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4. 一块石头从20 m高的塔上落下，石头离地面的高度h m与落下的时间t s之间大致有如下关系：$h=-5t^2+20$. 石头大约经过多长时间落到地面？
答案
4. 2 s
解析
【分析】
解题的突破口是明确“石头落到地面”的实际含义：此时石头离地面的高度h=0。我们的解题步骤为：第一步，将h=0代入给定的高度与时间的关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步，用一元二次方程的解法求解方程；第三步，结合时间不能为负数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终得到正确的时间。
【解析】
解：当石头落到地面时，离地面高度$ h=0 $，将$ h=0 $代入$ h=-5t^2+20 $，可得：
$ 0 = -5t^2 + 20 $
移项得：$ 5t^2 = 20 $
两边同时除以5得：$ t^2 = 4 $
开平方得：$ t = \pm 2 $
由于时间$ t $只能为正数，因此$ t=-2 $不符合实际意义，舍去。
故$ t=2 $。
【答案】
2 s
【知识点】
一元二次方程求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心是抓住“落地时高度为0”的隐含条件列方程，求解后需结合实际场景对根进行合理取舍，是巩固方程解法与应用能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是明确“石头落到地面”的实际含义：此时石头离地面的高度h=0。我们的解题步骤为：第一步，将h=0代入给定的高度与时间的关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步，用一元二次方程的解法求解方程；第三步，结合时间不能为负数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终得到正确的时间。
【解析】
解：当石头落到地面时，离地面高度$ h=0 $，将$ h=0 $代入$ h=-5t^2+20 $，可得：
$ 0 = -5t^2 + 20 $
移项得：$ 5t^2 = 20 $
两边同时除以5得：$ t^2 = 4 $
开平方得：$ t = \pm 2 $
由于时间$ t $只能为正数，因此$ t=-2 $不符合实际意义，舍去。
故$ t=2 $。
【答案】
2 s
【知识点】
一元二次方程求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心是抓住“落地时高度为0”的隐含条件列方程，求解后需结合实际场景对根进行合理取舍，是巩固方程解法与应用能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
5. 一桶油漆可刷的面积为 1 500 dm²，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个相同的正方体盒子的全部外表面，求这个正方体盒子的棱长.
答案
5. 5 dm
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心等量关系：10个相同正方体盒子的外表面总面积 = 油漆可刷的总面积1500dm²。首先回忆正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长²，我们可以设正方体盒子的棱长为未知数，根据等量关系列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义（棱长为正数）筛选出符合要求的解即可。
【解析】
设这个正方体盒子的棱长为$ x \, \mathrm{dm} $。
根据正方体表面积公式，1个正方体盒子的外表面面积为$ 6x^2 \, \mathrm{dm}^2 $，则10个相同正方体盒子的外表面总面积为$ 10 × 6x^2 = 60x^2 \, \mathrm{dm}^2 $。
由题意列方程：
$ 60x^2 = 1500 $
化简得：
$ x^2 = 25 $
开平方得：
$ x = \pm 5 $
因为正方体棱长为正数，$ x=-5 $不符合实际意义，故舍去。
因此$ x=5 $。
【答案】
5 dm
【知识点】
1. 正方体表面积计算
2. 一元二次方程求解
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围舍去不符合题意的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干核心等量关系：10个相同正方体盒子的外表面总面积 = 油漆可刷的总面积1500dm²。首先回忆正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长²，我们可以设正方体盒子的棱长为未知数，根据等量关系列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义（棱长为正数）筛选出符合要求的解即可。
【解析】
设这个正方体盒子的棱长为$ x \, \mathrm{dm} $。
根据正方体表面积公式，1个正方体盒子的外表面面积为$ 6x^2 \, \mathrm{dm}^2 $，则10个相同正方体盒子的外表面总面积为$ 10 × 6x^2 = 60x^2 \, \mathrm{dm}^2 $。
由题意列方程：
$ 60x^2 = 1500 $
化简得：
$ x^2 = 25 $
开平方得：
$ x = \pm 5 $
因为正方体棱长为正数，$ x=-5 $不符合实际意义，故舍去。
因此$ x=5 $。
【答案】
5 dm
【知识点】
1. 正方体表面积计算
2. 一元二次方程求解
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围舍去不符合题意的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
6. 解关于$x$的方程$(x-2)^2=a^2$($a$为常数).
答案
6. $x_1=-a+2,x_2=a+2$
解析
【分析】
观察方程结构，左侧是$(x-2)$的平方，右侧是常数$a$的平方，$a^2$恒为非负数，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。解题时可将$(x-2)$看作一个整体，利用平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可。
【解析】
解：
∵$a$为常数，
∴$a^2≥0$
对等式$(x-2)^2=a^2$两边同时开平方，得：
$x-2=\pm a$
分两种情况求解：
当$x-2=a$时，解得$x=a+2$；
当$x-2=-a$时，解得$x=-a+2$。
【答案】
$x_1=-a+2,x_2=a+2$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题核心是将含未知数的平方项看作整体，利用平方根的性质降次求解，注意开平方时不要遗漏负根的情况。
【难度系数】
0.85
观察方程结构，左侧是$(x-2)$的平方，右侧是常数$a$的平方，$a^2$恒为非负数，符合直接开平方法解一元二次方程的形式。解题时可将$(x-2)$看作一个整体，利用平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可。
【解析】
解：
∵$a$为常数，
∴$a^2≥0$
对等式$(x-2)^2=a^2$两边同时开平方，得：
$x-2=\pm a$
分两种情况求解：
当$x-2=a$时，解得$x=a+2$；
当$x-2=-a$时，解得$x=-a+2$。
【答案】
$x_1=-a+2,x_2=a+2$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题核心是将含未知数的平方项看作整体，利用平方根的性质降次求解，注意开平方时不要遗漏负根的情况。
【难度系数】
0.85
