一次方程；第四步分别求解一元一次方程，就能得到原方程的两个根。
【解析】
移项，得$x^2-6x=7$。
配方，给等式两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$3^2$，得$x^2-6x+3^2=7+3^2$，整理得$(x-3)^2=16$。
开平方，得$x-3=\pm4$。
分别求解两个一次方程：
当$x-3=4$时，解得$x=7$；
当$x-3=-4$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=7,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心考查配方法的操作流程，熟练掌握移项、配方、开方的步骤即可顺利解题，也可尝试用因式分解法、公式法求解，能巩固一元二次方程的多种解法。
【难度系数】
0.8
这是一元二次方程的基础求解题目，适合用配方法解答，解题思路可按以下步骤梳理：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在等号左侧，为后续配方做准备；第二步配方，根据完全平方公式的结构特征，给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；第三步开平方，把二次方程降次转化为两个一元一次方程；第四步分别求解一元一次方程，就能得到原方程的两个根。
【解析】
移项，得$x^2-6x=7$。
配方，给等式两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$3^2$，得$x^2-6x+3^2=7+3^2$，整理得$(x-3)^2=16$。
开平方，得$x-3=\pm4$。
分别求解两个一次方程：
当$x-3=4$时，解得$x=7$；
当$x-3=-4$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=7,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心考查配方法的操作流程，熟练掌握移项、配方、开方的步骤即可顺利解题，也可尝试用因式分解法、公式法求解，能巩固一元二次方程的多种解法。
【难度系数】
0.8
例2 解方程：$x^2 + 3x + 1 = 0.$
答案
移项，得$x^2+3x=-1$. 配方，得$x^2+3x+(\frac{3}{2})^2=-1+(\frac{3}{2})^2$，$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$. 开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$. 所以$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，方程二次项系数为1，适合用配方法求解。解题思路如下：首先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；接着进行配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式；再对变形后的方程两边开平方，转化为一元一次方程，最终求解得到方程的根。
【解析】
移项，得$x^2+3x=-1$.
配方，得$x^2+3x+(\frac{3}{2})^2=-1+(\frac{3}{2})^2$，即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$.
开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.
所以$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项、配方、开方的核心步骤即可顺利解题，是巩固配方法应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程求解的基础题，方程二次项系数为1，适合用配方法求解。解题思路如下：首先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；接着进行配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式；再对变形后的方程两边开平方，转化为一元一次方程，最终求解得到方程的根。
【解析】
移项，得$x^2+3x=-1$.
配方，得$x^2+3x+(\frac{3}{2})^2=-1+(\frac{3}{2})^2$，即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$.
开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.
所以$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项、配方、开方的核心步骤即可顺利解题，是巩固配方法应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 填适当的数,使下列等式成立:
(1) $x^2 + 2x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2) $x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3) $x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(4) $x^2 - x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(1) $x^2 + 2x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2) $x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3) $x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(4) $x^2 - x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
1. (1) $1^2,1$ (2) $4^2,4$ (3) $(\frac{3}{2})^2,\frac{3}{2}$ (4) $(\frac{1}{2})^2,\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础操作。解题思路基于完全平方公式的结构：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，本题所有式子的二次项系数均为1，对应公式里的$a=x$，因此只需找到一次项系数，取它的一半，将一半平方后就是需要补充的常数项，括号内的数就是一次项系数的一半。
【解析】
根据完全平方公式的结构，当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，即$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = (x+\frac{b}{2})^2$：
(1) 一次项系数为2，一半是$\frac{2}{2}=1$，平方为$1^2$，因此$x^2+2x+1^2=(x+1)^2$；
(2) 一次项系数为-8，绝对值的一半是$\frac{8}{2}=4$，平方为$4^2$，因此$x^2-8x+4^2=(x-4)^2$；
(3) 一次项系数为3，一半是$\frac{3}{2}$，平方为$(\frac{3}{2})^2$，因此$x^2+3x+(\frac{3}{2})^2=(x+\frac{3}{2})^2$；
(4) 一次项系数为-1，绝对值的一半是$\frac{1}{2}$，平方为$(\frac{1}{2})^2$，因此$x^2-x+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$。
【答案】
(1) $1^2,1$ (2) $4^2,4$ (3) $(\frac{3}{2})^2,\frac{3}{2}$ (4) $(\frac{1}{2})^2,\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握该方法是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础操作。解题思路基于完全平方公式的结构：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$，本题所有式子的二次项系数均为1，对应公式里的$a=x$，因此只需找到一次项系数，取它的一半，将一半平方后就是需要补充的常数项，括号内的数就是一次项系数的一半。
【解析】
根据完全平方公式的结构，当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，即$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = (x+\frac{b}{2})^2$：
(1) 一次项系数为2，一半是$\frac{2}{2}=1$，平方为$1^2$，因此$x^2+2x+1^2=(x+1)^2$；
(2) 一次项系数为-8，绝对值的一半是$\frac{8}{2}=4$，平方为$4^2$，因此$x^2-8x+4^2=(x-4)^2$；
(3) 一次项系数为3，一半是$\frac{3}{2}$，平方为$(\frac{3}{2})^2$，因此$x^2+3x+(\frac{3}{2})^2=(x+\frac{3}{2})^2$；
(4) 一次项系数为-1，绝对值的一半是$\frac{1}{2}$，平方为$(\frac{1}{2})^2$，因此$x^2-x+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$。
【答案】
(1) $1^2,1$ (2) $4^2,4$ (3) $(\frac{3}{2})^2,\frac{3}{2}$ (4) $(\frac{1}{2})^2,\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握该方法是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 把下列方程化成$(x+h)^2=k(h,k$是常数，$k≥0)$的形式：
(1) $x^2+2x=48$；
(2) $x^2-4x=12$；
(3) $x^2-6x+6=0$；
(4) $x^2+x-\frac{5}{4}=0$。
(1) $x^2+2x=48$；
(2) $x^2-4x=12$；
(3) $x^2-6x+6=0$；
(4) $x^2+x-\frac{5}{4}=0$。
答案
2. (1) $(x+1)^2=49$ (2) $(x-2)^2=16$ (3) $(x-3)^2=3$ (4) $(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题要求将一元二次方程转化为完全平方式等于常数的形式，核心使用配方法求解。解题思路为：①先将方程整理为含x的二次项、一次项在等号左侧，常数项在等号右侧的形式；②给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，右侧合并常数项即可得到要求的形式，需注意k的结果要满足≥0的要求。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+2x=48$：
一次项系数为2，其一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，方程左右两边同时加1：
$x^2+2x+1=48+1$，即$(x+1)^2=49$。
(2) 对于方程$x^2-4x=12$：
一次项系数为-4，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，方程左右两边同时加4：
$x^2-4x+4=12+4$，即$(x-2)^2=16$。
(3) 对于方程$x^2-6x+6=0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：$x^2-6x=-6$，
一次项系数为-6，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，方程左右两边同时加9：
$x^2-6x+9=-6+9$，即$(x-3)^2=3$。
(4) 对于方程$x^2+x-\frac{5}{4}=0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：$x^2+x=\frac{5}{4}$，
一次项系数为1，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程左右两边同时加$\frac{1}{4}$：
$x^2+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$，右侧合并得$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $(x+1)^2=49$；(2) $(x-2)^2=16$；(3) $(x-3)^2=3$；(4) $(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握配方的操作步骤，配方也是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题要求将一元二次方程转化为完全平方式等于常数的形式，核心使用配方法求解。解题思路为：①先将方程整理为含x的二次项、一次项在等号左侧，常数项在等号右侧的形式；②给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，右侧合并常数项即可得到要求的形式，需注意k的结果要满足≥0的要求。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+2x=48$：
一次项系数为2，其一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，方程左右两边同时加1：
$x^2+2x+1=48+1$，即$(x+1)^2=49$。
(2) 对于方程$x^2-4x=12$：
一次项系数为-4，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，方程左右两边同时加4：
$x^2-4x+4=12+4$，即$(x-2)^2=16$。
(3) 对于方程$x^2-6x+6=0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：$x^2-6x=-6$，
一次项系数为-6，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，方程左右两边同时加9：
$x^2-6x+9=-6+9$，即$(x-3)^2=3$。
(4) 对于方程$x^2+x-\frac{5}{4}=0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：$x^2+x=\frac{5}{4}$，
一次项系数为1，其一半的平方为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程左右两边同时加$\frac{1}{4}$：
$x^2+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$，右侧合并得$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $(x+1)^2=49$；(2) $(x-2)^2=16$；(3) $(x-3)^2=3$；(4) $(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握配方的操作步骤，配方也是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数顶点式的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
